2025年中考数学二轮专项复习：菱形问题

菱形问题

方法突破练

1.解：格点C,D的位置如解图所示(答案不唯一).

第1即解图

2.解:2A(-4,0),B(0,3),2AB=5.

①当AB为菱形的边时，

叫、A0

a.若AB与AM为邻边，如解图①，以点A为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于甑

第2题解图①

•.♦BN〃AM,且BN=AM=AB=5,

；.Ni(-5,3)2(5,3)；

b.若AB与BM为邻边，如解图②，以点B为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点M,

此时ON3=OB=3,AN3(0,-3);

②当AB为菱形的对角线时，如解图③，作AB的垂直平分线交x轴于点M,

VBN4IIAM4，设N4(n,3),

:.BM4=AM4=BN4=—n,AOM4=44-n,

在RIABOM4中，由勾股定理得，

n2-(4+n)2=9,解得n=-拳：.N4(-g，3).

综上所述，点N的坐标为(-5,3)或(5,3)或(0,-3)或(一个，3).

3.解:,・,抛物线y=-x2+2.T+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,

・・.A(-1,0),B(3,0),C(0,3),分三种情况讨论；

①如解图①，当AD为菱形的对角线时，则AD与CE互相垂直平分，

1

②如解图②③，当CD为菱形的对角线时,

第3题解图

则CE=AD=AC=710,•••E(VIU'3)或E(一旧,3);rt

③如解图④，当AC为菱形的对•角线时，则CE=AD空

设D(d,0),yo

由CD?=4。2,得(/2+32=(d+I)?,,解得d=4,第3题解图④

ACE=AD=CD=5,E(-5,3).

综上所述，点E的坐标为(0,-3)或((043)或(一33，3)或(-5,3).

二阶设问进阶练

例解:(1),・•抛物线与x轴交于B,C两点，

AB(-6,0),C(-l,0),

♦・♦四边形BPOH是菱形，，线段0B的垂直平分线与抛物线的交点即为点P.

・；0B=6,・••点P的横坐标为-3.

将x=-3代入抛物线解析式得y=4.

工点P的坐标为(-3,4);

(2)由⑴可知,B(-6,0),C(-1,0),・・・BC=5,

丁BC为菱形的一边,・・.BC=CD.

设D(0,n),.・•・CD2=12+n2,

则I24-n2=52,解得九=+2V6.

・・・点D的坐标为(0,2倔或(0,・2V6);

⑶存在.

・；抛物线的解析式为y=4,令x=0,得y=-4,AA(0,-4).

2a2x(-f)2,

2

・•・设点M的坐标为（一：，m）.

①当AB为菱形对角线时，如解图①，连接AB,取AB的中点H,过点H作AB的垂线与抛物

线对称轴交于点Mi，过点A作BMi的平行线，过点B作AMi的平行线，两平行线交于点NI，

VA（0,-4）,B（-6,0）,

・・・H（-3,-2）.AB所在直线的解析式为y=-|%-4.

设M［Ni所在直线的解析式为y=|x+di，

将H（・3,-2）代入得力=p例题解图①

・，.MiNi所在直线的解析式为y=+,

将工=一:代入，得y=一£,‘,Mi

・；H为MlN］的中点，工N1（甘，一习；

②当AB为菱形的边时，

A（0,-4）,B（-6,0）,JAB2=62+42=52.

a.如解图②，当AM=AB时，则.AM2=4炉,即（一丁十【血_（一①产=52,解得m=-4土等,:.

M2（-”4+等）,%（—24一等）

・•・根据平移性质可得N2（_学等）,M（-卷一等）;

b.如解图③，当BM=AB时，则.8M2=AB2,

2

即［一1一（-6）］+m=52,解得m=±邛^,M4（一（当］，时5（-

•，•根据平移性质可得N4—4）,N50——4）.

综上所述，点N的坐标为（-会一力或（一三等）或（-半一等）或（|‘等一4）或（|）

-等-4）;

（4）存在.

3

由（3）得AB所在直线的解析式为y=-\x-4「・,点F为线段AB与抛物线对称轴的交点,

•・•点G在x轴上，

，设点G的坐标为（g,0）.

