冀教版八年级数学下册《平行四边形的性质》同步练习题（带答案）

冀教版八年级数学下册《21.2平行四边形的性质》同步练习题（带答案）

平行四边形的定义及对称性

1、如图，。ABCD中，点。是对角线AC,BD的交点，过点0的直线分别交AD,BC于点M,N,若

△CON的面积为2,/kDOM的面积为4,则口ABCD的面积是（）

B.16

C.24

D.32

2、平行四边形具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.四个角都是直角

3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点0的对称点.

4、如图，。ABCD的对角线交于坐标原点0.若点A的坐标为（-«,1）,点B的坐标为（-1,

利用平行四边形的对边平行且相等求边长

1、如图，在。ABCD中，NADC的平分线交BC于点E,过点C作CF_LDE,垂足为点F,若CF=BE

=6,DE=16,则AD的长为（）

第1页共42页

A

D

A.16B.14C.13D.8

2、如图，点E,F是平行四边脑ABCD对角线BD上两点，连接AF,CE,已知AF〃CE,且BE=4,

BD=13,则EF的长度为（）

3、如图，在oABCD中，AB=3,NABC与NBCD的角评分线交于点E,若点匚怡好在AD边上，则

CE'BE?的值为（）

A.12B.16C.24D.36

4,如图，在口ABCD中，NBCD的平分线交BA的延长线于点E.若AE=1.5,CD=3.5,贝"BC的

长为.

5、如图，平行四边形ABCD中，ZB=60°,AB=4,AD=5,E,F分别是边CD,AD上的动点,

且CE=DF,则AE+CF的最小值为

第2页共42页

AD

6、如图，在平行四边形ABCD中，AE_LBD于E,CF_LBD于F.若BE=4,AB=5,求CF.

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F.若

ZBAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.

利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积

1、如图，在。ABCD中，AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则4CDE的周长是（）

2、如图，在口ABCD中，AE平分NBAD交CD于点E.若CE=2,BC=3,则口ABCD的周长为（）

A.16B.14C.10D.8

3、如图，在口ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC,AD于E,F.已知4CDE的周长为5,

则口ABCD的周长为.

第3页共42页

4、如图，点E是口ABCD的边CD的中点，AE,BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,则。ABCD

的周长为.

5、如图，四边形ABCD为平行四边形，NBAD的角平分线AF交CD于点E,交BC的延长线于点F.

(1)求证:BF=CD：

(2)连接BE,若BE_LAF,ZBFA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD

=DF,连接DE.

(1)求证:AE平分NBAD;

(2)若点E为BC中点，ZB=60°,AD=5,求平行四边形ABCD的周长.

F

利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标

第4页共42页

1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A(-1,2),0C=5,点B的

-4)C.(4,2)D.(4,-2)

2、如图，口ABCD中，BE平分NABC交AD于E,若NC=56°,则NBED度数为()

C.119°D.120°

3、如图，。为原点，°ABCD的顶点A(0,4),B(-5,-1),C(0,-1),则点D的坐标

(4,5)C.(5,4)D.(4,4)

4、在。ABCD中，E为BC边上一点，AB=AE,若AE平分/DAB,ZEAC=25°,则ZACB

第5页共42页

5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B,C在x轴上，A

(0,2),B(1,0),BC=4,将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标

为.

6、如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上两个点，且BF=DE.

(1)求证：AE=CF：

(2)若AD=AE,ZDAE=100°,求NDFC的度数

利用平行四边形的对角相等解决问题

1、如图，在。ABCD中，若NA=70°,则NC的度数是()

A.70°B.110°C,120°D,140°

2、在口ABCD中，如果NA+NC=140°,那么NC等于()

A.20°B.40°C,60°D.70°

3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB=BE,连接AE并延长，与DC的延长线交

于点F,若ND=40",则NF的度数是()

A.30°B.40°C.50°D.70°

第6页共42页

£BC,连接OE.下列结论：

①NCAD=30°

②S.，ABCD=AB・AC

③OB=AB

@OE=4BC

4

成立的有（把所有正确结论的序号都填在横线上）

6、如图，oABCD中，NDAB为钝角，AD=1,AB=V2,且。ABCD的面积为1.求。ABCD各内角

的度数.

