八年级数学上册《确定位置》单元教学设计

八年级数学上册《确定位置》单元教学设计

（北师大版）

一、设计理念与指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生核心素养，特别是几何直观、空间观念、抽象能力、模型观念和应用意识。课程改革倡导从“知识本位”转向“素养本位”，强调知识的整体性、情境性和实践性。因此，本设计摒弃传统的碎片化、机械式教学，致力于构建一个以“大概念”为统领、以“真实问题”为驱动、以“深度探究”为主线的学习单元。

“确定位置”不仅是平面直角坐标系的前奏，更是人类描述和理解空间秩序的基础数学语言。本设计将从哲学（秩序与描述）、历史（从航海到卫星）、科技（从地图到增强现实）的跨学科视野出发，引导学生理解“确定位置”的本质是对参照系、方向和距离的约定与量化。我们将此单元视为一个微型的研究项目，学生将从最原始的位置描述需求出发，历经方法的创造、比较、优化，最终自主“发明”出有序数对和平面直角坐标系的思想雏形。整个过程强调数学的“再创造”，使学生在体验数学知识发生发展过程的同时，完成从具体感知到抽象建模，再到实践应用的认知飞跃，实现深度学习。

二、教材分析与知识定位

在北师大版八年级数学上册的体系中，“确定位置”位于第三章，是连接“实数”（一维数轴）与“一次函数”（二维图形与关系）的关键桥梁。本章内容上承图形与几何领域中“图形与坐标”主题的起点，下启函数学习的图像基础，具有承上启下的枢纽地位。

教材内容通常涵盖：在具体情境中感受确定位置的必要性，探索并掌握用有序数对、方位角+距离、经纬度等方法确定位置，并初步感知平面直角坐标系的思想。然而，传统处理往往将几种方法平行罗列，缺乏内在逻辑的贯穿与思想层面的升华。

本设计的进阶之处在于，重构教材内容序列，以“如何精准、唯一地描述位置”为核心问题链，将各种方法组织成一个层层递进、相互关联的认知阶梯：

1.第一层：无序到有序——从模糊描述（如“在那边”）到基于参照物的相对描述（如“在讲台右边”），揭示参照系选择的必要性。

2.第二层：定性到定量——从相对描述（左、右）到引入网格和序数进行量化（如第几排第几列），抽象出有序数对模型，强调顺序的意义。

3.第三层：方式多元化——在不同的现实约束下（如航海、航空、地理），探索方位角+距离（极坐标思想）和经纬度（球面坐标思想）的模型，比较其适用情境，体会数学模型的多样性与统一性。

4.第四层：系统化与一般化——从网格自然延伸，引出平面直角坐标系的构建思想，为后续系统学习坐标系埋下伏笔，完成从特殊方法到一般工具的跨越。

这样的分析定位，使本章学习不再是一堆孤立方法的集合，而是一个完整的数学建模过程，旨在培养学生面对真实空间问题时，能够灵活选取或建构合适数学模型的能力。

三、学情分析

八年级学生正处于从具体运算向形式运算过渡的关键期，其抽象思维能力和逻辑推理能力正在快速发展，但仍有赖于直观经验和具体情境的支持。

已有认知基础：

1.生活经验：学生已具备大量关于位置的生活直观经验，如教室座位、电影院座位、地图查找等，能使用“前后左右”、“东南西北”等词汇进行大致描述。

2.数学知识：熟练掌握实数与数轴，理解数轴上的点与实数的一一对应关系，这是一维“确定位置”的基础。具备基本的几何图形知识和度量概念（如长度、角度）。

可能存在的认知障碍与发展点：

1.从一维到二维的思维跨越：学生熟悉数轴的一维定位，但将两个独立的有序数轴正交组合来确定二维平面上的点，存在思维转换的困难。难点在于理解“有序数对”作为一个整体与平面上点的唯一对应关系。

2.参照系选择的自觉性：在生活中，参照系常常是默认、隐性的。学生需要经历认知冲突，才能深刻体会参照系选择的任意性、必要性和约定俗成性。例如，不指明以谁为观测点，“在我的左边”这一描述是无效的。

3.数学模型的应用意识：学生可能认为有序数对、经纬度等只是书本知识，难以主动将其与解决复杂实际问题（如无人机编队、物流路径规划）建立联系。需要设计高阶任务，驱动其应用与创新。