①如解图④，当AF为菱形对角线时，例题解困④

设线段AF的中点为I,则/（一〜一勺.

设GiQ1所在直线的解析式为y=|%+62,将/（―彳一9代入，解得虑=一盘，

・•.GiQi所在直线的解析式为y=|%—白令产0,解得x=AGi仔，0）,

i2436\36/

•・♦点/（一/一9）是QiGi的中点，

•・4（途-含

②当AF为菱形的边时,

・"（0，-4）,尸（一!*）,,•・加=篝

a.如解图⑤，当AG=AF时，贝ijAG2=AF2,

即丁+（—4）2=等，解得g=±等，

ooO

二G（等。）心怨。）

・,.根据平移性质可得Q2（-""3Q3（攻产今

即（-＞丁+（-丁宁

解得9=—：土等，

••。（-＞等。"（W+等，。）.

，根据平移性质得（24（等g），Qs（等

4

综上所述，点Q的坐标为（-景一芝）或（一”以9或（牛或（一等‘一9或

（5）存在.

原抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线％=P

分以下情况讨论:

①如解图⑦，当CH是菱形的对角线时，由菱形的性质得点P与点K1关于x轴对称，

②如解图⑦，当CK为菱形的对角线时，由菱形的性质得，CH=PK=CP=/.

6

/x^706525\"（>/7065

3

62~6）'\6~2

③如解图⑧，当CP为菱形的对角线时，由菱形性质得，PC垂直且平分HK,

・・・c（-l,O）,P（一袋）,

・・・PC中点的坐标为（一m）,

・・・直线PC的解析式为y=--拳

・•・设直线KH的解析式为y=费x+四,将代入，得&

・・.直线KH的解析式为y=白》+怒

4QXOV/

PK〃HC,

・,.点K的纵坐标为卷，代入直线KH,得x=詈…K4（詈1），

例题解图⑧

综上所述，点K的坐标为（一|一•或（噜_|）韵或（一噜_|由或（署等

综合强化练

［解:（1）B（1,・4）;

（2）【思路点拨】由题意知,4EAD与ZkCAD有公共底AD,若想使两三角形面积相等，则高相

5

等即可，设出点E的坐标，由高相等，列方程求解即可.

如解图①，设E(X，X2-2X-3),

•・♦点C为抛物线与y轴的交点,・・・C(0,-3),

・・♦△EAD与△CAD有共同的底边AD,且SEAD=SCADr

・・・点E到x轴的距离等于点C到x轴的距离，

|x2-2%-3|=3,

解得与=2,工2=。，%3=夕+1，、4=-V7+1,

£;(2,-3),F2(0>-3),F3(V7+L3),E4(-V7+L3),

・•.点E的坐标为(2,-3)或(0,-3)或((V7+1，3)或(-V7+1，3);

(3)【思路点拨】因为AC为菱形的对角线，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，可知菱形对

角线过点O,可求出菱形另一条对角线所在的直线解析式，将其与抛物线解析式联立求解即可.

存在，如解图②，

・・♦四边形是以AC为对角线的菱形，

由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点Qi,Q2,

令工2—2%—3=0,得%i=-l,x2=3,

AA(3,0),

.'.OA=OC=3,

二.AC的垂直平分线过点O,

设AC的中点为点F,

・••尸(|，一|),•直线QiQ2的解析式为y=-x,

联立/=/_2x_3

(y=-x

-V13r+1\(x=­^/13~+1

>/13+1|y/13-1，

一(y二二

6

.•4(平，竽,Q2(牛智).

2.解：(1)抛物线的解析式为y=-21+4%+6;

(2)【思路点拨】可作MN_Ly轴,OH_LOM交CB的延长线于点H,作HK_Ly轴,构造△OMN^A

HOK,得到对应边相等，求得点M的坐标.

由⑴得，点C(0,6),

・・•直线BC经过点B(3,0),C(0,6),

直线BC的解析式为y=-2x+6,

设点M的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),

如解图①，过点M作MN±y轴于点N,过点O作OH_LOM交CB的延长线于点H,过点H作HK

±y轴于点K,则NMNONMOH=NHKO=90。，

'：ZOMB=45°,AOM=OH.