利用平行四边形的对角线互相平分求解

1、如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,AB=4&,点P为BC上任意一点，连接

PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为（）

第7页共42页

2、如图，在口ABCD中，AC与BD交于点0,已知AC+BD=14,CD=5,则aAOB的周长为()

3、如图，oABCD的对角线AC,BD相交于点0,BC=3,4BOC的周长为7,则AC+BD

4、如图0ABCD的对角线AC,BD交于点0,AC±AB,AB=2,且AO：B0=2：3.

(1)求AC的长；

(2)求口ABCD的面积.

5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZABD=90°,AB=0B=2,求线

段0C的长度.

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综合应用平行四边形的性质求解

1、如图，已知口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,EF经过点0,分别交AD,BC于点E,F,且

0E=4.AB=5.BC=9,则四边形EFCD的周长是（）

A.13B.1C.22D.18

2、在平行四边形ABCD中，ZA+ZC=100°,则ND等于（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

3、如图，在。ABCD中，E是BC边上一点，BE=CD,连接AE,ZD=50°，则NBAE的度数为（）

4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于0,过点。作0EJLAC交AD于E.若AE

=2,DE=1,AB=V5,则AC的长为.

5、如图，在。ABCD中，E是AD的中点，若AB=6,则0E=

第9页共42页

6、如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,过点0作EF_LAC,分别交边AB,DC于点E,F,

连结AF,CE.若AE=13,0A=12.

(1)求EF的长；

(2)求口ABCD边AB上的高.

综合应用平行四边形的性质证明

1、如图，在口ABCD中，AC与BD相交于点0,则下列结论不一定成立的是（）

A.AD||BCB.AB=DCC.A0=C0D.BA=B0

2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点0,则下列说法正确的是（）

A.A0=B0B.z.ABC=zADCC.zBAC=z.ADCD.AC=BD

3、如图，在口ABCD中，AB=2BC,ZBCD=60°,对角线AC,BD交于点0,NADC的平分线交AB

于点E,连接0E.下列结论:

①DB平分NCDE;

②0E垂直平分BD;

③0AsDE；

@SAA06=20E.OB.

其中正确的是（写出所有正确结论的序号）.

第10页共42页

4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,分别过点A,C作AE_LBD,CF±BD,

垂足分别为E,F.AC平分NDAE.

(1)若NA0E=52°,求NACB的度数；

(2)求证：AE=CF.

参考答案

1平行四边形的定义及对称性

1、如图，。ABCD中，点0是对角线AC,BD的交点，过点0的直线分别交AD,BC于点M,N,若

△C0N的面积为2,ZWOM的面积为4,则。ABCD的面积是()

B.16

C.24

D.32

【答案】C

【解析】,・•四边形ABCD是平行四边形，点。是对角线AC,BD的交点

・・.四边形ABCD是中心对称图形,OB=OD

••5ACON=SAAOM,SAAB0=SAC80

第11页共42页

**,^AAOO=SAA0M+SAD0M=2+4=6

,,^AAOB=^AA0D=6

•*•^AABO=SAAOB+S^AOD=12

=

•'•SQABCO2SAA8O=24

故选：C.

2、平行四边形具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.四个角都是直角

【答案】C

【解析】平行四边形的对角线互相平分.

故选：C.

3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点。的对称点.

【答案】是点案

【解析】在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点0的对称点是点C

故答案为：是点C.

4、如图，。ABCD的对角线交于坐标原点0.若点A的坐标为（-遮，1）,点B的坐标为（-1,

-1）,求BC的长.

【答案】解：•・•四边形ABCD为平行四边形

.\OA=OC

又,••点0为坐标原点

/.点A和点C关于原点对称

♦・•点A的坐标为（-«,1）

・・・C点坐标为他,-1）

VB（-1,-1）

第12页共42页

BC=V3+1.

