高考数学一模试题分类汇编：集合与常用逻辑用语（4大考点）解析版

专题01集合与常用逻辑用语

大考点概览

考点01集合中元素的性质及结合间的关系

考点02集合的运算

考点03集合新定义

考点04命题的否定、充分必要条件

考点1集合中元素的性质及集合间的关系

1.（2026•安徽淮北•一模）已知集合4=,€2料<3},8={1,3,5},则A8的元素个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】利用并集的运算求解.

【详解】A={X€Z||X|<3）={-^-1,0,1,2},8={1,3,5},••.AU3={-2,—1,0』,2,3,5},「.ADB的

元素个数为7.

故选：C.

2.（2026•黑龙江哈尔滨•一模）已知集合4={划1是绝对值小于3的整数},8={1,3,5},则A8的

元素个数为（）

A.1B.3C.7D.8

【答案】C

【详解】A是绝对值小于3的整数，即满足1g<3（x为整数），可得A={-2,-1,0,1,2},

已知8={1,3,5},根据并集定义，得：Au3={-2,—1,0,1,235）因此，AU8共7个元素.

3.（2026•山西朔州•一模）已知4={xtNlx<#7}.8={Nx=3N-2,〃eZ},则4cb中所有元素的

和为（）

A.5B.6C.7D.12

【答案】A

【详解】A={XGN|x<46x}={1,2,3,4,5},B=[x\x=3n-2,wGZ}={_2,1,4,7,},

所以AB={1,4},故AcB中所有元索的和为5.

4.（2026•广东•一模）已知集合人={2,。}1={-2,可，若A=B,则a+b=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

【详解】由于集合4={2,4},8={-2/},4=8,贝心=-2力=2,故〃+〃=0

5.（2026,山东泰安・一模）已知集合4={123,4},8={），|），二2X一1/£/，则4。8的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解.

【详解】由4={1,2,3,4},可得8={），l），=2xTxeA}={l,3,5,7},所以A「8={1,3},

所以AcB的子集个数为2?=4,故选：B

6.（2026.湖南怀化.一模）全集U={L2,3.4},2e3,且A=则满足条件的集合"的个数为（）

A.8B.7C.4D.2

【答案】A

【详解】因为全集。={123,4},2金丛且方土U,

所以O可能为{2},{1,2},{2,3},{2,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},共8个即集合8的个数为8.

7.（2026•广东广州•一模）集合4=k",—0}的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【详解】解不等式/一2%与0得O«xW2,则集合A={0,l,2},有3个元素，则集合A的子集个数为

2$=8.

8.（2026•山东荷泽•一模）已知集合4={1,2},8=若则〃?的值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【详解】因为A={1,2},B={l,3Jog2/n},4=8,所以可得log2机=2,解得〃?=4.

9.（2026•广东梅州•一模）已知仝集〃=AUA={1,234,5},4c3心）={2,4},则下列结论不一定

成立的是（）

A.{2,4}qAB.（电4）08C.{1,3,5}c«D.{1,3}uQ/

【答案】D

【详解】因为AQ68）={2,4},所以2eA,4eA,所以{2,4仁A,故A正确;

对于任意xcQ/，则文史A,又”U=AJ3,所以所以（电A）q8,故B正确;

若1史8,贝IJ1CQ4,又（7=41］。={1，2,3,4,5},则SA，则MAG（Q产）,

与“（64）={2,4}矛盾，所以IwA,同理3w8,5w8,故{1,3,5}18,故C正确:

若leA时,可得"3}口4.A不成立，故D错误.

10.（2026.江苏•一模）设集合A={-2J。},8={-1,/},若A含有4个元素，则。=（）

A.-1B.0C.ID.2

【答案】B

【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.

【详解】根据集合元素的互异性可知，〃工1，。工-2.

因为A8含有4个元素，所以Ac8仅含有1个元素，

若/e4，则/=1或/=〃，所以。=0或。=±1.

若一leA，WOa=-\.

结合集合元素的互异性可知。=0或。=7.

当4=0时，A={-2,1,0},B=Au«={-2,-l,0j},符合题意.

