2026年湖南中考数学复习变式阶梯训练第25~26题（含答案）

一、原题25

1.【问题背景】

如图1,在平行四边形纸片ABCQ中，过点8作直线LLCQ于点E,沿直线/将纸片剪开，得到△办GEi

和四边形A8EP,如图2所示.

【动手操作】

现将三角形纸片和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现）

①将三角形纸片BGEi置于四边形纸片A8E。内部，使得点乱与点8重合，点目在线段A8上，延长

8G交线段A。于点凡如图3所示；

②连接CG,过点C作直线CNJ_CQ交射线EEi于点N,如图4所示；

③在边48上取一点G,分别连接80,DG,FG,如图5所示.

图5

第1页

【问题解决】

请解决下列问题：

(1)如图3,填空：ZA+ZABF=°；

(2)如图4,求证：&CNM^AC\E\M；

(3)如图5,^AB=2AD=2W/1F,N4GQ=60。，求证：FG//BD.

二、变式1基础

2.如图，已知平行四边形ABCD,连接对角线AC,BD交于点E,过点E作PQ_LMN,分别与AB,BC,

CD,DA交于点P,M,Q,N.

(1)求证：ADEQmABEP..

(2)若依次连接P,M,Q,N,四边形PMQN是什么特殊四边形？说明理由

3.如图，在。ABCD中，ZABC的平分线BE交AD于点E,AF1BE于点F,延长AF交BC于点

G,连结EG,CF.

(1)判断四边形AEGB的形状.并说明理由；

(2)若tanZABC=g，CD=8,AD=1(),求线段CF的长.

4.如图，在团4BCD中,BE,DF分别垂直对角线4c于点E,F.

(1)求证：BE=DF；

(2)若即4BCD的周长为268，乙84c=30。，过点E作EM_L48于点M,EM=6,求AC的长.

三、变式2巩固

5.如图1,点P是EL48COQ4O>AB)对角线80上的一点(8P>PD),且使得乙48P=乙4P8,连接AP并延

长，交CD于点F.

第2页

(2)如图2,将△40P沿4B方向平移至BCM,求证：乙ADB=LMDB.

(3)如图3,连接PC,取PC的中点M,连接0M交AE于点F,若嘉=/，求篇的值.

(1)【探究发现】如图①，在△ABC中，点D,E分别在边AB,ACh,DE〃BC,M为DE的中点，

连结AM并延长交BC于点N,求证：BN=NC.

(2)【拓展应用】如图②，在四边形ABCD中，AD〃BC,对角线AC,BD交于点N,E,F分别是边

AB,AD上的点，EF〃BD交AC于点M.若AD=2,BC=3,求器的值.

⑶【综合提升】如图③，在。ABCD中，AB=4,ZABC=60°,动点E在边AB上，过点E作EF〃BD

交AC于点F,过点F作FG_LEF交BC于点G,连结EG.求EG的最小值.

7.如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD〃BC,CD1BC,ZABC=60°,AD=8,BC=12.

(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为.

(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值.

(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P,使得cos/BPC的值最小？若存在，求

出此时cosZBPC的值；若不存在，请说明理由.

四、变式3提高

8.转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用.请解答下面

的问题.

第3页

A

如图①，在z^AOB中，OA=OB,ZAOB=90°.

（1）【基础巩固】

将图①中AAOB绕点B按顺时针方向旋转6（）。得到△DCB,如图②，连结OC,求证：OC=OB.

（2）【思考探究】

将图①中△AOB绕点B按顺时针方向旋转60。并缩小得到△DCB,如图③，使嘉=:连结OC,

AD.

①求证：△OBCs^ABD；

②用等式表示AD与AB之间的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展延伸】

将图①中308绕点B按顺时针方向旋转某个角度（小于18（尸）并缩小得到△DCB,如图④，使嘉

L连结OC,AC,AD.当OC=OB时，求缥的值.

9.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，

【发现与证明】

日A8CD中，ABHBC,将△48C沿AC翻折至△AZTC,连结8'D.

结论I：△4夕。与团4BCQ重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：B'D||AC-

（I）请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.

