圆的基本性质（九大考点）-2026中考数学总复习考点重难突破（含答案）

专题10圆的基本性质(九大考点)-【重难突破】2026中考数学总复习-考点强化

讲与练

的相关概念

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.如图所示的圆记做。o.

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距离.

(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆,过已知两点可作无数个圆,过不在同一条直线上的三点可作一个

圆

(二)垂径定理及推论

(1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

如图:CE=弧BC=MBD,弧AC二弧AD

(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

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(3)延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中:

①小KAC=^kAD；②引kI3D=5HICB；③CE=DE；（4）AD±CD；⑤AB足直彳毛.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

(三)弧、弦、圆心角的关系

(1)定理：在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧胆笠，所对的弦也出笠.

(2)推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都分别相等.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中.①圆心角相等.⑦所对的弧相等.③所对的弦相等，三项“知一推一”.

一项相等，其余二项皆相等。

(四)圆周角定理及推论

(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图

图c

(2)推论:

①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b,ZA=ZC.

②直径所对的圆周角是直角.如图c,ZC=90°.

③圆内接四边形的对角互补.如图a,ZA+ZC=I8O°,ZABC+ZADC=180°.

模块三

考点1圆的基本概念

典例1：

1.下列说法中，正确的是()

A.半圆是弧，弧也是半圆B.在一个圆中，直径是最长的弦

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C.弦是直径D.长度相等的弧是等弧

【变式1】

2.下列命题正确的是（)

A.优弧大于劣弧

B.圆的任意一条直径都是它的对称轴

C.等弧所对的圆心角相等

D.平分弦的直径垂直于这条弦

【变式2】

3.①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行四边形是矩

形；⑥相等的弦所对的弧相等.说法正确的有（填序号）.

【变式3】

4.下列结论中正确的是.（填写所有正确结论的序号）

①直径是圆中最长的弦；

②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；

④等弧所对的圆心角相等；

⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；

⑥顶点在圆上的角是圆周角；

⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；

⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；

⑨半圆是弧；

⑩过圆心的线段是直径.

考点2

典例2：

5.如图，在中，4c=90。，以点C为圆心，8c为半径的圆交48于点交AC于点、E,BC=6.

（1）若乙1=35。，求相1的长度；

（2）若AC=8,求8。的长.

【变式1】

6.在0。中，弦4B||弦CD,过。作。”ICO于〃，延长”。交48于E,连接4。相。。，AB=20H.

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F

(2)如图2,连接DE,延长0E交。0于F,过£作EW1OF交。0于W,连接FW和W。，若乙4=

Z.FDW,求i正：Z.FWE=/-DEHx

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8F、BW,^^BEW=^BWF,EW=V2»求小0的长.

【变式2】

7.如图，在破残的圆形残片上，弦48的垂直平分线交弧45于点C,交弦48于点0,已知L48=8cm,CD=

2cm.

(1)求作此残片所在的圆的圆心0(不写作法，保留作图痕迹);

(2)求出(1)中所作圆的半径.

【变式3】

8.如图，在两个同心圆。。中，大圆的弦力8与小圆相交于C,O两点.

(2)若4c=3,BC=5,大圆的半径R=5,求小圆的半径r的值.

考点3垂径定理的推论

典例3：

9.如图，4B为。。的直径，C,。为。。上的两点，且。为脑的中点，若，B/W=20。，则乙C。的度数为

)

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cD

B

\L^^O/

AyJ

A.30°B.45°C.55。D.60°

【变式1】

10.如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和T0”恰好和盒子上边沿48重合于M,

N两点，若8C=a,MTV的长为力，则下列结论正确的是()

/N/、MB

DC

A..a<bB.a=b

C.a>bD.无法比较a与b

【变式2】

11.如图，OM经过原点O,且与工轴、y轴分别交于点4(8,0),8(0,6),C是的的中点，则OM的半径

12.如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点4、B,连接48,再作出48的垂宜平分线，交AB于点D,交

肪F点C,如果知道/B、。。的长度，即可计算得出这个残缺的圜的半径，已知/18=4gcni,CD-2cm,

则圆的半径为cm,阴影茶分的面积为cm2

考点4垂径定理的实际应用

典例4：

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13.如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为0,直径AE是河底截线，弦C0是水位线，CD||

AB,AB=20/71,0EJ.CD于点、E.

（I）当测得水面宽CD=10百m时，求此时水位的高度OE;

（2）当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m,船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船

舱截面为矩形MNPQ）,请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？

【变式1】

14.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵

味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端力B=18分米，C为4B中点，。为拱门最高点，圆心。在线段

C。上，。。=27分米，求拱门所在圆的半径.

【变式2】

15.某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为0,隧道口的水平宽48为12m,48离地面的高度4E=5血，连接。4,

拱顶最高处C离地面的高度CO为9/n,在拱顶的M,N处安装照明灯，且M,N离地面的高度均为8.5m.

（1）求40的长；

（2）求MN的长.

【变式3】

16.如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设而所在圆的圆心为

0,拱顶为点C,OCJ.49交AB于点0,连接。B.当桥下水面宽48=8小时，CD=2m.