2利用平行四边形的对边平行且相等求边长

1、如图，在aABCD中，NADC的平分线交BC于点E,过点C作CF_LDE,垂足为点F,若CF=BE

=6,DE=16,则AD的长为（）

A.16B.14C.13D.8

【答案】A

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

.\AD=BC,AD/7BC

・，・NADE=NCED

ZADC的平分线交BC于点E

AZADE=ZCDE

AZCDE=ZCED

ACE=CD

VCF±DE

EK=yDE=8,ZCFE=90°

•*-CE=7CF2+EF2=IO

/.AD=BC=BE+CE=16

故选：A.

2、如图，点E,F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF,CE,已知AF〃CE,且BE=4,

BD=13,则EF的长度为（）

第13页共42页

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

AAB/ZCD,AB=CD

AZABD=ZCDB

VAF/7CE

AZAFB=ZCED

在AABF和4CDE中

,ZAFB=ZCED

<ZABF=ZCDE

AB=CD

AAABF^ACDE(AAS)

ABF=DE

・・・BE=DF=4

.\EF=BD-BE-DF=13-4-4=5.

故选：C.

3、如图，在口ABCD中，AB=3,NABC与NBCD的角平分线交于点E,若点E恰好在AD边上，则

CE^BE?的值为()

A.12B.16C.24D.36

【答案】D

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，AB=3

第14页共42页

ADC=AB=3,AD/7BC,AB//CD

AZAEB=ZCBE,ZDEC=ZDCE,ZABC+ZDCB=180°

ZABC与NBCD的角平分线交于点E,点E恰好在AD边上

・•.NABE=NCBE=《NABC,NDCE=ZBCE=4-ZDCB

22

AZAEB=ZABE,ZDEC=ZDCE,NCBE+NBCE=£(ZABC+ZDCB)=90°

.\AE=AB=3,DE=DC=3,ZBEC=180°-(NCBE+NBCE)=90°

/.BC=AD=AE+DE=3+3=6

/.CE2+BE2=BC2=62=36

故选：D.

4、如图，在口ABCD中，NBCD的平分线交BA的延长线于点E.若AE=1.5,CD=3.5,则BC的

长为.

【答案】5.

【解析】・・♦四边形ABCD是平行四边形

/.AB/7CD,AB=CD=3.5

AZE=ZECD

VCE平分NBCD

/.ZBCE=ZECD

/.ZE=ZBCE

ABE=BC

VBE=AE+AB=1.5+3.5=5

/.BC=BE=5.

故答案为：5.

第15页共42页

5、如图，平行四边形ABCD中，ZB=60°,AB=4,AD=5,E,F分别是边CD,AD上的动点,

且CE=DF,则AE+CF6勺最小值为.

【辱案】V61-

【解析】如图，延长BC到点H,使CH=CD,连接EH,AH

•.•四边形ABCD是平行四边形

AAB=CD=4,AD=BC=5,AD/7BC

AZD=ZECH

在ACDF和aHCE中

CD=HC

<ZD=ZECH

DF=CE

/.△CDF^AHCE(SAS)

ACF=HE

AAE+CF=AE+HE

当A、E、H不共线时，AE+HE>AH

当A、E、H共线时，AE+HE=AH

AAE+HE的最小值为AH

即AE+CF的最小值为AH

过点A作AG±BC于点G

AZAGB=ZAGH=90°

VZB=60°

第16页共42页

AZBAG=30°

ABG=4-AB=2

2

・，AG=7AB2-BG2=742-22=2近

VCD=CH=4

ABH=BC+CH=9

BH=BC-BG=7

.\AH=7AG2-K}H2=V61

即AE+CF的最小值为我

故答案为：V61.

6、如图，在平行四边形ABCD中，AE_LBD于E,CF_LBD于F.若BE=4,AB=5,求CF.