第4页

图1图2

【理解与应用】

在12ABe0中，将△A8C沱翻炉至△AB'C,连结8力.

(2)如图2,已知/B=30。，若AB>BC,AABfD=15°,则/ACB='

【探究与拓展】

在48co中，将△ABC沿力C翻拧至△4夕C,连结B‘0.

(3)已知48=30。，48=6,翻折后四边形为时，如果力夕平分乙CB'。，求BC的值;

(4)已知"8=30。，AB=6,当AAB'。是直角三角形时，则BC=

10.综合与实践

【问题情境】如图，在四边形ABCD中，P是线段BC上一点，ZAPD=90°,AP=PD.

【性质初探】如图①，当NB=/C=9(H4,猜想AB,CD,BC三条线段存在的数量关系，并证明;

【类比再探】如图②，延长BA,CD交于点E,当AB1CD,NB=30。时，求的值；

DU

【问题解决】如图②，延长BA,CD交于点E,当AB_LCD,/B=a时，用含a的代数式表示隼丝

DC

的值.

五、原题26

11.如图，己知二次函数y=ax(x-4)(a^O)的图象过点A(2,2),连接OA点P(xi,yi),Q(x2,

ya),R(X3,y3)是此二次函数图象上的三个动点，且0<X3VXI1X2<2,过点P作PB〃y轴交线段OA于

点B.

第5页

图IIH2

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图1,点C、Z）在线段0A上，且直线QC、R。都平行于），轴，请你从下列两个命题中选择一个

进行解答：

①当时，求证：H+X2>2；

⑦当尸时，求证：工］+心（2：

（3）如图，若与=|打，x3=^xv延长PB交x轴于点T,射线。八77?分别与），轴交于点。，R,连

接AP,分别在射线AT、工轴上取点M、N（点N在点7的右侧），且NAMN=N%O,MN=2在记尸

RQ-ON,试探究：当x为何值时，，有最大值？并求出/的最大值.

六、变式1（基础）

12.已知抛物线）=/+饭+c的对称轴为直线x=-1,且经过点（-4,5）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当・2VxV3时，求y的取值范围.

13.已知二次函数y=2/+b%+c经过点（3,0）,对称轴是直线x=1.

（1）求二次函数的解析式；

（2）自变量x在什么范围内时，），随x的增大而增大.

14.已知二次函数y=-x?+bx+c经过点A（3,0）与B（0,3）.

（1）求b,c的值.

（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。

七、变式2（巩固）

15.如图，二次函数丫=a/+bx-3的图象与轴交于4（一1,0）.B（3,0）两点，与y轴交于点C.

第6页

（1）求二次函数解析式和顶点坐标.

（2）坐标平面内存在点P,满足向左、向右或向下平移m个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距

离m.

（3）在二次函数图象上取点0（不与点C重合），使得在C,。之间的图象上（含C,。两点），该二次函数

最大值与最小值的和等于1，请直接写出点。的坐标.

16.如图，抛物线y=。产+以+2与x轴交于A（-4,0）、B（2,0）两点,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）如图1,连接AC,BC,若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN||y轴，交AC于点N,过

N作NDIIBC交x轴于点D,求MN-¥可0的最大值及此时点M的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，当MN-孚NO取最大值时，将抛物线、=a/+.+2沿射线AC方向

平移3遥个单位，得到新抛物线y',新抛物线与y轴交于点K,P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQIIy

轴交射线MK于点Q,连接PK,当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

17.如图，己知直线丫=+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=a/++4经过A,C两

点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线工=-1.

第7页

(1)求抛物线的表达式;

(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形力BCD面积S的最大值及此时D

点的坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以4c为对角

线的菱形？若存在，请求出P,Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

八、变式3(提高)

18.已知如图1,二次函数y=X2-4%一5与乂轴交于点人，C,且点A在点C的右侧，与y轴交于点B,

连结4B.

(1)求点A、B的坐标；

(2)如图2,将点A向下平移n个单位得到D,将D向左平移m个单位得Op将小向左平移2m个单位

得。2,若小与。2均在抛物线上，求m,n的值；

(3)如图3,点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB,过P作PQII从与抛物线

另一个交点为Q，M,N为4B上两点，且PMIIy轴，QN||y轴.