当〃=_]时，A=[-2A-]},8={T,1},AuB={-2,-l,l},不符合题意.

综上，。=0.

11.（2026•山东德州•一模）设集合A={l,a,b},B={a2MMb},若A=B,则第十①二

【答案】-1

【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.

=1a2=b

【详解】丁A={1,。力},8=k『M,c",A=8,awl且Z?.1且°工0且aw/?,…或

ah=1

a~=1。=一1

当日严且五1,•••6=0'―.

当篙a~=b］时,，解,a得=1"Ml，a=1不成立・

综上可得，/+Z/=-l.

■•考点2集合的运算

1.(2026・辽宁抚顺•一模)设集合4={-1,竹,8={0,2m-1},若Ac5={m},则m的取值集合为()

A.0B.{0}C.{1}D.{0,1}

【答案】C

【详解】若/〃=0,则A={-l,0},B={0,—1},此时Ac8={0,—l},不符合题意；若m=2m一1,解

得"?=1,则4={-1,1},8={0,1},此时Ac8=W},符合题意.综上，”的取值集合为{I}.

2.（2026.山东青岛•一模）已知集合4={-1,0,1,2},4=卜,一工的},则AC|3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-U}D.{0.1,2}

【答案】B

【详解】由f一XKO可得即8=［0』，乂4={-1,0,1,2},故Ac8={01}.

3.（2026•湖北黄石•一模）已知集合月二-1,一提0,；［}］二卜卜由兀1=0},则Af|B=（）

A.{0}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.—

【答案】C

【分析1解三角方程得到集合3,再根据集合交集运算法则求解.

【详解】•••sin7ir=0,.••也=E*wZ,解得x=&,&€Z,gp/?=\x\x=k,keZ},AnB={-1,0,1}.

4.（2026•河北保定•一模）已知集合加={-7,—5,0,1,3},'=卜料>3},则加（％=（）

A.{-7,-5,3}B.{-7,-5}C.{-7}D.{—5}

【答案】B

【详解】解集合N得：N={x|x>3或xv-3},由例={-7,-5,0,1,3},则McN={-7,-5}.

5.(2026•江西南昌•一模)已知集合4=卜£冲44},8={加之1},则B=()

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【详解】因为胡=/2用％44}={0,1,2,3,4},«={x|liw>l}=[e,+a>),所以4={3,4}.

6.(2026•内蒙古鄂尔多斯一模)己知集合人二卜,一％—2<0},B={x|log2Xv2},则"8=()

A.[-1,2]B.[-1.4)C.(0J]D.(0.2]

【答案】D

【分析】解出不等式，求出集合4B,进而求交集即可.

【详解】由下*240,得(”-2)屏+1”0,解得-1W2,HPA=[-1,2].

由1呜工<2,可得(.解得0<x<4,即4=(0,4),所以Ac4=(0,2].

log2x<log24

7.(2026•辽宁辽阳•一模)已知集合A={X|——3X—4<。},^=„>8},则414=()

A.(3,4)B.(-1,3)C.(-1,+8)D.(4,+8)

【答案】A

【详解】A={X|X2-3X-4<0)={X|-1<X<4},8={#'>8}={小>3},

所以4^={x|-l<x<4}{小>3}={x[3<x<4}=(3,4)

8.(2026・山东烟台•一模)已知集合4={用工一2卜1},B={^x<a},Ai13=Bt则实数。的取值范

围为()

A.[1,+R)B.[3,+8)C.(一85D.(一33]

【答案】B

【分析】利用子集的定义可得答窠.

【详解】由卜一2卜1,得：即I<xv3,故4=(1,3),由4JA=B,得：又

因为8={1工<〃},所以。之3.

9.(2026・广东汕头•一模)己知〃=何4/一曲一15>0},N={-2,-1,0,l,2,3},则(QM)cN=()

A.{-L0,l,2}B.{-21,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】A

【分析】解二次不等式得M的补集区间，再与给定集合N取交集即得结果.

，

【详解】解不等式得或即集合知二18,一|U|+8

'3S~|

则4M=,则(QM)cN={T0J2}.