4.不同模型间的关联与转化：理解有序数对与方位角+距离两种模型描述的是同一个点的不同数学“身份”，并能进行初步的思维关联，是更高的思维要求。

基于此，本设计将通过创设富有挑战性和趣味性的层层任务，暴露学生的前概念，引发认知冲突，在合作探究与思辨中推动其认知结构的发展与重组。

四、单元教学目标

（一）核心素养目标

1.抽象能力：能从现实情境中抽象出确定位置的核心数学要素（参照点、方向、距离、次序），并经历从具体到符号（有序数对）的抽象过程。

2.几何直观与空间观念：能在头脑中想象和构造网格、方向射线等，理解图形（点）与数（对）之间的对应关系，建立二维平面的表象。

3.模型观念：初步形成针对“确定位置”问题的数学模型意识，了解有序数对、方位角+距离等是解决同一类问题的不同数学模型，并能根据情境初步选择合适的模型。

4.应用意识：有意识地运用所学的位置确定方法解释现实世界中的现象，解决模拟或简化后的实际问题，体会数学的广泛应用价值。

5.创新意识：在探索不同确定位置方法的过程中，鼓励提出新想法，设计新的定位方案，感受数学创造的乐趣。

（二）学科知识与技能目标

1.理解在平面内确定一个物体位置一般需要两个数据。

2.掌握用“有序数对”（a，b）表示物体位置的方法，理解“有序”的含义（a≠b时，（a，b）与（b，a）表示不同位置）。

3.了解并能在简单情境中运用“方位角+距离”（或称“极坐标”）的方法确定位置。

4.了解经纬度定位的基本思想，知道其是全球范围内确定位置的常用方法。

5.通过探索以上方法，初步感知平面直角坐标系的构成思想（两条数轴、原点、正方向、单位长度、象限）。

（三）过程与方法目标

1.经历观察、思考、讨论、操作等数学活动，体会“发现问题——提出方法——比较优化——形成模型”的数学探究过程。

2.学会在小组合作中清晰表达自己的观点，倾听并辨析他人的意见，通过协作共同解决问题。

3.初步掌握从数学角度分析和解决实际位置问题的一般思路。

（四）情感态度与价值观目标

1.感受数学与生活的紧密联系，体验数学在统一、简化描述世界中的力量与美感。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.了解人类在航海、航空、航天等领域为精确定位所做的努力（如从六分仪到GPS），感受科技发展中数学的关键作用，激发科学探索精神。

五、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.理解在平面内确定位置需要两个独立数据的必要性。

2.3.掌握用有序数对表示位置的方法，并理解其有序性。

3.4.体会数学建模思想，即用数学语言（模型）简洁、精确地描述现实情境。

5.教学难点：

1.6.从实际情境中自觉、合理地选择参照系，并抽象出有效的定位数据。

2.7.“有序数对”概念的理解，特别是顺序的不可交换性所代表的几何意义。

3.8.不同定位方法（如有序数对与方位角+距离）之间的内在联系与思想统一性认知。

六、教学准备与资源

1.教师准备：

1.2.精心设计的多媒体课件，包含问题情境动画、动态演示（如从网格到坐标系的生成）、古今定位工具图片（罗盘、六分仪、GPS卫星网络）、跨学科应用案例（地理信息系统GIS、棋盘、像素画）。

2.3.课堂探究活动材料包：每组一张印有不同情境（如岛屿藏宝图、城市街区局部图、抽象点阵图）的图纸；透明网格胶片；量角器；直尺；记号笔。

3.4.设计并印制“探究学习任务单”，引导学生记录思考过程与方法。

4.5.准备实物或模型：如教室座位表、电影票、地球仪。

6.学生准备：

1.7.复习数轴相关知识。

2.8.预习教材，对“确定位置”的方法有初步的、生活化的思考。

3.9.常规学习用具。

10.环境与技术：

1.11.具备多媒体交互功能的教室。

2.12.可考虑使用在线协作白板（如希沃白板、Jamboard），供小组实时共享探究成果。

3.13.如有条件，可准备简单的编程环境（如Scratch、PythonTurtle）用于课后拓展，可视化验证位置坐标。

七、教学过程设计（共3课时）

第一课时：从混乱到秩序——参照系与有序数对的诞生

（一）创设冲突，激趣导入（约8分钟）

1.情境初现：课件播放一段简短的无声动画：一个宽阔的广场上，甲对乙喊：“快看，气球在那儿！”乙四处张望，一脸困惑。提问：“乙为什么找不到气球？问题出在哪里？”