①当为直角三角形时，求点P的坐标；

②是否存在点P使得08与QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由.

19.如图，矩形0ABC的边04,0C在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线y=上，0A=8,点D从

点O开始沿0A边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿。4边向点O以每秒1

个单位的速度移动，OFlx轴，交。8于点F,连接EF,当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时

间为t秒.

第8页

(1)直接写出：AB=,DF=（含t的代数式表示）.

（2）当点D在点E的左侧时，若△OEF的面积等于2,求t的值.

（3）在整个过程中，

①若在矩形OABC的边上能找到点P,Q,使得以E,F,P,Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足

条件的t的值.

②以040尸为邻边作矩形0AG/，连接EG,取线段EG的中点Q,连接FQ,求FQ的最小值（直接写出答

案）.

20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-l,0）,B（3,0）,与y轴交于点C,

作直线BC,点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B,C重合），连结PB.PC,以PB,PC为边作

口CPBD,点P的横坐标为m.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）当口CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为

（3）当口CPBD是菱形时，求m的值.

（4）当m为何值时，口CPBD的面积有最大值？

第9页

答案解析部分

1.【答案】(1)90

(2)证明：VCN1CD,

・•・ZCND=90°,

由题可知NCEiG=NCEB=90。，BE=BIEI,CE=CiEi,

VAB//CD,

.\ZEBEi=ZCBE=90°,

•••△EBEi为等腰直角三角形，

.\ZBEiB=ZBEEi=45°,

・•・ZCEN=ZCNE=ZCIEIM=45°,

ACN=CE=C|E|,

在^CNM和^CiEiM；

gCMN=4GMEi

乙CNE=4CiEiM,

CN=[Ei

.*.△CNM^ACiEiM(AAS)

(3)证明：如图，过点D作DP_LAB垂足为点P,

A

由题AB=2AD=2yf7AF，

设AF=1,则40=6，AB=2小，

..AF147

・・如幺=而=后=田

在RIAADP中，AP=AD•cosA==

142

:・DP=\/AD2-AP2=攀

VZAGD=60°,

DP_|^3_3

・•・在RtAGDP中,)

tanZ-DGP一百一2,

・・・AG=AP+PG=2,

.AF_AD_1即4

••而一而一2'H而一宿

第10页

VZA=ZA,

・•・△AFG^AADD,

AZAFG=ZADB,

・・・FG〃BD.

【解析】【解答】(1)解：由题可知NA8P=NC8E,

YBE1CD,

・・・NC£8=90。，

/.ZC^£+ZC=90",

在平行四边形ABC。中，ZA=ZC,

・•・NA+NAB/=90。，

故答案为：90：

【分析】(1)由于平行四边形的对角相等，则41=4C,由垂直的概念可得NCBE与NC互余，又上CBE=

乙GaE1，等量代换得乙A与乙加为外互余；

(2)由于平行四边形的对边平行，K^ABE=Z.BEC=90°,又BE=BE1,则48己寸=45。，则/NEC=

△8%E=45。，因为NC1CE,即△NCE为等腰直角三角形，则"。=反？=第6，又因为乙。避1当=90。，即

46%加=45。=乙CNM,又对顶角相等，则可利用AAS证明结论成立；

(3)由于48=240=2夕4尸，为便于计算，可设力F=l,则40=V7，AB=2小,此时可过点D作AB

上的高DP构造直角三角形，分别解Rt/iABF和/^△4OP可求出cos4和AP,再由勾股定理可得DP,再解

R5DPG可得PG,即AG可得，此时可借助两边对应成比例且夹角相等证明A/IGF相似于△ABO,由相似

的性质可得乙AGF=LABD,则同位角相等两直线平行.