10.(2026•山东青岛•一模)已知集合4={0,123},B={X|X2-X-2<0},则()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】C

【详解】因d-x-2〈0o(x-2)(x+l)<0,解得—lvxv2,即5=(-1,2),又4={0,1,2,3},则

Ac8={04}.

11.(2026•福建龙岩•一模)若集合4=卜卜二寸},8=卜|2'48'则=3=()

A.[0,3]B.(3,")C.(0,3]D.(-oo,3]

【答案】A

【详解】<A={小=巧={H),“}=[()*),3={耳2飞8}={小《3}=(—,3],

/.Ac3={x|0C}=[0,3].

12.(2026•河北张家口•一模)已知集合人=卜卜=JT7),8=30<%<2},则ACW=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(O,-Hx?)D.(0,1]

【答案】B

【详解】由x-30na,所以A=[l,”)，所以Ac8=[l,—)c(0,2)=[l,2).

2

13.(2026•河北衡水•一模)设集合A={y|y=lg(4-x)卜B=<>'y=|x|+^|■,则AD8=()

A.[2衣,+00)B.[2&,4)C.[3,位)D.[3,4)

【答案】A

【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合AcB.

..2广

【详解】因为＞'=W+1=2&,当且仅当凶=弧时，即当x=±3时，等号成立,

故B=<y)，=岗+自,=〔2&,+8),又因为A=b]y=lg(4—x)}=R,故AB=2&,+oo).

14.(2026・广东•一模)集合A=3W<1},B={A|?-2X<0},则A(B=()

A.{x|0<x<1}B.{x|-l<x<0}C.{x|-l<x<2}D.{x[0<x<2}

【答案】C

【分析】解出集合A,6中的元素，再由集合的并运算即可求解.

【详解】因为A={X|W<1},所以A={x|-因为8=3/-2x<0},

所以V—2x<0=x(x—2)<0,即0<x<2,所以B={x|0<xv2},所以A[8={x]Tvx<2}.

15.(2026•山东滨州•一模)已知集合4={xeN]«<2}.8={-l1,2},则A|JB=()

A.{1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】D

【分析】先化简集合A,再根据并集的定义可得.

【详解】由不等式«<2,可得04x<4；乂因为xeN,因此4={0,1,2,3}.乂因为8={-1,1,21,所

以入3={-1,0,1,2,3}.

16.(2026•江西抚州•一模)已知集合人=3/-7x+10<0},8={乂2"8},则AJB=()

A.{x|2<x<3}B.{小<5}C.{x|3<x<5}D.{x|x<3)

【答案】B

【详解】因£一7工+10<0。(工一2)(工一5)<0,解得2<x<5,则4=k12Vx<5},由2”8=2\

解得x<3,则8={小43},4=8={小<5}.

17.(2026・山东威海•一模)已知集合4={x|log2(x-l)<2},A={x|-l<xv6},则AL，8=()

A.(1,5)B.(1,6)C.(-1,5)D.(-1,6)

【答案】D

【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合A,再由并集定义计算即得.

【详解】由Iog2(x-D<2可得()</一]<4,解得l<x<5,即A=(L5),

因B={x|-I<xv6}=(-1,6),则AJ4=(-1,6).故选：D.

18.(2026•山东淄博•一模)已知臭合人=卜产<4},«={x|lg(x-l)<l),那么集合仙人()

A.(1,2)B.(2,11)C.(-2J1)D.(1,11)

【答案】C

【分析】求出集合A、8后，利用并集定义计算即可得.

【详解】由f<4,可得—2vxv2,贝iJA={x|-2<x<2},由lg(x—l)<l,可得Ovx—lvlO,即

K.v<ll,即4={x[l<x<ll},故AU8=(-2,ll).

19.(2026•北京延庆•一模)己知集合从=卜,=1。82"+1)}，8={x|(x+2)(x—3)>0},则A|J8=

().

A.(—1,3)B.(-2,-1)

C.D.(-

【答案】D

【分析】求出集合A.B,利用并集的定义可求得AB.