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形

.\AD=BC,AD/7BC

AZADE=ZCBF

又・.・AE_LBD于E,CF±BD于F

/.NAED=ZCFB=90°

在4AED和aCFB中

2AED=NCFB

<ZADE=ZCBF

AD=BC

AAAED^ACFB(AAS).

/.AE=CF：

在RtAAEB中，*.*ZAEB=90°

AAE2=AB2-BE2=52-42=9

又・.・AE>0

第17页共42页

AAE=3.

・・.CF=AE=3.

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F.若

ZBAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.

【答案】解：•・•四边形ABCD是平行四边形

AAD/7BC

・・.NDAE=NF

♦・•点E是CD边的中点

・,.DE=CE

在4AED和4FEC中

，ZDAE=ZF

'ZAED=ZFEC

DE=CE

AAAED^AFEC(AAS)

.,.AD=FC.

VCD//AB,ZBAF=90°

.,.ZCEF=ZBAF=90°

VAD=FC,且AD=BC=5

AFC=5

VEF=3

.*.CE=7FC2-EF2=V52-32=4

第18页共42页

ACD=2CE=2X4=8

ACD的长为8.

3利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积

1、如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则4CDE的周长是（）

【答案】A

【解析】・・・AC的垂直平分线交AD于E

/.AE=CE

•・•四边形ABCD是平行四边形

ACD=AB=3,AD=BC=5

/.ACDE的周长是：DE+DE+CE=DC+DE+AE=DC+AD=3+5=8.

故选：A.

2、如图，在。ABCD中，AE平分NBAD交CD于点E.若CE=2,BC=3,则。ABCD的周长为（）

A.16B.14C.10D.8

【答案】A

【解析】:四边形ABCD是平行四边形

AAB//CD,AD=BC=3

AZDEA=ZBAE

•••AE平分NBAD交CD于点E

AZDAE=ZBAE

AZDAE=ZDEA

第19页共42页

AAD=DE=3

・・,CD=DE+CE=5

AAB=CD=5

...aABCD的周长为AD+AB+BC+CD=3+5+3+5=16.

故选：A.

3、如图，在口ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC,AD于E,F.已知4CDE的周长为5,

则口ABCD的周长为.

【答案】10.

【解析】四边形ABCD是平行四边形

・・.DC=AB,AD=BC

IBD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F

ABE=DE

...Z\CDE的周长=CD+CE+ED=AB+CE+BE=AB+BC=5

:•口ABCD的周长=2X5=10

故答案为：10.

4、如图，点E是口ABCD的边CD的中点，AE,BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,则口ABCD

△B

【答案】14.

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

.•.AD/7BC,AD=BC,AB=CD

第20页共42页

AZDAE=ZF

♦・•点E是边CD的中点

ADE=CE=2

ACD=2CE=4

在AAED和4FEC中

2AED=NFEC

<ZDAE=ZF

DE=CE

AAAED^AFEC(AAS)

AAD=CF=3

AD+BC+AB+CD=2AD+2CD=2X3+2X4=14

A°ABCD的周长为14

故答案为：14.

5、如图，四边形ABCD为平行四边形，NBAD的角平分线AF交CD于点E,交BC的延长线于点F.

(1)求证:BF=CD：

(2)连接BE,若BE_LAF,ZBFA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.

【答案】（1）证明：•・,四边形ABCD为平行四边形

AAB=CD,AD/7BC

...NFAD=NAFB

又•・・AF平分NBAD

・♦.NFAD=NFAB.

AZAFB=ZFAB.

AAB=BF

ABF=CD：

第21页共42页

(2)解：•.•由(1)知：AB=BF

又；ZBFA=60°

•••△ABF为等边三角形

AAF=BF=AB,ZABF=60°

VBEXAF

・・・点E是AF的中点.

VAB=BF=4

・・・EF=2,BF=4

在RtZ\BEF中，ZBFA=60°

ABE=273

•二△ABF的面积=]■X4X2近=小巧

,四边形BACD是平行四边形

AAD//BC

AZD=ZDCF,ZDAE=ZF

VAE=EF

.,.△ADE^AFCE(AAS)

・•.平行四边形ABCD的面积=4ABF的面积=4愿.