2.头脑风暴：学生自由发言。引导得出：描述太模糊，缺少关键信息。

3.任务驱动：教师出示一幅复杂的“校园一角”图片，图中散落着多个不同标志物（如一座亭子、一棵特别的树、一个雕塑）。发出指令：“请告诉你的同桌，图片中红气球的具体位置。”给学生1分钟尝试描述。

4.暴露前概念：邀请几组学生分享他们的描述语言。预计会出现：“在树的旁边”、“在亭子的左前方”、“在图的中间靠上部分”等。教师将关键描述词板书。

5.引出核心问题：教师追问：“‘树的旁边’是哪一边？‘左前方’是以谁面向的左前？‘中间靠上’的边界在哪里？你们的描述能让同桌唯一、快速地找到吗？”制造认知冲突，自然引出本课核心问题：“如何才能清晰、唯一、精确地描述平面上一个点的位置？”

（二）合作探究，建构方法（约25分钟）

探究活动一：为教室座位立法

1.任务发布：假设我们是第一批来到这个教室的人，需要为所有座位建立一套“地址”系统，以便任何人根据“地址”都能准确找到座位。请以小组为单位，设计你们的方案。要求：方案必须能唯一确定每一个座位。

2.小组探究：学生分组讨论。教师巡视，关注不同方案的雏形：有的可能从门口开始数排和列；有的可能以某盏灯或黑板为基准；有的可能用数字和字母组合。鼓励多种方案。

3.方案展示与辩析：邀请2-3个小组上台展示方案，并说明如何用该方案描述某个特定座位（如教师指定的座位）。

1.4.方案A（第m排第n个）：引导讨论：“排”怎么定义？从哪边开始算第一排？“个”是从左往右还是从右往右？方向必须统一。

2.5.方案B（区域+编号）：如把教室分左中右三区，每区内再编号。引导比较其与方案A的优缺点（可能更直观但不够精细）。

3.6.方案C（数对，如（3，5））：如果出现，重点关注其解释：第一个数代表什么？第二个数代表什么？顺序能否调换？请用（5，3）找一下座位，验证是否相同。引出“有序”的初步概念。

7.共识达成：通过比较，引导学生认识到一个“好”的方案需要：一个明确的起点（参照点）、两个独立的方向（如纵向和横向）、以及在这两个方向上的度量（数字）。这为有序数对的出现铺平道路。

探究活动二：抽象到一般——网格与数对

1.情境迁移：课件展示一个空白矩形区域，代表一个“新区”。区内有一个点A。提问：如何为这个“新区”建立像教室座位一样的定位系统？

2.工具介入：分发透明网格胶片。学生将网格覆盖在图形上。立刻发现，点A落在了某个网格内。

3.方法形成：引导学生用“第几列第几行”来描述点A。强调列和行的顺序。例如，先水平数列，再垂直数行。

4.符号化：教师指出：“第3列第5行”的数学表达可以简化为一对数（3，5）。规范读作“数对三、五”或“坐标三、五”。板书：（列数，行数）。特别强调：括号和逗号是必须的，顺序是固定的。

5.概念巩固练习：

1.6.在网格图上，给定几个点，让学生写出其有序数对。

2.7.教师报出几个有序数对，让学生在网格图上标出对应的点。重点设计（2，3）和（3，2），让学生标出，直观感受“顺序不同，位置不同”。

（三）归纳提炼，形成概念（约7分钟）

1.教师引领总结：引导学生一起回顾探索历程。

1.2.从模糊描述到精确描述的关键是什么？（确定参照基准和度量方法）

2.3.我们今天找到的精确描述平面上点位置的方法是什么？（用有序数对（a，b））

3.4.什么是有序数对？它由几部分组成？顺序为什么重要？（它是由两个有顺序的数a和b组成，a和b代表在不同方向上的度量，顺序代表度量的方向，交换后通常代表不同的点。）

