第六章 章末复习课 学案-2025-2026学年高中数学人教A版必修第二册

第六章复习课

一、向量的线性运算

1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法和数乘运算.从形式上看，向量的线性运算类似于

实数与多项式的运算法则，所以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并同类项等规则在向量的线性运

算中都可以使用.但这种相似仅仅是体现在形式上，在具体意义上则有明显不同，比如向量加法的运算法则

是三角形法则和平行四边形法则等.本部分主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题.

2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.

例1⑴已知向量a=(l,・2),b={mt4),且。〃)，那么2al等于()

A.(4,0)B.(0,4)

C.(4,-8)D.(-4,8)

答案C

解析因为。〃力，

所以1X4=-2X"7,解得m=-2,

所以b=(-2,4),

所以2a-力=2(1,-2)(2,4)=(4,-8).

(2)如现在梯形ABC。中，AB//DC,A/3=2CD,E为线段AO的中点，且5"乏48,则而等于()

4

A.-DC+fi?B.-DC-BC

22

C.DC^-BCD^C--BC

22

答案D

解析由题意，根据向量的运算法则，可得加二通-版qAD=^A?-1（荏+配+而后AB-

15c=1x2D6-|ac

=DC-^BC.

.

反思感悟（1）向量线性运算的基本原则

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它

们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.

（2）向量平行的等价条件

设。=［汨，y）,b=（X2,竺），其中bWO,则a〃bQ”二劝=.rf2y=0.

（3）三点共线的等价条件

A,B,C三点共线,0存在AWR,使得而=2而成立=存在,%〃£R,使得不?=/〃而+〃沆成立，其中

m+n=\.

跟踪训练1如图所示，在正方形A8C。中，M是8。的中点，若而=2而+〃丽，贝=+4等于（）

A.-

3

D.2

c•£8

答案B

角?析因为觉与.宿+〃前二，同+两）+"（^5+而）=2（四+^AD）+/（（-AB+AD）

二（九〃］而+0+〃）福

S.AC=AB+AD,所以入

e+4=1,

解钿：所以；1+/用

二、向量的数量积运算

1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂

直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.

2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.

例2⑴设向量m8是非零向量，且⑷=2制，向量。在向量b上的投影向量为-2—若（〃+b）_L（ad）,

则实数7的值为（）

1I2

AIB.gC,-D.2

答案A

解析因为向量〃在向量。上的投影向量为噩斤-2儿

可得能=・2,即a・方二・2]那,

由(2。+力)±(a-b)可得(7。+8)・(。-力)=i|〃F+(1-^)ab-\b\~=Ot

又⑷=2步],故可得4她2-2(1-4)|淤向2=0,

又力是非零向量，故412(1-2)-1=0,解得在今

(2)设四边形ABC。为平行四边形，|而|二6,|而|=4,若点M,N满足丽=3就，丽=2而，贝I」

丽丽=.

答案9

解析因^]AM=AB+BM=AB+-AD,

4

NM=NC-MC=-AB--AD

34f

所以祠.丽二；(4而+3而冶(4而-3而)*(16亚2-9而2)*x(16X62-9X42)=9.

⑶在平行四边形A8C。中，若AB=2,AD=\,而•而=-1,点M在边CD上，则为?•丽的最大值

为.

答案2

解析因为希•标=1,48=2,AD=1,所以|希卜|而卜cos/BAQF,所以2cos/8AO=-1,即cos/8AQ=-

所以/84。=120。.以点4为原点，A8所在直线为A■轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),

3(2,0),设M(X,y),xs[-l,1],所以宿=(r,-y),MF=(2-x,-y),则拓5丽二4片

2)4=(.r-l)2-j,|],则当时，加・就取得最大值2.

ABx

反思感悟(1)向量数量积的两种计算方法

①定义法：当已知向量的模和夹角夕时，a-b=\a\\h\cos/9,有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线

定理去表示向量；

②坐标法：当已知向量的坐标。二(用,y1),b=(X2,”)时，ab=x\X2+y\yz.