6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD

=DF,连接DE.

(1)求证：AE平分NBAD;

(2)若点E为BC中点，ZB=60°,AD=5,求平行四边形ABCD的周长.

【答案】(1)证明：•・,四边形ABCD是平行四边形

.,.AB/7CD

第22页共42页

即AB〃DF

・•.NBAE=NF

VAD=DF

AZDAE=ZF

・・.NBAE=NDAE

AAE平分NBAD；

(2)解：•.•四边形ABCD是平行四边形

・・.AD〃BC,AD=BC

VAD=5

ABC=5

VE为BC的中点

115

・・.BE==BC==X5=N

222

VAD//BC

AZDAE=ZBEA

VZBAE=ZDAE

AZBAE=ZAEB

.'.△ABE为等腰三角形

又；ZB=60°

•••△ABE是等边三南形

・・・AB=BE=W

2

,・.CD=AB=N

2

・•・平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB=2X5+2X-1=15.

4利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标

1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A(-1,2),0C=5,点B的

坐标是()

第23页共42页

B

O

A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,2)D.(4,-2)

【各案】0

【解析】•・,四边形OABC是平行四边形

AAB/70C,AB=0C

VA(-1,2),点C在x轴上且0C=5

AXB=-1+5=4,yB=yA=2

AB(4,2)

故选：C.

2、如图，口ABCD中，BE平分NABC交AD于E,若NC=56°,则NBED度数为()

AED

BC

A.112°B.118'C.119°D.120°

【答案】B

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形.

/.AD/7BC,AB〃CD

AZABC+ZC=180°

.\ZABC=180°-ZC=180°-56°=124°

VBE平分NABC

・・・NEBC=12404-2=62°

VAD/7BC

AZEBC+ZBED=180°

第24页共42页

AZBED=1800-ZEBC=180°-62°=118°

故选：B.

3、如图，0为原点，口ABCD的顶点A(0,4),B(-5,-1),C(0,-1),则点D的坐标

(4,5)C.(5,4)D.(4,4)

【答案】C

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

AAD=BC,AD/7BC

VB(-5,-1),C(0,-1)

/.BC=0-(-5)=5

AAD=5

VA(0,4)

・••点D的坐标为（5,4）

故选：C.

4、在。ABCD中，E为BC边上一点，AB=AE,若AE平分/DAB,ZEAC=25°,则ZACB

【卷案】35.

【解析】四边形ABCD是平行四边形

AAD//BC,AB/7CD,AB=CD

AZDAE=ZAEB,ZACD=ZBAC

第25页共42页

VAE平分NDAB

...NEAB=NEAD

AZEAB=ZAEB

ABA=BE.

VAB=AE

，AB=BE=AE

.,.△ABE是等边三角形

AZB=ZBAE=ZAEB=60°

VZEAC=25°

・,.NACB=NAEB-ZCAE=60°-25°=35°.

故答案为:35.

5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B,C在x轴上，A

(0,2),B(1,0),BC=4,将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标

为.

y

A

【答案】(3,-3)或(-1,3).

【解析】如图，连接BD,过点D作DE_LBC于E

,四边形ABCD是平行四边形

AAD=BC,AD/7BC

VA(0,2),B(1,0),BC=4

...AD=BC=4

・・.点D(4,2)

・・.DE=2,BE=3

若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°,过点D'作D'F_LBC于F

・・.BD=BD',ZDBD'=90°=ZDEB=ZD'FB

第26页共42页

AZDBE+ZD'BE=90°=NDBE+NBDE

AZBDE=ZD'BE

AADBE^ABD'F(AAS)

・・.DE=BF=2,D'F=BE=3

・・.点D'(3,-3)

若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°,过点D''作D''N_LBC于N

同理可求D''(-1,3)

故答案为：(3,-3)或(-1,3).

6、如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上两个点，且BF=DE.