【详解】由题意可得:根据对数函数真数大于零可得，集合A=卜卜>-1}，集介8=屏上>3或xv-2},

根据并集的定义可得4。3="卜>—1或％〈一2},即(一8,-2)。(一1,+8).

20.(2026•山东聊城•一模)己知集合“一{川一2<a一<0},N-{x\y-lg(X+l)}t则A/c(*V)=()

A.{xU<-2)B.{x|-2<x<-l)

C.{x|-l<x<0}D.{x|-2<x<-l|

【答案】D

【详解】由集合)=lg(x+D，则满足x+l>0,解得x>-l,所以N={x|x>-1},可得

6ftM={x|xK-l},因为M={x[_2<x<0},所以加小(％/7)=3-2<人工-1}.

21.(2026•山西大同•一模)设集合P={-1,(U3},0={xeZl-l<x<3},则下列结论正确的是()

A.PcQ={-1,0,1}B.PcQ={-1,0,1,3}

C.PDQ={T0J2}D.PUQ={-1,0,1,3)

【答案】A

【详解】因为~={-1,0,1,3}C={XGZ|-1^X<3}={-I,O,I,2},

所以PcQ={TO,l},Pug={-l,0,l,2,3},结合选项可知：A选项正确.

22.(2026•江西•一模)己知集合4={xwZ|屹一3)<0},8=3工4-1或%>2},则Ac(%8)=()

A.(0,2]B.(2,3)C.[1,2]D.{1,2}

【答案】D

【详解】由MX-3)<0,解得所以A={1.2},又3={dx«—l或x>2}.所以a8=(-1.2],

故4C&5)={1,2}.

23.(2026・河北唐山•一模)已知全集U及其两个非空真子集"，M则加(MuN)=()

A.0B.McNC.(秒M)1(uN)D.(郑M)U*)

【答案】C

【详解】如图：加(MN)=(枷0(”).

24.(2026•宁夏银川•一模)已知集合人=何21一4之0},B={x\|..r2-3.r-4<0)},则m(44)=()

A.1.r|-l<x<2}B.{x|x<4|C.{x|2<x<4)D.{x|x>-l}

【答案】A

[详解]7A={x|2x—420},/.A={x|x>2),^A={x|x<2},5=卜卜2-3工-4叫,

8={x[-1<x<4},/.4c@A)={x]-1<x<2}.

25.(2026•甘肃兰州•一模)集合A={M2sxs5,XGZ}]={1,2,3.6},则图中阴影部分所表小的集合

为()

A.{2,3}B.{4,5}C.{1,2,3,6)D.{2,3,4,5}

【答案】B

【详解】设全集为U,由图可知阴影部分可表示为可知A={2,3,4,5},

则Ac&8)={4,5}

26.(2026•山东济宁•一模)集合A=r2x>g、3=3k—l|>2},则4c&8)=()

A.{乂4<一1}B.{Nx>3}

C.{xl-l<x<3}D.{^l-l<x<3}

【答案】C

【分析】先分别解指数不等式、绝对值不等式得到集合A、B,再计算8的补集，最后求交集得到

结果.

【详解】因为指数函数y=2*是R上的增函数，所以由2、>3=2,可得x>-l,即4={dx>-l}；

W|x-I|>2,等价于工一1>2或工一1<一2,解得x>3或工<一1,即8={Mx>3或x<—1}

所以条8={x|74x43},故Ac曲8)=3—l<x«3}.

27.(2026・天津河东・一模)已知全集{7=1<,集合4=何-1"<2},集合4={小<1},则七("8)=

()

A.(2,+co)B.(^C,-I)u(l,-Kc)C.)u[l,-hx?)D.(^o,-l]|j[h+oo)

【答案】C

【详解】由Ac3={xH«xW2}c{小<1}=卜卜1"<1},

所以6(4♦8)={工|_¥<一1}或3心1}=(79,-1)51,+8).

28.(2026•黑龙江齐齐哈尔•一模)设集合4={川=一则人仆8=()

A.(0,1)B.(―0^,1)C.(—1/)D.1)

【答案】A

【分析】利用一元二次不等式和分式不等式的解法，求出集合A4,再利用集合的运算，即可求解.