4.5.在平面上确定位置，为什么需要两个数？（因为平面是二维的，需要两个独立的信息来限定。）

6.板书结构化：形成核心概念框图。

1.7.核心问题：如何唯一确定平面上点的位置？

2.8.关键要素：参照点、两个方向、两个量化的数据。

3.9.数学模型：有序数对（a，b）。

4.10.注意事项：顺序性、整体性、一一对应。

（四）分层练习，巩固新知（约5分钟）

1.基础应用：完成教材配套的基础练习题，如根据座位表写数对，根据数对找位置。

2.思维提升：

1.3.逆向思考：如果规定有序数对（x，y）中，x表示行数，y表示列数，那么（2，5）和刚才的（5，2）表示同一个座位吗？这说明了什么？（规则约定是首要的）

2.4.生活联结：举出生活中使用有序数对思想的实例（电影票、棋盘、Excel表格单元格）。

（课后作业）

1.绘制自己卧室的简易平面图，尝试用有序数对的方式为家具（床、书桌、衣柜）定位。思考：你的参照点、方向是如何选择的？

2.预习：除了“第几列第几行”，你还能想到其他确定位置的方法吗？查阅资料，了解“经纬度”是什么。

第二课时：方法的拓展与比较——从网格到方位与经纬

（一）温故引新，提出问题（约5分钟）

1.复习回顾：快速提问：用有序数对（4，1）确定位置，需要事先约定哪些规则？（起点、行列方向、计数顺序）

2.情境挑战：展示一幅“海盗藏宝图”情境：在一片茫茫大海上，有一个中心岛屿（作为参照点）。藏宝信息记载：“宝藏在岛屿北偏东40°方向，距离岛屿5海里的地方。”

1.3.提问：能用上节课的“有序数对”方法直接找到宝藏吗？为什么？（缺少现成的网格，或者说，网格的构建在这里不自然。）

2.4.揭示课题：今天，我们探索确定位置的另类方法。

（二）探究新知，掌握多元方法（约30分钟）

探究活动三：指向宝藏的罗盘——方位角+距离法

1.解读信息：引导学生分解信息：“北偏东40°”是方向，“5海里”是距离。核心要素依然是：参照点（岛屿）、方向、距离。

2.工具与操作：每组发一张以岛屿为中心、标有基本方向（N，S，W，E）的图纸。学生使用量角器（规定0°线对准正北，顺时针或逆时针旋转需统一约定）和直尺，尝试在图纸上标出宝藏的可能位置。

3.方法规范化：

1.4.教师讲解“方位角”的数学定义：通常以正北方向为基准（0°），顺时针旋转到目标方向线所形成的角度。因此，“北偏东40°”对应的方位角就是40°。“南偏西30°”对应的方位角是180°+30°=210°。可通过动态课件演示强化理解。

2.5.强调表示方法：（方位角，距离）。例如（40°，5海里）。这也是一对有序的数，但意义与（列，行）不同。

6.巩固练习：在图纸上，给出几个以岛屿为参照的点，让学生用方位角和距离描述。或给出几个（方位角，距离）描述，让学生定点。

探究活动四：给地球贴标签——经纬度初探

1.从平面到球面：提问：如果要确定地球表面上一个城市（如北京）的位置，用网格法或方位角+距离法方便吗？有何问题？（地球是球面，网格会扭曲；没有统一的中心点供测量方位角。）

2.模型展示：出示地球仪或三维地球动画。介绍古人智慧：假想地球被一个“网格”包裹，这个网格由经线和纬线构成。

1.3.纬线：平行于赤道的圆，用来度量南北位置（纬度）。赤道为0°，向北为北纬（N），向南为南纬（S）。

2.4.经线：连接南北两极的半圆，用来度量东西位置（经度）。本初子午线为0°，向东为东经（E），向西为西经（W）。

5.定位原理：类比有序数对。地球上任意一点的位置，可以用一个“有序数对”（纬度，经度）来确定。例如北京的近似坐标是（40°N，116°E）。强调：这同样需要两个数据，且顺序通常约定为（纬度，经度）。