(1)求证:AE=CF;

(2)若AD=AE,ZDAE=100°,求NDFC的度数

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD为平行四边形

AAB//DC,AB=DC

AZABE=ZCDF

VBF=DE

/.BE=DF

在AABE与4CDF中

'AB=DC

<ZABE=ZCDF

BE=DF

第27页共42页

AAABE^ACDF(SAS)

AAE=CF;

(2)解：VAD=AE

AZADE=ZDEA-1(180<>-ZDAE)-y(180°-100°)=40°

.,.ZAEB=180°-ZAED=180°-40°=140°

VAABE^ACDF

.,.ZDFC=ZAEB=140°.

5利用平行四边形的对角相等解决问题

1、如图，在口ABCD中，若NA=70°,则NC的度数是()

A.70°B.1103C.120°D.140°

【答案】A

【解析】,・•四边形ABCD为平行四边形

/.ZA=ZC

VZA=70°

/.ZC=70°.

故选:A.

2、在。ABCD中，如果NA+NC=140°,那么NC等于()

A.20°B.40°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】如图，•・•四边形ABCD是平行四边形

ZA=ZC

VZA+ZC=140°

.,.2ZC=140°

第28页共42页

AZC=70°

故选：D.

3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB=BE,连接AE并延长，与DC的延长线交

于点F,若ND=40°,则NF的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【答案】D

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，ZD=40°

/.ZB=D=40°

VAB=BE

/.ZBAE=ZBEA

/.ZBAE+ZBEA=2ZBAE=180°-40°=140°

NBAE=70°

VDC/7AB

/.ZF=ZBAE=70°

故选:D.

4、如图，在口ABCD中，ZC=70°,DE_LAB于点E,贝|NADE=

【答案】20.

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【解析】•二四边形ABCD是平行四边形

，NC=NA=70°

VDEXAB

AZAED=90°

AZADE=90°-ZA=90°-70°=20°

故答案为:20.

5、如图，。ABCD的对角线AC、BD交于点0,AE平分NBAD交BC于点E,且NADC=60°,AB=

技BC,连接0E.下列结论：

①NCAD=30°

②S，ABCD=AB・AC

③OB=AB

@OE=4BC

4

成立的有（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【答案】①②④

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边彩

AZABC=ZADC=60°,ZBAD=120°

VAE平分NBAD

AZBAE=ZEAD=60°

.:△ABE是等边三角形

・・.AE=AB=BE

VAB=4-BC

2

.,.AE=4BC

2

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.\ZBAC=90°

AZCAD=30°,故①正确；

VACXAB

ABCD=AB・AC,故②正确

VAB=4BC,0B=《BD

22

VBD>BC

AAB^OB,故③错误；

VZCAD=30°,ZAEB=60°,AD〃BC

AZEAC=ZACE=30°

.\AE=CE

/.BE=CE

VOA-OC

/.OE=4AB

2

VAB=4BC

2

・・・OE=±BC.故④正确.

4

故答案为：①②④.

6、如图，口ABCD中，NDAB为钝角，AD=1,AB=&,且^ABCD的面积为1.求^ABCD各内角

的度数.

【答案】解：过点D作DE-LBA交BA延长线于E,如图1所示:

♦・•四边形ABCD是平行四边形

・・.S平行四边形ABCDMZS4ABDMZX,AB.DE=AB*DE=&DE

.\V2DE=1

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.迷=亚

2

22

在RtZ\AED中，由勾股定理得：AE=7AD-DE=^12-(^-)2=

ADE=AE

/.AAED是等腰直角三角形

/.ZDAE=45°

/.ZDAB=180°-45°=135°

•・•四边形ABCD是平行四边形

/.ZDAB=ZBCD=135°,ZADC=ZABC=45°.

6利用平行四边形的对角线互相平分求解

1、如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,AB=4&,点P为BC上任意一点，连接

PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为（）

【答案】D

【解析】设PQ与AC交于点0,作OP'JLBC于P'.如图所示:

在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,AB=4

AAC=472

•・,四边形PAQC是平行四边形

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,・.0A=0C=±AC=2近

乙

AOP,=2

当P与P'重合时，OP的值最小，则PQ的值最小

，PQ的最小值=20P'=4.