【详解】由f<],得到—ivxvl,所以A={x|—

由L>1,gp—>0,解得0<x〈l,所以B={x[0<x<l},故4c8=(04).

XX

29.(2026•安徽安庆•一模)若集合A={x|—15</<叫，B={-3-2,1,4},则A08=()

A.{1}B.{-2,1}C.{-3,—2,1}D.{-3,—2,1,4)

【答案】B

【详解】因为(—3)3=-27Z(一15,15),(—2)3=—8£(—15,15),13=14_15,15),43=644一15,15),所以

AcB={—2,1}

30.(2026・安徽合肥•一模)已知集合4=卜,2+〃氏+4=0},八卜“+〃吠]=。},同时满足

A8工0,AC4B={-2},则4B=

【答案】{1,—2}或{—1,—；,一}

【分析】易知与£人，贝ij'c/?,即集合A8中的元素互为倒数，由题意可求出集合人，进而确定

Ao

集合8,根据并集的运算即可求出答案.

【详解】设x°eA,若%=0,又一2w4,故〃=2国=0,此时B={x|2x+1=0}={-；},与已知矛

/1Y1।

盾，故不工。，所以片+〃为+4=0，得9—+〃・一+1=0,所以一wB,

//

即集合A8中的元素互为倒数，因为所以存在七匕4,使得且用=’,

x0X。

解得为=±1,又因为4门04={-2},所以A={『2}或A={T,-2},若4={1,一2},则8={1,-；卜

则4=8={1,-；,一2卜若.={—_2},则8={-1,一共，则478={-1,一；,一2}.综|：所述，

11

AB=-1,--,-2，或,-1,--,-2>.

・考点3

1.（多选）（2026•山东济宁•一模）对于一个有限集合“川4M2,,a}（〃eN'），定义集合加的模

为该集合中所有元素的和，记作M|,即|加|=4+外++凡，则下列说法中正确的是（）

111±±±

-(则同=号

A.若集合从=2699

122()3042

B.若集合4=伊/一3/+假一2=0},则忸|=一1

C.若集合C=(xhn—+l=O,则|q>2e

e

D.记集合Wll〃,xeN'},且。“中任意两个数的差的绝对值不等于3,也不等于8,

若四|的最大值为。，|〃|的最大值为〃，则［-〃=220

【答案】AC

【分析】选项A,用裂项相消法求和：选项B,通过试根分解多项式，判断实根个数后计算集合模

长；选项C,构造函数求导分析单调性与最值，确定方程根的个数，再通过函数关系推导两根之和

的范围；选项D,找到周期内最大和规律后计算不同〃值下的模长差值.

【详解】选项A,

।“击+白+右+七+&+为=(1.{|+(泊卜+(1-7)=,4=7，人正确；

选项B,解方程得；X^-3X2+4X-2=(X-1)(X2-2x+2),

二次方程J-2x+2=0判另U式△=-4<0,无实根，故集合8={1},模|8|二1/一1,B错误；

C选项，设/3)=lnx-Ll,求导得r(x)=3,

eex

xw(0,e)时，/(x)>0J(x)递增；xe(e,y)时，/(%)<0J(x)递减；

最大值/(e)=l>0,且/(』)=—!<(),/⑴=1一,>0,因此一个零点％e(Ll)；

eeee

X/(e2)=3-e>0,/(e3)=4-e2<0,因此另一个零点Ww(e)e。,

贝lJ|C|=M+M>［+e2>2e,C正确；

~e

选项D,集合元素差为3或8,均小于11,因此可将口［5］按每II个数分为一组，组间不产生符合

条件的差，只需每组取最大和即可，

〃=1时，1〜11中，要使元素和最大,选{4,5,9,10,11},满足条件最大和6=4+5+9+10+11=39；

每组(第女组，11(左一1)+1~1伙)的和为39+5x11("1),因此〃=5时总和：

a=39+(39+55)+(39+110)+(39-165)+(39+220)=745,

〃一。=745—39=706声220,D错误.