(2)利用向量数量积可以解决以下恒题

设〃巾，y)，6=(X2,)2),

①两向量垂直的等价条件

a±Z><=>a^=0<=>xiX2+yiy2=0(a,力均为非零向量)；

②求向量的模的问题

M=y/x1+yl：

③两向曼夬角的余弦值(OWOWTI,a,6为非零向量)

ab

xix2+yiy2

同向J*+y小科娃

跟踪训练2（1）若等边△A8C的边长为3,平面内一点加满足由=：而+［曰5,则前•丽的值为（）

•3乙

A.--B.-2C.—D.2

22

答案B

解析因为病二由-N,BM=CM-CB,

所以宿.丽=（丽-R）•（而-丽）

=（；派+^CA-CA）^CB+^CA-CD^

=（海-河）•（-萍+河）

=-lcB2^CB-CA-^CA2

924

=1X9+乙X3X3xCOS600--X9=-2,

924

（2）已知平面向量。=（2,力,6=（1,-2）,c=（-l,〃），若a"b,b_Lc,则a+b与6+c所成角的余弦值

为•

答案誓

O

解析因为。=(2,2),3=(1,-2),c=(-l,ju)ta//byb_Lc,

所以1X(-1)+(-2)〃=0,

解得—4,〃=[,

所以a=(2,-4),c=(-1,一；),

所以4+5=(3,6),b+c=(Q,—3)，

_ja+b)Q+c)15_2而

所以cos(a+b,b+c)

\a+b\\b+c\3V5x15

三、余弦定理、正弦定理

I.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正

弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.

2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养.

例3在①〃+V^c=/+c2；②4cosB=〃sinA；③sin8+cosB=VL这三个条件中任选一个，补充在下面

的横线上，并解决问题.

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,/?=V2,求△48C的面积.

解若选择条件①户+&"=。2+已

则由余弦定理的推论，得cos81_yf2ac_^2

2ac2ac2'

因为B£（0,兀），所以8二：；

4

由正弦定理号二号，

sin/1sinB

sinBv2

因为A=\B=\

34

所以o喏靖,

u匕I”•一•5n./n,ir\.ITnn.nv名+夜

所以sinC=sin—=sin(-4--)=sin-cos-+cos-sin-=-----

12\46/46464

所以S^=-abs\nC=-XV3XV2X.

ABC2244

若选择条件②acosB=bsinA,

则由正弦定理，得sinAcosB=sinEsinA,

因为A£（0,兀），所以sinAHO,所以sin8=cosB,

因为B£（0,7C）,所以8=：.

4

下同①.

若选择条件③sinB+cosB-y[2,

则或sin（B+：）=近，所以sin（B+：）=1,

因为B£（0,兀），所以O:y）,

所以B咛甘，所以8二今

下同①.

反思感悟（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如。=2RsinA,苏+力2.c2=2"cosC等），利用三角变换得

出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在A/WC中，sin

A=sin8=A=B;sin（A-8）=0=A=8:sin2A=sin28=A=8或A+B三等.

2

（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=2,COSAJ*：—八等,通过代数变换将角的关系化为边的

2R2bc

关系.

跟踪训练3已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,«sinC=csin

(1)求A;

（2）己知b=l,c=3,且边上有一点。满足SAAg=3S,y*，求AD

解(1)由已知及正弦定理，得

sinAsinC=sinCsin

2

-t,-rf.i.B+C.Tt—AA

又因为sin--=sin--=cos

222

所以sinAsinC=sinCeos*

因为sinCHO,

所以sinA二cosp

所以2sin40s-=cos

222

因为与，所以cos

所以sin?W，即93，

ZZZb

所以

(2)设/8D4=a,则NAOC=TIZ,

在△48C中，由余弦定理，得/u/Ad-ZbccosN84c

=12+32-6COS-=7,

3

解得<7=V7.

因为SAAfi£>=35.MDC>

所以

BD=3DC=—4,

在△A8D中，由余弦定理，得9二丝+4。2-里/。90§0,①

152

在△4OC中，由余弦定理，得1=二+4。2-"3。£05(兀-6(),②

162

由①②解得AO二萼

4

四、正弦、余弦定理在实际问题中的应用

1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面

图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利

用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.

2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养.

例4-•辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处-山脚C在西偏北

。方向上，行驶akm后到达8处，此时测得此山脚C在西偏北夕方向上，在8处看到山顶。的仰角为

用根据这些测量数据计算(其中外㈤此山的高度是()

asinasinyasinaiany

AB.

'sin(/?-a)sin(/7-a)

asin/?sinyDasinftany

c.sin(/?-a),sin(/?-a)

答案B

解析设此山高"km,则〃C=J-,在△48C中，NACB5%AB=akm,根据正弦定理得乎~二Y^

tanysinasinzxlCH

即解