2.【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

；・EB=ED,AB//CD,

・・・NEBP=NEDQ,

在ADEQ和ABEP中,

(/-EDQ=乙EBP

ED=ER,

Z.DEQ=乙BEP

.\ADEQ=ABEP(ASA)；

(2)解：四边形PMQN是菱形，理由如下：

第11页

D

VAPBE=AQDE,

/.EP=EQ,

同理：ABME=ADNE(ASA),

・・・EM=EN,

・•・四边形PMQN是平行四边形，

PQ_LMN,

・•・四边形PMQN是菱形.

【解析】【分析】(1)根据平行四边形性质可得EB=ED,AB//CD,则/EBP=/EDQ,再根据全等三角形判

定定理即可求出答案.

(2)根据全等三角形性质可得EP二EQ,同理：△BME^ADNE(ASA),则EM=EN,再根据菱形判定定理即可

求出答案.

3.【答案】(1)结论：四边形AEGB是菱形

理由：已知BE平分ABC,

AZABE=ZCBE,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BCMAD=BC,

.\ZCBE=ZAEB,

AZABE=ZAEB=ZCBE

在△ABE中，等角对等边，

Z.AB=AE,

VAF1BE,

.\ZAFB=ZAFE=90°,

/.△AFE且△GFB,

・・・AE=BG,

VAD||BC,且AE=BG,

・•・四边形AEGB是平行四边形，

第12页

VAB=AE,

・•・四边形AEGD足菱形

(2)解：己知tan乙4BC=百，

AZABC=60°o

过点F作FM_LBC于点M,如图所示:

•・•四边形ABGE是菱形，

・•・ZGBE=ZABC=30。，且BG=AB=CD=8,

在RtABFG中，FG二BG=4,

根据勾股定理，BF=y/BG2-FG2=V82-42=4百，

在R2BFM中，所以/尸=28，

再根据勾股定理，BM=\lBF2-FM2=J(4V5)2-(2/5)2=6

已知BC=AD=10,

ACM=BC-BM=10-6=4,

在RtAFMC中，根据勾股定理CF=/FM?+CM2,

把FM=2V5,CM=4代入可得：CF=2\[7

【解析[【分析】(1)首先根据角平分线的性质得到NABE二NCBE,然后根据平行四边形的性质得到对角平

行且相等，进而利用全等三角形的判定证明△AFE也△GFB,从而判断四边形AEGB为平行四边形，最后利

用有一组邻边相等的平行四边形为菱形来证明四边形AEGB是菱形；

(2)先根据tanZABC=V3求出/ABC的度数，再利用菱形的性质求出/GBE,进而利用含30。角直角三角

形的性质求出FG,然后利用勾股定理求出BF和BM,然后在RsFMC,通过勾股定理求出CF的长.

4.【答案】(I)证明：•.•四边形4BCD是平行四边形，

:.AD||BC,AD=BC,

Z.DAF=乙BCE,

vBE.DF分别垂直对角线4c于点E、F,

•••ZDF.4=乙BEC=90°,

在△4DF和△C8E中，

第13页

ZDFA=iBEC

Z-DAF=乙BCE,

.AD=BC

••.△ADF三△CBE(AAS),

BE=DF

(2)解：•••Z.BAC=30°,/-BEA=90°,EMJ.48,

•••/-ABE=60°,

在RtMEM中，AE=2EM=12,

AM—\[12~2—6~2—6>/5，

PM6L

在中，8时=丽娜=再=2百，

.・.BE=2BM=4百，AB=AM+BM=8VL

•••m48匚。的周长为26国，

4B+BC=13V5,

BC=55

・•.Rt△BEC中，EC=y/BC2-BE2=J(5百)2-(48)2=3后

二AC=AE+EC=12+3收

【解析】【分析】(1)根据平行四边形推导=然后利用AAS证明A/OF三△CBE即可得到结

论；

(2)先求出乙48E=60。，利用含30。的直角三角形的性质得到4E、AM长，然后在中，利用正切求

出8M长，即可得到8c长，然后运用勾股定理求出EC长解题.

(1)证明：•••四边形48co是平行四边形，

：.AD||",AD=BC,

:.Z-DAF=乙BCE,

vBE.DF分别垂直对角线AC于点E、F,

•••^DFA=KBEC=90°,

在产和中，

Z.DFA=乙BEC

^.DAF=乙BCE,

AD=BC

ADF=AC5F(AAS),

ABE=DF.