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图1图2

（1）求这座石拱桥主桥拱的半径；

（2）有一条宽为7m,高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明

理由.

弧、弦、圆心角关系

典例5：

17.如图，4,B,C,D是00上的四点，且4D=BC,则与C。的大小关系为（）

A.AB>CDB.AB=CDC.AB<CDD.不能确定

【变式1】

18.如图，48是。0的直径，时=6=睦.若乙B0C=34°,则的度数是（）

ED

A.68°B.78°C.88°D.112°

【变式2】

19.如图，AB是00的直径，BC=CD=DE,Z.C0D=34°,贝"40E的度数是_______________

%

【变式3】

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20.如图，在同圆中，若乙AOC=2乙8。。，则AC2BD.(">'"'<”或"=")

圆周角定理

典例6：

21.如图，在。。中,4B是弦，C是弧48上一点.若4。84=25。，Z-BOC=30°,则乙。AC的度数为

【变式1】

22.如图，力，B,C。四个点均在O0上，4力00=50。，40||DC，贝此B的度数为（

【变式2】

23.如图，以量角器的直径4?为斜边画直角三角形力BC（乙4c8=90。），量角器上点D对应的读数是100。,

则/BCD的度数为

【变式3】

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24.如图，正五边形A8CDE内接于0。，点户是劣弧江•上一点（不与点C重合），则乙CPO的度数

为_________

考点7

典例7：

25.如图，4、B、C、。均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CO长时，发现C点、。点分别与刻度1和

【变式1】

26.如图，四边形A8C。内接于。0,其中=一知对角线AC过点。，对角线B0与C。用交于点石且

A.2V2B.1C.V2+1D.3

【变式2】

27.如图，在RtZkABC中，AC=8C,/ACB=90。，点。在以4B为直径的半圆上，连接CO交A8于点E,若

^AEC=70°,则9所对的圆心角的度数是（）

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A.25°B.35°C.50°D.70°

【变式3】

28.如图，AB是。。直径，At)=CD,4COB=40。，则匕4的度数是()

B.55°C.60°D.65°

【变式4】

29.如图，0。的直径成为10。771,弦4c为6cm,44cB的平分线交。。于点。，贝的值是

cm.

。是。。上的两点，乙48c=70。，则=

31.如图，。。过四边形48co的四个顶点，已知々48C=90。，平分乙48C,AB=1,BC=2,则

BD=

【变式7】

32.如图，48是圆。的直径，弦40、8c相交于点P,点。是弧8c的中点，若4OPB=60。，则线的值

DC

是

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半径相等一一等腰三角形

典例8：

33.如图，是。。的直径，点C、。在0。上，且点C、。在MB的异侧，连结力。、OD.0C.若乙10C二

75°,且II0C,贝IJ乙40。的度数为()

A.75°B.40°C.35°D.30°

【变式1】

34.如图，点4、B、C是。。上不重合的三点，则下列结论一定正确的是()

A.Z.AOB=Z.A+Z-BB.乙4。8=2（2力+48）

C.乙AOB=90°-（44+乙B）D.^AOB=180°-2（44+乙B）

【变式2】

35.如图，。。的弦CO与直径48的延长线相交于点E,AB=2DE,乙E=12。，则

乙BAC=

【变式3】

36.如图，过4、C、。三点的圆的圆心为点E,过8、F、E三点的圆的圆心为。，如果乙4二66。，那么

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c

圆的内接四边形

典例%

37.如图，已知六边形内接于圆0,其中4CAE=60。，则乙8+N尸的度数是()

A.230°B.235。C.240°D.246。

【变式1】

38.在正方形网格中，以格点。为圆心画圆，使该圆经过格点48,并在圆弧上取点C,D,连接

AC,BC,AD,BD,则44DB的度数为()

A.135°B.130°C.120°D.不确定

【变式2】

39.如图，48是半圆。的直径，C,。是半圆E的两点，且满足=118。，连接OC,则乙B0C的度数为

AOB

【变式3】

40.如图，四边形A8C0是。。的内接四边形，A8是。。的直径，若41。。=110。，则/8EC的度数

为.

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E

O

AB

D

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答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】②⑤

4.【答案】①③④⑨

5.【答案】（1）解：如图所示，连接CD,

B

在△ABC中，乙4c8=90。,〃=35。，

：.Z-B=90°-AA=90°-35°=55°,

♦：CB=CD,

工人CBD=乙CDB=55°,

:•乙BCD=180-乙CBD-Z.CDB=180°-55°-55°=70°,

"DCE=乙ACB-乙BCD=90°-70°=20°,

VOC的半径8C=CD=CE=6,

,._20°XITX6_2

180°=3n,

••・好•的长度为

(2)解：如图所示，过点C作。"_L8。于点F,

：-BF=DF=QD,

在为△ABC中，AC=8,BC=6,

・・・48=>JAC2+BC2=<82+62=10，

〈SMBC=^AC-BC=^AB-CF,

・AC-BC8x6.a

・・C尸=f-=W=4.8，

・••在Rt△BCF中,BF=y/BC2-CF2=V62-4.82=3.6,

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：.BD=2BF=2x3.6=7.2,

••・Z?O的氏为7.2.