故选：D.

2、如图，在口ABCD中，AC与BD交于点0,已知AC+BD=14,CD=5,则△AOB的周长为()

【答案】B

【解析】,・•四边形ABCD是平行四边形

AAO=CO,BO=DO

AA0+B0=-1(AC+BD)=7

又：CD=AD=BC=5

J三角形AOB的周长等于AO+BO+AB

VAB=CD=5

...三一角形AOB的周长=AO+BO+AB=7+5=12.

故选：B.

3、如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0,BC=3,Z^BOC的周长为7,则AC+BD

【答案】8.

【解析】•・•四边形ABCD为平行四边形

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AOC-yAC

VABOC的周长为7

A0B+0C+BC=7

VBC=3

A0B+0C=4

.\AC+BD=2(OB+OC)=8

故答案为：8.

4、如图。ABCD的对角线AC,BD交于点0,AC±AB,AB=2,且AO:B0=2:3.

(1)求AC的长；

(2)求。ABCD的面积.

AZBAO=90°

VAO:B0=2:3

，设A0=2a,B0=3a

・・•四边形ABCD是平行四边形

AAC=2A0=4a

在RtZ^BAO中，由勾股定理得：22+(2a)2=(3a)

解得：a=R£

5

.*.AC=4a=-^-：

5

(2)•・•四边形ABCD是平行四边形，AC±AB

・••口ABCD的面积是AB・AC=2X3返=西返.

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5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,ZABD=90°,AB=0B=2,求线

段0C的长度.

AA0=C0

VZABD=90°,AB=0B=2

22

・'A。=7ABK）B=722+22=2近

A0C=2V2.

7综合应用平行四边形的性质求解

1、如图，已知口ABCD的对角般AC,BD相交于点0,EF经过点0,分别交AD,BC于点E,F,51

0E=4,AB=5,BC=9,则四边形EFCD的周长是（）

A.13B.1C.22D.18

【答案】C

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

/.CD=AB=5,AD/7BC,OB=OD

/.Z0ED=Z0FB,Z0DE=Z0BF

AAOBF^AODE(AAS)

/.0F=0E=4,DE=BF

/.四边形EFCD的周长=EF+ED+CD+CF=OE+OF+CD+BF+CF=OE+OF+CD+BC=4+4+5+9=22

故选：C.

2、在平行四边形ABCD中，ZA+ZC=100°,则ND等于()

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A.50°B.80°C.100°D.130°

【答案】D

【解析】,・•四边形ABCD是平行四边形

，NA=NC,AB/7CD

・・.NA+ND=180°

VZA+ZC=100°

・・.NA=50°

AZD=1800-ZA=130°.

故选：D.

3、如图，在nABCD中，E是BC边上一点，BE=CD,连接AE,ZD=50°,则NBAE的度数为（）

BEC

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案】D

【解析】在口ABCD中，AB=CD,ZB=ZD=50°.

VAB=CD,BE=CD

.\AB=BE.

/.ZBAE=ZBEA=18Q0-50<>=65°.

2

故选：D.

4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于0,过点0作0E_LAC交AD于E.若AE

=2,DE=1,AB=V5,则AC的长为.

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AED

BC

【答案】2亚.

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形

.,.AO=CO,CD=AB=V5

VOE±AC

AOE垂直平分AC

・・,CE=AE=2

VCE2+DE2=22+12=5,CD2=（V5）2=5

ACE2+DE2=CD2

•••△CDE是直角三南形，ZCED=90°

AZAEC=90°

.\AC=7AE2-+€E2=V4+4=2^/2

故答案为：2近.

5、如图，在口ABCD中，E是AD的中点，若AB=6,则OE=

【答案】3

【解析】・・•四边形ABCD为平行四边形

/.OB=OD,AB=CD=6

VE,0是AD,AC的中点

JOE=^CE

A0E=3.

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故答案为：3.

6、如图，口ABC