(2)解：vZ.BAC=30°,/-BEA=90°,EMI48,

第14页

：,Z-ABE=60°,

在RtUEM中，AE=2EM=12,

•••AM=V122-62=675,

FM6「

在RtABEM中，8时=而薪=再=2百,

BE=2BM=4百，AB=AM+BM=8百,

•••四的周长为26国，

=138,

BC=5K,

.・.△BEC中，EC=y/BC2-BE2=J(573)23

(4

•••AC=AE+EC=123V3.

.【答案】（）解:..PD2,PD2

51•前一片一丽一守

•・•四边形/1BCDABCD是平行四边形,

：.ABIICD,

：.Z.DEP=LBAP,乙EDP=LABP,

：.LDEP〜△84P,

ED_PD_2

争二而=可

又•••4B=CD,

ED_2

‘CD=3"

cE1

--

DE2

(2)证明：•••Z.ABP=LAPB,­.AB=AP,

•・•将aADP沿48方向平移到△8CM,

AP||BM,AP=BM,

Z.APB=乙DBM,

：•44BP=Z-DBM,AB=BM,

vBD=BD,

•SABD三AMB/HS力S),

<3）解：如图，取CE的中点G,连接MG.

B

设CE=2t,则CG=t.

・・"_1

*CD=4，

.，•CD=83

DG=CD-CG=73DE=DC-CE=6t.

•；M点是PC的中点，G点是CE的中点，

・・・MG是aPCE的中位线，

•••MGIICE,

.DF_DE_6t_6

*'DM=~DG=Tt=l'

延长。历至Q点，使MQ=DM,连接PQ,CQ,

又•••PM=CM,

・♦・四边形PQCO是平行四边形，

・•.PQ||DC,PQ=DC.

又•..四边形力BO是平行四边形，

AB||DC,AB=DC,

PQII力B,PQ=AB,

•••Z-ABP=乙BPQ,

又•••Z.ABP=乙APB,

AB=AP,乙APB=LBPQ,

•••AP=PQ,/.APD=乙QPD、

又•••PD=PD,

APD=△QPD(SAS),

Ao

-

D6

VD--

7,

DF_DF_6_3

"DQ=2DM=14=7f

DF3

^AD=7

【解析】【分析】(i)利用己知条件可求出错的值，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得4

DEPBAP,利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED与CD的比值，然后求出DE与DE的比值即

可.

(2)利用等角对等边可证得力B=/1P,根据平移的性质可得4PIIBM,AP=BM,可推出4/BP=20BM,

AB=8M,再利用S4S证明△ABD=△MBD,利用全等三角形的性质可证得结论.

第16页

(3)取CE的中点G,连接MG,则可得MG是APCE的中位线，则MG||CE.根据平行线分线段成比例定理可

得焉的值.延长DM至Q点，使MQ=OM,连接PQ,CQ,则可得四边形PQCO是平行四边形，则PQII

DC,PQ=DC.再结合乙48P=乙4PB可得AP=PQ,乙APD=&QPD,利用SAS可知△APO£△QPO,利

用全等三角形的性质可证得AD=QD,然后求出DF与AD的比值.

⑴脩•嚼4

.PD_2

,•前二4'

四边形48coABCD是平行四边形，

：.AB||CD,

：.Z-DEP=Z-BAP,乙EDP=LABP,

：.△DEPBAP,

ED_PD_2

''AB=JP=3f

又•,TB=CD,

ED2

'CD=T

CE1

•-DE=2,

(2)证明：•,•乙4BP=乙APB,

•••AB=AP,

•・•将A/10P沿48方向平移到△BCM.

.-.AP||BM,AP=BM,

:.Z.AP3=4DBM,

LAB?=乙DBM,AB=BM,

vBD=BD,

••,△ABDMBD(SAS),

•••Z-ADB=Z.MDB.

(3)解：如图，取CE的中点G,连接MG.

AD

设CE=2t,则CG=t.

..CE_1

•诙=4'

二CD=8t,

第17页

:.DG=CD-CG=73DE=DC-CE=6t.