6.【答案】(1)证明：•.•弦AB平行于弦CD,过。作0Hle0于H,AB=20H

：.AE=EB=OH,Z.AE0=乙OHD=90°

又04=OD,

：,Rt^AE0三RtAOHD(HL),

：.Z-AOE=“DH,

又V/-DOH+Z.ODH=90°

J.LDOH+LAOE=90°

：.^AOD=90°；

(2)证明：如图所示，连接0/，

©

图2

设乙DEH=a,乙EDO=/?

VFIV1DF,EHLAB,

：.Z.BEW=乙DEH=a,

又(DOH=Z-DEH+乙EDO

・"OOH=Z-OAE=a+0

由(1)可得R£△AEO三R£△OHD〔HL)

：.Z-AOE=乙ODH=90°一(a+0),LEAO=乙DOH

'：LBAO=ZFDIV,

J.Z.FDW=«+/?=乙FDO+Z.ODW

：.WDW=a

•：OD=OWt

：./-OWD=Z.ODW=a

：.LD0W=180°-2a

•：DW=DW

•*-^DFW=^DOW=90°—a

VEVKIDF

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：.LFWE=a=乙DEH

<3）解:如图所示,

连接4户，

*：Z.BEW=Z.BWF=a,肝=肝

：.^FAE=LFWB=a

*：^AOD=90°

・"AFD=45°

又,：乙FEB=90°-乙BEW=90°-a,乙FEB=Z.FAE+乙AFE=45。+a

••・45°+a=90°-a

：.a=22.5°

设48,IVF交于点M,连接。凡。M,

：.ME=MW

*：LWFE=乙BEF=90°-a

：.ME=MF

：.MF=MW

：.OMLWF,

在△OAF中，OA=OF,Z-OAF=Z-OAE+£.FAE=(a+£)+a=2a+A=45。+0

：.Z-EFO=/-OAF-45°=/?

乙OFM=Z-EFW-乙EFO=(90°-a)-/?=90°-a-

•・"AOE=90。一(a+/?)

：.LF0M=/-AOE

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在△40EA。尸M中,

ZOMF=^AEO=90°

Z-FOM=/,AOE

OF=OA

：.LAOE=^OFM

：.FM=OE,OM=AE

设EM=a,

VEM=MW,则E。=FM=MW=a

EO=EM=a,

•••△EOM是等腰直角三角形，

•'•MO=V2a

FMa42

・心。"/Un。K用A=两=高=三

由（2）可得上FOM=^EAO=Z-FDW

：・tan乙EDW=普=乌

rUL

VlVF=V2

：.DF=2

-*-DW=>JEW2+ED2=V2T4=76.

7.【答案】（1）解：作图如下，

（2）解：设圆P的半径为r,

*•AB-CD,AB=8cm,CD=2cm,

1

•9•AD=yAB=4cm,PD=（r-2）cm,

在中，AP2=AD2^DP2.

r2=42+（r-2产，

解得r=5,

・•・OP的半径为5cm.

8.【答案】（I）证明：过。作。万I力。于点片如图,

由垂径定理可得4E=BE,CE=DE,

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：.AE-CE=BE-DE,

.\AC=BD；

（2）解：连接OC、OA,如图,

VAC=3,BC=5,

・"B=3+5=8,

：.AE=4,

：.CE=AE-AC=4-3=1,

・••在Rt/kAOE中，。*=OA2-AE2=52-42=9,

，在RtACOE中，OC2=CE24-OE2=I2+9=10.

・・・oc=JTU,即小圆的半径，•为汨

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】5；4V5+8

12.【答案】4；§7r

13.【答案】（1）解：・・・0E1CD,

-'•DE=CD=5V3m，

又・；0D=OB=^AB=10m,

••・此时水位的高度OE=y/OD2-DE2=J102-（5V3）2=5m：

（2）解：该货船能顺利通过桥洞；

理由：由（1）中水位高度为5m可知此时0E=5+1=6m,

延长0E交MQ于尸，连接。M,则。F1MQ,

•・•货船宽为10m,船舱顶部高出水面2m,

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：.OF=6+2=8m,货船居中行驶时MF=4x10=5m,

・・・OM=VOF24-MF2=V82+52=V§9<10,

・•・该货船能顺利通过桥洞.

14.【答案】解：连接4。，

•••CD过圆心，C为4B的中点，

：.CD-AB,

•・YB=18分米，。为AB的中点，

：.AC=BC=9分米，

设圆的半径为x分米，则04=00=%分米，

•；CD=27分米，

：.0C=(27-%)分米，

在Rt^O/lC中，由勾股定理力。2+0。2=。42,

A92+(27-X)2=X2>

••x=15,

即拱门所在圆的半径是15分米.

15.【答案】(1)解：如图，设CO交48于点G、交MN于点H.