2.(2026•安徽合肥•一模)设集合A={X|X2_］OX<O,XCN},满足下列性质的集合称为“TB集合”：

集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3,则A的子集中有

个叮8集合”.

【答案】16

【分析】化简集合A，根据“7B集合''的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解..

【详解】解方程/一10工〈0=、(工一10)<0,解得0vx<10,结合xcN,

因此：A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A共9个元素.

(1)2个元素的“7B集合”：设为包力},

当〃=1时，〃可取5,6,7,8,9,共5个；

当〃=2时，/?可取6,7,8,9,共4个；

当a=3时，力可取7,8,9,共3个；

当。=4时，b可取8,9,共2个；

当。=5时，可取9,共1个；当。之6时，无满足条件的力.

则2个元素的“7B集合”总数：5+4+3+2+1=15.

(2)3个元素的“7B集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4.

最小的3个满足条件的元素为1,5,9,则3个元素的“78集合”仅1个：1,5,9.

(3)若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为I,5,9,13,而13超出集合人的范闱，

因此不存在4个及以上元素的“7B集合”.

综上，“7B集合”总数=2个元素的数最+3个元素的数最：15+1=16.

3.(2026•北京延庆•一模)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素〃?，记=

①已知x={o,i},且△(x)=A(y),则b=o；

②已知X=["2,a],Y={y\y=J：\XeX},则存在实数%使得△“)<1；

③已知X={H/(x)?g(x),xw|-l/]},若&X)=2,则对任意都有/(x)Ng(x)；

④已知S.是等比数列{〃”}的前〃项和，*={)，|)，=5〃,〃£1<},贝!存在等比数列{q},使得4”：修1.

其中所有不正确的命题是.

【答案】①②③

【分析】直接计算即可■判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；举例证明④.

【详解】①：因乂={0,1},则A(X)=1；Y={-\,b},则△(¥)平+1|=1,解得：〃=0或人=一2,①

错误；②：当区间关于x=0对称：即。=1时，X=[-1,1],此时丫=[0川，A(r)=l.

当时，△")会增大，因此△位)的最小值为1,不存在〃使得Myki,命题②错误

③，由题意知”=1,〃?=-1,但X是满足(力的点集，它可以是卜川的子集，不一定是

整个区间。例如xe{Tl}时,A(X)=2,对于/(x)=f,g(x)=1满足题设，此时x«T,l)时不满

/[、〃

11-------「1

足/(x)>^(x),③错误；④，取等比数列4=1,q=；则s」I2[2

2

"1+141

2

W=S,=1,W=52=1,即==④正确。

乙乙乙

4.(2026•北京密云•一模)已知集合5"={X|X=a，.3••,外居£{0」}/=1,2,・，〃}(〃22).对于

4=(4,生，，%)上=(瓦,2,也)eS”,定义A与B的差为4一8=(|《-4，同一匆，，|。“一2|)；定

义A与8之间的距离为44B)=£何-用.

/=1

⑴若4=0,11,l)wS4,写出所有的BwS」使得d(A8)=l；

⑵已知…,1)€S”,若A,BeS”,并且d(M,A)=d(M,5)=5",求4(知5)的最大值;

(3)证明：XM,氏。£5./(4团,由人。)，4四。)三个数中至少有一个是偶数.

【答案】⑴(011,1))1,0,1))1,110)

27?-10.5</?<10,

(2)

10,n>10.

(3)证明过程见解析

【分析】(1)根据距离的定义，找出满足d(A8)=l的8即可；

(2)先根据d(M,A)=d(M,3)=5,分析A8元素所满足的条件，再求d(AB)的最大值;

(3)首先讨论三个差他-q|的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证.

【详解】(1)d(A0=l,说明8与A只有1个位置元素不同，A全为1,因此8恰有1个位置为0,

其余为1，

则所有满足条件的5为:(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)；

(2)已知M=(1,L•,/)£，，4=(“,七，,,M")，5=3也，•也)cS“，

d（W,4）=X|l-q|=5,d（M,8）=力一用=5,

/=11=1

即A和8中恰好各有5个分量为0（其余为1）

设A的0的位置集合为尸，H的0的位置集合为。，则田=|。=5,

则d（A3）=10-2|Pce|,而|尸。0的最小值为max{0,10-〃},

/、..f2n-10.5<//<10.