易知NMON二NOHK,

•••△OMN经△HOK(AAS),升D

工MN=OK,ON=HK.J\

二,He),.阚

.,.-2(-2m+6)+6=-m,解得m=—2m+6=J,_

•・•点M的坐标为(出第2仁丁

(3)存在.

易知，点D的坐标为(1,8),

•・,以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形，

・•・分两种情况讨论：

①当CD为菱形的边时，如解图②，

VC(0.6),D(l,8),.ACD=y/5,

.・.DQ=CD=V5,

，点Q的坐标为((L8-遮)或(1，8+V5);

②当CD为菱形对角线时，如解图③，设点Q(l,m),P(0,n),

VC(0,6),D(l,8),m+n=6+8=14,

n=14-m,P(0,l4-m),

・'.PC=14-m-6=8-m,

vCQ="+(加—6)2,pc=CQf

/

8-m=Jl?+（口一67,解得m=

・..点Q的坐标为（1，彳），

综上所述，点Q的坐标为（（1，8-遍）或（1，8+遍）或（1，?）.

图②

图③

第2即解图

3.解：（1）抛物线的解析式为丫=一：％2+2％+2；

（2）【思路点拨】设出点P的坐标，由平行线的性质得到点E的横坐标，通过函数解析式得到点

E,F的坐标，表示出PE,PF的长，由勾股定理得到EF的长，进而表示出三角形的周长，利用二

次函数的性质即可求得aPEF周长的最大值.

设点P的坐标为(+2)(0<m<3),

VPE〃x轴,PF〃y轴,

:.--m2+-m4-2=~~x+2,解得x=m2—2m,

333EE

:.E(m2-2m>—|m2++2^,F(m>-1m+2),

:.PE=m—(m2—2m)=-m2+3m,

PF=--m2+-m+2-(--m+2]=--m2+2m,

33\373

:,EF=J(-m2+3m)2+(一|而+2zn)

4432

=Jm—67n3+97n2+im—|m+4m

=1-m4——m3+13m2

\93

=J蓝(m4-6m3+9m2)

=—\m2—3m\,

3

v0<m<3,：•EF=—(3m—m2),

3

8

CPEF=-m2+3m+(一|巾2+2m)+亨(3m-m2')

__5+Vii(m_三)2+1S+3限

.”如更<0,

3

二当m=/寸,(：△PEF存在最大值，最大值为亘等;

24

【一题多解】设点P的坐标为(m,-刎2+刎+2)(0vm<3)「；PF〃y轴,:.F+2),

乙OCB=ZEFP,VZEPF=ZBOC=90°,AAEPF^ABOC,/.—=—/.•PF=--m2+-m+2-

OCOB33

(--7n+2)=EF=娟可+p产/叫姆丁3刈,...o<m<3,AEF=—(3m-*),.•.CpEF=

3—■—m2+2m,r-—=-T-,PE——m2+3m3

323

、痴/Z

—m2z+.3om+,(z—22+.02m)\+।—(3m—m2z)=---5--+---\m--3j\-\.---1-5-+--3-/-1-3--.F

...<o,.当m=5时,CAPEF存在最大值，最大值为寿史.

324

（3）存在.

由（2）知,m=|,

・••E（寄）“I），EF=4

分以下三种情况：

①线段EF为菱形的边，且EF与ES为邻边，如解图①，以点E为圆心，EF长为半径作圆，交x

轴于点Si,S2，连接ESi,ES2，过点St,S2作EF的平行线，过点F作ES1，ES2的平行线，两平行线

分别交于点Qi,Q2,.•・EF=ES,=ES2=半,

设点S坐标为（s,0）,

•••ES=J（-『丫+（方心

解得S1=W且,S2=若更，

.2（—to）$（乎，。），

•・•四边形EFQS为菱形，点F可由点E向右平移:个单位长度，再向下平移;个单位长度得到，

・•・点Q可由点S向右平移J个单位长度，再向下平移:个单位长度得到，

•・4（产-1）今（华-1）；

9

②线段EF为菱形的边，