•IM点是PC的中点，G点足CE的中点，

・・・”6是4。。后的中位线，

••・MGIICE,

,DF_DE_6t_6

^DM=DG=7t=7'

延长。历至Q点，使MQ=DM,连接PQ,CQ,

又•••PAI=CM,

・••四边形尸QCD是平行四边形，

:.PQ||DC,PQ=DC.

乂・・•四边形48CD是平行四边形，

：.AB||DC,AB=DC,

PQ||AB,PQ=AB,

:.乙ABP=乙BPQ,

又•••Z.ABP=乙APB,

AB=AP,Z.APB=Z-BPQ,

•••AP=PQ,Z.APD=乙QPD,

又•••PD=PD,

•••△APD^^QPD(SAS),

4D

-

2竺6

V0M=

7'

DF_DF_6_3

DQ=2DM=14=7*

DF3

：'AD=r

6.【答案】(1)解：证明：・・・DE〃BC,

.*.△ADM^AABN,△AME^AANC.

DMAMMEAM

Aw=ww=w

DM_ME

'~BN=~NC'

•・・M为DE的中点，

ADM=ME.ABN=NC.

(2)解：・.・EF〃BD,

.*.△AEM^AABN,△AMF^AAND,

第18页

EMAMMF

B7V=W=W

EMBN

?，MF=W

VAD//BC,AD=2,BC=3,

・•・△ADN^ACBN,

FBc3

A=A=-

NDZ

EBN3

==-

MN。2

图3

在ABCD中，AC,BD交于点O，则O为BD中点，

,.・£7>|出。,由(1)可得EF=FP,

•••FG^EF,

:.EG=PG,

・••当PG团BC时，PG取到最小值,即此时EG取得最小值.如图4,

图4

过A作AH^BC,H为垂足，贝I」AH=PG,

-AB=4,Z.ABC=60°,AH=4sin60°=26，

・・・PG的最小值为2g.

即EG的最小值是26.

【解析】【分析】【探究发现】由OE||BC可得出两组三角形相似，从而得出线段之间的比例关系需=

黑端=需，等量代换后得需=转，结合DM=ME可得结论.

【拓展应用】仿照⑴可证辨=舒，再由AD||BC可得需=%=|,于是辨=需=|.

【综合提升】延长EF交AD于P,连结PG.由平行四边形性质知O为BD中点，再由.EP||BD结合(1)的结论

可得.EF=FP,再结合FG®EF得EG=PG,当PG团BC时PG取至lj最小值，即EG取得最小值，作

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mBC,AH在直角三角形ABH中可解得，于是可得结果.

7.【答案】(1)24V3

(2)解：延长CD使CO=0G=4百，则点C和G关于在直线AD的对称，所以CNI=CNI,

连接CiB交AD与点Ni,这时△BNC周长的最小值为^BN.C周长.

在^BCCi中，BG=J(86尸+122=4值，

/.△BNC周长的最小值为4V21+12

(3)解：如答图，存在点P,使得cosZBPC的值最小.

作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP.CP.作△BPC的外接圆。O.0O与直

线PQ交于点N,则PB=PC,圆心。在PN上.

•・・AD〃BC,二。。与AD正好相切于点P.

PQ=DC=4^3>6,

.\PQ>BQ,则NBPCV90。,圆心0在弦BC的上方.

在AD上任取一点P,连接PB,PC,PB交。O于点M,连接MC.

••・ZBPC=ZBMC>ZBP'C.

AZBPC最大，cosZBPC的值最小.

连接0B,则NBON=2NBPN=NBPC.

。8=OP=4百一GQ,

••・在RIABOQ中，(0Q2+6?=(4百一0Q『，

解得OQ=§,OB=孕.

0Q1

...cosZ.BPC=COSZ.BOQ==-=

UD/

即此时cosZBPC的值是1

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【解析】【解答］解：（1）过点A作ANJ_BC,垂足为N,

△ABN利用锐角三角函数求出力N=4遮.

・••△BMC的面积为2x12x4V3=24V3.

故答案为：24v5.