因此4（4/，）的最大值为1（）-21［呼{（）,10-〃}二«

1IV.7・

⑶证明:对任意位置i,讨论三个差lq-矶l4-c、J也-q|的和的奇偶性:

若44退全相同：三个差都为0,和为偶数：

若两个相同一个不同：不妨设生=3,则三个差为0』/，和为2,仍是偶数；

所有位置求和得：d（AB）+"（4C）+d（%C）是偶数；

若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.

5.（2026•湖北襄阳•一模）集合仞={0,1,2,3,,〃},7二］（《）吗,生,・：《,）”例。=0,1,2,...,〃）,%,=2〃,,

I2.

对r中的两个不回元素…，天）和丫=（）’0，）1，％…，”），若存在一个函数f：M->M满

足：

①=rxwM

②K=/（4），v/e{o,1,2,•••,«）

③（七+X）€{0,〃，2〃},Vie{0,1,2…

则称：X与y是r中的一对“友好元素”.

⑴当〃=4时，若X=（0,0,134）,写出X对应的一个“友好元素”;

⑵若X=（%，N，W，…，天）和丫=（加加%，…，”）是丁中的一对“友好兀索”，且满足

maxk小,…/“}=〃，规定：随机变量《服从分布。（。=引二手（，=0/2、〃），当〃=6H寸，试写

13

出以。=争勺分布列及其对应的一对“友好元素”X与匕

（3）当〃N4时,若人二小仆叼…⑼加了且满足^^何必出,…4}〃?，证明：若存在3使得A与

B是丁中的一对“友好元素”，则人中有且仅有〃-2个0.

【答案】(l)Y=(0,0,3,l,4)

(2)分布列见解析，X=(0,0,0,0,2,4,6),K=(0,0,0,0.4,2,6)

⑶证明见解析

【分析】(1)当〃=4时，由题意，写出丫=(%,%,％，)3，乂)满足的条件，写出函数值，即可得答案.

(2)取X=(0.0,0.024.6),K=(0,0.0.0.4.2.6),写出函数值,完成分别列，求出期望即可.

(3)根据所给定义，不妨令《)=〃，讨论4中有〃-1个0、〃-2个0和小于等于〃-3个0三种情况,

求出从分析讨论，综合即可得证.

【详解】⑴当〃=4时，由X=(0,0,1,3,4),需构造1=(%,如必，%%)满足

①f(/(x))=x,„

@x=/U)

③司+y£{0,4,8},Vze{o,l,2,3,4}

设”0)=(),41)=3,/(2)=2,/(3)=1,/(4)=4,则满足①@③,

此时y=(0,0,3,1,4)；故y=(0,0,3,1,4)满足题意.

(2)取X=(0,0,0,0,2,46),y=(0,0,0,0,4,2,6)满足七+y40,6』2}且满足

/(0)=0,/(1)=5,/(2)=4,/(4)=2,/(3)=3,/(5)=1,/(6)=6

4的分布列为

q0246

p0

365

E(r)=2x，+4x』+6xL=»,所以X=(0,0,0,0,24,6),7=(0,0,0,0,4,2,6)

3623

(其他合理答案，同样给分，如：X=(0,0,0,2,4,6,0),y=(0,0,0,426,0)等).

(3)当〃之4时,若A=(%，4,出…且满足max{%,q,…=不妨令出=〃

①由于4+4+/+…+4=2〃，所以生，…，4不可能都是0.

②若其中有，?一1个0,不妨设四搔。，a2=■=(/,,=(),贝此时人=(〃,〃,0,0,…,0),

根据题意4e{0,〃,2»,则3=(〃,〃,0,0,・.,0),8=(0,0,〃,〃,…⑺,

但是当B=(〃,«,0,0,-,0)时与A工8矛盾，所以不成立；

当3=(0,0,〃,〃,・、〃)时，瓦+4+瓦+4+…a=0+0+〃+〃…〃=(〃-1)〃>2〃(〃24),

与Z"=2〃矛盾.

