2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 平面向量的数量积及其应用

第六章平面向量、复数第三节平面向量的数量积及其应用课标解读考向预测1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.预计2026年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础∠AOB|a||b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ3．平面向量数量积的几何意义投影投影向量4．向量数量积的运算律(1)a·b＝_____．(2)(λa)·b＝______＝_______．(3)(a＋b)·c＝_________．b·a

λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝01．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论已知向量a，b，(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.×√×(2)(人教A必修第二册6.2.4练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为_______．(3)(人教B必修第三册8.1.2例2改编)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，则〈a，b〉＝______．60°8考点探究—提素养平面向量数量积的运算

(1)(2025·江苏淮安模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝_____，a·b＝_____．解析：如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.0316

计算平面向量数量积的主要方法平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1平面向量的模

(2)(2024·河北唐山一中高三调研)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝_______．2或5

求平面向量的模的方法

求平面向量的夹角的方法考向3平面向量的垂直(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.故选D.

有关平面向量垂直的两类题型(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考向4最值、范围问题(2)(2025·福建漳州模拟)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为_____．

利用数量积求最值、范围的方法方法一用数量积的运算转化为代数问题求最值方法二利用向量三角不等式求最值方法三利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值解析：因为(c－2a)·a＝0，|a|＝1，所以c·a＝2，所以c在a上的投影向量的模为2，所以当c与a同向共线时，|c|有最小值2，所以|c－b|≥||c|－|b||≥2－1＝1.故选A.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考向平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的运算平面向量数量积的应用平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的运算考点平面向量的垂直平面向量的模平面向量的夹角平面向量的垂直；平面向量的夹角平面向量的夹角投影向量平面向量数量积的综合应用平面向量的模；平面向量的夹角；平面向量的垂直平面向量数量积的运算律题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向平面向量数量积的运算平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的运算；平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用考点平面向量数量积的运算律平面向量的模利用平面向量的数量积求参数平面向量的模最值、范围问题平面向量的模最值、范围问题最值、范围问题平面向量数量积的综合应用最值、范围问题一、单项选择题1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.4．(2025·湖南株洲高三模拟)已知平面向量a与b相互垂直，a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b＝(

)A．(－3，－4) B．(4，3)C．(－4，3) D．(－4，－3)10．下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(

)A．(a＋b)·c＝a·c＋b·cB．(a·b)·c＝a·(b·c)C．a·b≤|a||b|D．|a－b|≤|a|＋|b|解析：根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．故选ACD.11．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，下列结论中正确的是(

)A．a⊗b＝b⊗aB．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)C．(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗cD．若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1解析：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，此时(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a||e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，则|a|＝|u|，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1＝|a|＋1，故D正确．故选AD.三、填空题12．(2024·辽宁沈阳高三教学质量监测三)已知向量a，b满足|a|＝2，(4a＋b)·b＝4，则|2a＋b|＝_______．13．(2025·广东清远清新区四校高三期末联考)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则使(λa＋b)·(λa－b)<0成立的一个充分不必要条件是_________