【分析】（1）过点A作ANJ_BC,垂足为N,△ABN利用锐角三角函数求出4N=4V5,再根据三角形面积公

式即可求解；

Q让BNC的边BC是定值，求出△BNC周长的最小值也就是在线段AD上找点N使求出BN+CN的最小，

根据两点之间线段最短，所以点只需找到C和C.关于在直线AD的对称，所以CNi=CiN,连接CiB交AD与

点Ni,这时△BNC周长的最小值为△BNiC周长；

⑶先找到使cos/BPC的值最小点已^在^BPC的外接圆上），根据勾股定理求出cosZBPC的值.

8.【答案】（1）证明：证明：由旋转的性质得NOB060。，OB=CB,

/.△OBC为等边三角形.

.\OC=OB.

（2）解：①证明：•••△AOB和4DCB都为等腰直角三角形，

OBBC_/2

III旋转可得NOBC二ZABD=60。，

/.△OBC^AABD.

②=理由如下：如图①，延长BC至点C',使（CC'=BC,延长BD至点D',使DD'=

BD,，连结CD,OC,

由⑴可知,八CRC为等边二角形,

.\OC1BC.

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・•・ZOCB=90°.

丁△OBC^AABD,

.\ZADB=ZOCB=90°.

AD

•••sinZ-ABD=sin60°=-7-^.

AB

/3

：•AD=2AB.

(3)解：如图②，延长AC交BD于点E.

AOB和^BCD

都为等腰直角三角形，

OBBCy/2

^AB=BD=T-

由旋转可知NOBONABD,

・•・△OBC^AABD.

VOB=OC,.'AB=AD.

XVBC=DC,AC=AC,

・•・△ABC^AADC.

.\ZACD=ZACB=135°.

・•・ZBCE=ZDCE=45°.

・•・ZCEB=90°.

设BC=2a,则OB=4a,AB=4V2a,CE=BE=叵a,

:.AE=J(4&Q)2—(x/2tz)2=y/30a.

AC_闻_屋—1

"而"4&--4-

【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出NOBC=60。，OB=CB,证出ZkOBC是等边三角形，由等边三角形

的性质得出结论；

(2)①由等腰直角三角形的性质得出。BAB=BCBD=22,由旋转的性质得出NOBC二NABD=60。，则可得出结

论；

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②过点C作CF10B于F,由相似三角形的性质证出/OCB=NADB=90。，由直角三角形的性质得出结论;

(3)延KAC交BD于E,证明△OBCs/\ABD,得CRAR=R「RD="，OD=CO,证出AB=AD,证明

△ABC^AADC(SSS),由全等三角形的性质得出NACD=/ACB=135。，设BC=2a,OB=4a,则AB=4

&a,CE=BE=a(1,由勾股定理求出AE的长，则可得出答案.

9.【答案】解：(1)由折叠可知4BCA=乙4。夕，

•・•在团ABCD中IIBC,

•••Z.EAC=Z.ACB,

Z.EAC=Z.ACE,

:.AE=EC,

△ACE是等腰三角形；

-AD=BC=BC

:.B'E=ED,

•••"EC=乙DEBI

•••Z-EDB1=乙EB'D,

乙4CB'=乙CB'D,

•••AC||8'0。

(2)135；

(3)如图，过点。作CFJLA夕交于点F,

•••AC118'。，

:.乙CAS'=乙A8'0,

•••AB'平分乙CB'D,

ACB'A=乙AB'D,

...^.CB'A=/.CAB',

AC=B'C,

由折叠可知,BC=B'C,KB=KCB'A=30°,

-CF1AB\AB=6,

/.BrF=AF=3,

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乙B=乙CB'F=30°,

/

C夕=-^^=2后

cos300

BC=2x/3;

（4）2V5,3A/5,45/3,6A/3

【解析】【解答】解:（2）VzB=30°,

根据折叠可得乙4B'C=4=30°,

•••Z-AB'D=15°,

•••乙CB'D=45°,

•••AC||8'0,

A48'CA=Z.BCA=180°-45°=135°,

故答案为：135。

（4）解：当△4夕。是直角三角形时，分为:

①如图，当〃。夕二90。时，

由（1）知4C||B'D,

：.z.CAD=90°,

由折叠可得4B=4B'

•・•在在团ABCO中48=CD,

：.AD=AD,AB=CD=AB',

・•・△ACO三△OBZ（HL）,

：.AC=DB',

・•・四边形ACB'D是矩形，

•••△4。夕是直角三角形，

由折叠可得NB=Z-AB'C=30°,AB=ABf=6,

••BC=cos30°i45/=3V5,

:・BC=3>/3:

②如图，当心DA8'=90。时，

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•.•四边形4BCD是平行四边形，

：.AB||DC,

・••484c=乙DCA,

由折叠可知，^-BAC=AB1AC,

：.Z.ACE=Z.EAC,

：.EC=EA,

由(1)知力C||BrD,

ACA31=乙AB'D,

由折叠可知B,C=BC,AB=AB'，

••BC=BC=AC,CD=AB=AB'，

,**BD=BD,AB=CD,CB=AD，

•••△820三△OCB'(SSS),

:•乙DCB'=^B'DA=90°,

•:乙B=30°,

-乙AB'C=30°,

设CE=4E=%,则B'E=2%B'C=V5X，

•'.AB1=2x+x=6,

x=2,

:.BC=2A/3：

③如图，当乙4夕。=90。时,

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B'

由（1）知4c||B'D,

LB'AC=90°,

由折叠可知，Z-BAC=Z-B'AC=90%

•・"=30°,AB=6,

•••B"儡^=4百;

④如图，当40月夕=90。时,

・・•四边形48CD是平行四边形,

：.BC||AD,

：.Z-BCA=^DAC,

由折叠可知，Z-BCA=Z.B'CA,

：.z.ACE=^EAC,

：.EC=EA,

由折叠可知,BC=B'C,AB=A'B=6/B=乙AB'C=30°,

・"E=AE=tan30°W=2百,

；・8'E=2AE=4V5,

••・B'C=B'E+CE=6V5；

综上所述：BC的值为2V5或38或“5或6Vs.

【分析】（1）根据折叠的性质，可得乙8£4=44。夕，然后再根据平行四边形的性质，可得乙E4C=/4CE,

易得ZMCE是等腰三角形；根据AD=BC=*C,可得B‘E=ED，再由〃C8'=根据平行线的判

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断，即可得到ACIIB'D：

(2)利用乙。的度数，根据折叠的怛质，可得44?。=乙3=30。，又跟据乙4)。的度数，进而求出zrZTD

的度数，最后再根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，据此即可证明；

(3)过点C作CF交于点F,题干中的结论1和结论2,同时再根据平行四边形的性质，可得AC=BC,

然后再根据折叠的性质，即可知，BC=BrC,乙B=(CB'A，求出8H=AF，再由匕8=/CBN=30。，然后

再根据余弦函数的定义：cos3()o=器，代入数据求出求出CB',即可BCQ的值；

(4)根据当乙4。9=90。时，当"力夕=90。时，当乙4B'。=90。时，当NB'AD=90。时，三种情况，画出

图形，结合结论1、结论2分别求解即可。

10.【答案】解：【性质初探】AB,CD,BC三条线段存在的数量关系为BC=AB+CD.

证明：・・・NAPD=90。,

，NAPB+NDPC=90。.

VZB=ZC=90°,

/.ZPAB+ZAPB=90°,

.\ZDPC=ZPAB.

在^ABP和^PCD中,

乙B=zC,

"AB=乙DPC,

AP=PD,

・•・△ABP注△PCD(AAS),

.\AB=PC,BP=CD.

•；BOBP+PC,・•・BC=AB+CD.

【类比再探】过点A作AF_LBC于点F,过点D作DG1BC于点

VABICD,ZE=90°.

VZB=30°,AZC=60°.

VAF1BC,DG1BC,ZAPD=90°,AP=PD,

・••由【性质初探】可得△AFPgZXPGD,

・・・AF=PG,PF=DG.

在RtAABF中，VZB=30°,

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小4…枭.

在RlCDGC中，VZC=60°,

，CG《