所以A中不可能有〃-1个0.

③若人中有〃一2个0,不妨设。尸。，应工0，则A=(〃,q,4,0,0“,0),其中4+%=〃，

则存在函数,使得：

f(n)=n,/(4)=〃-4，/3)=〃-生，/(〃-4)=4，/(〃-4)=%，/(0)=0»

即存在8=(〃,〃一〃一%0,0,…,0)使得4与B是r中的友好元素.

④若4中0的个数小于等于〃-3个，不妨设A=(〃吗,生吗吗…，勺)，

其中qwO,。2/。，%，生，…，。”之0，贝+〃2+”3工〃.

假设存在当则有两种可能：

第一种：8=(〃,〃一4，〃一生，〃一/，/3)/、/(4))，其中若%=。，0=4,5,…,〃)，

则/(%)=〃一%；若勺=0,0=4,5产、〃)，则/(%)=0,此时,

b「b\+b2+…+b.>n+n-aA4-n-a2+〃一%=4〃一+生+ay)>An-n=3n,

不符合题意；

第二种：8=(0,〃-4，〃一。2，"一。3，〃一4，一.，〃一6)，则

22

%+4+4+…+么,20+〃-q+n-a2+--+n-al1=〃—(q+a2+•••+an)=n-n>2n(n>4).

即这两种情况都有£>>2〃，矛盾.

(=0

综上可知，当〃24时，若存在序列6使得A与3为一对“友好元素”，则A中有〃-2个0.

.•考点4命题的否定、充分必要条件

1.（2026•山东德州•一模）命题“微42,+8）,/24”的否定为（）

A.禺[2,+8）,\2<4B.3xc[2,+a）*M4

C.Hr史［2,+8）,x224D.永仁［2,+8）,9<4

【答案】D

【详解】易知命题“Vx«2,+8）,f的否定为玉V［2,”）,X2<4.

2.（2026•天津河东•一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（）

A.菱形是矩形B.存在一个菱形，它是矩形

C,存在菱形不是矩形D.存在是菱形的更形

【答案】B

【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.

【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，所以该命题的否定是存在量词

命题，即：存在一个菱形，它是矩形.

3.（2026・陕西铜川•一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（）

A.VAeR.e-x+2>0

B.3LveR,^+|A|<0

C.任何实数都有算术平方根

D.任意两个无理数之和仍为无理数

【答案】A

【分析】时于A,含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B,不含有全称最词，故

可判断；对于G含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D,含有全称量词，举例说

明即可判断.

【详解】对于A,含有全称量词，而ej。，所以VxcReNNO,故A正确；

对于B,不含有全称量词，故B错误；

对于C,含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误；

对于D,含有全称量词，血是无理数，而-&+夜=0,而0是有理数，故D错误.

故选：A

4.（2026•安徽淮南一模）已知直线4处-2y+3=O,/2:3x+（a-5）y+a=0f则“。二一10"是乜_L仁'

的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】两直线垂直的充要条件结合充分必要条件定义即可得解.

【详解】若U，/?”，则%—2（。—5）=。=。=一10,所以“〃=一10"是F_U2”的充分必要条件.

故选：A.

5.（2026•江苏南通•一模）»2=小，是“〃力工成等比数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用推出关系来判断即可.

【详解】行从二女=0时，如。=0,b=。,c=l,此时不能成等比数列，故充分性不成立，

当成等比数列，可以推出〃2="，故必要性成立，所以“加=收”是“。也。成等比数歹小隹必要

不充分条件，

故选：B.

6.（2026•江西南昌•一模）已知圆O:Y+y2=l,P：点尸（。,〃）在圆。外，q：直线］:or+"v=l与圆

。有两个公共点，则P是q的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.

【详解】由点P（a力）在圆。：/+））=1外，可得。2+从＞1,此时,圆心0（0,0）到直线/:依+办=1

的距离为1=悬屏＜1,即直线/：⑪+力=1与圆O相交，故充分性成立；由直线/"»+外=1与圆