6.思想提炼：经纬度本质是在球面上建立了一个弯曲的“坐标网格”系统。它是二维定位思想在球面上的创造性应用。

（三）分析比较，深化理解（约10分钟）

1.小组讨论：三种方法——有序数对（网格法）、方位角+距离（极坐标法）、经纬度，它们有什么共同点？各适用于什么情境？完成学习任务单上的对比分析部分。

2.全班分享与教师总结：

1.3.共同点：都需要一个参照基准；都需要两个独立的数据；目标都是实现点与数据的“一一对应”。

2.4.不同点与适用情境：

1.3.5.有序数对：适用于具有规则矩形结构或易于建立直角网格的场景，如城市街区、棋盘、教室、像素图像。优点是直观，易于计算两点间的“网格距离”。

2.4.6.方位角+距离：适用于从某一中心点观察和描述周围物体位置的场景，如雷达扫描、航海、航空、救援。优点是与人的观察方式（看方向、估距离）接近。

3.5.7.经纬度：专用于全球性的、大范围的球面定位，是地理学和导航的通用语言。

8.渗透模型观念：指出这三种都是“确定位置”的数学模型。数学模型没有绝对的好坏，只有是否适合特定的问题和情境。选择或创造合适的模型，是数学应用能力的重要体现。

（四）应用迁移（约5分钟）

设计一个综合小任务：“如果你是公园导览系统的设计师，要在公园地图上为三个景点（亭子、喷泉、花坛）设计定位描述，以便游客通过手机查询。你会为每个景点选择哪种或哪几种定位描述方法？为什么？”（例如，亭子可用相对于公园入口的方位角和距离；喷泉和花坛如果靠近道路网格，可用有序数对；同时为所有景点提供基于公园平面图的网格坐标。）

（课后作业）

1.查找自己家乡的经纬度，并在地图软件上验证。

2.思考：能否将教室里的某个点（如投影仪）同时用“有序数对”和“以讲台为参照点的方位角+距离”来描述？尝试一下，体会两种方法描述的是同一个点。

第三课时：系统的力量——走向平面直角坐标系

（一）承前启后，聚焦系统化（约7分钟）

1.复习导入：回顾前两课学习的三种方法。指出网格法（有序数对）在数学上具有极大的可扩展性和系统性。

2.问题激发：展示一个更大的、没有明显边界的平面，上面散落着许多点。提问：用有序数对来描述这些点，现在面临什么新困难？（网格的起点、方向、单位长度都需要自己定义，且每个点都要单独数格子，效率低，不便于寻找规律。）

3.提出设想：能否建立一个覆盖整个平面的、标准的、带刻度的“网格系统”？就像给整个平面铺上印有数字的坐标纸。

（二）自主建构，形成系统（约20分钟）

探究活动五：创造我的坐标系

1.任务引导：每个小组发一张画有一个点A的白纸。任务：请你们小组，在白纸上建立一套“标准系统”，使得平面内任意一点的位置，都能方便地通过两个数读出来。你们可以自由决定系统的起点、方向和刻度。

2.小组创造：学生动手操作。教师预期并鼓励多种创造：有的可能画两条垂直的线，标上数字；有的可能画三条射线夹角120度；有的可能画一条水平线和一条斜线。巡视中，收集典型方案。

3.展示与择优：将不同方案投影展示。

1.4.重点讨论“两条互相垂直的数轴”方案。追问：为什么选择垂直？为什么是数轴？（数轴自带原点、正方向、单位长度，能无缝度量。）两条数轴需要相交吗？交于何处？（自然引出公共原点。）

2.5.与其他方案（如斜交轴、极坐标网格）比较，在度量的便捷性、表示的简洁性上，体会直角坐标系的优势。

6.概念定义：教师顺势给出平面直角坐标系的标准定义。

1.7.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

2.8.介绍各部分名称：水平数轴——x轴（横轴），向右为正；垂直数轴——y轴（纵轴），向上为正；公共原点——O；单位长度通常一致。

3.9.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

4.10.动态课件演示任意点P坐标（a，b）的生成过程，强调“先横后纵”的顺序与垂线操作的对应关系。

（三）深化理解，建立联系（约15分钟）

1.坐标练习：在给定的坐标系中，根据坐标描点，根据点的位置写坐标。特别关注坐标轴上的点（如（3，0））、象限内的点、关于坐标轴对称的点的坐标特征，进行初步感知。

2.沟通联系：

1.3.与有序数对：坐标系是“有序数对”方法的系统化、标准化和全面化。坐标系使得每一个有序数对（a，b）在平面上都有了唯一、明确的对应点，反之亦然。

2.4.与方位角+距离：在坐标系中，点P（x，y）也可以看成是从原点O出发，沿某个方向移动一定距离到达的。这个方向（方位角）和距离（r）可以通过x，y计算出来（勾股定理和三角函数，此处仅作思想联系，不提具体公式）。这为高中学习极坐标与直角坐标的互化埋下伏笔。

3.5.与经纬度：经纬度是球面上的“坐标系”，其经线和纬线在局部小范围内近似于一个弯曲的直角坐标网格。

6.系统优越性揭示：坐标系不仅用于确定位置，更重要的是，它将几何图形（点、线、面）和代数方程（关于x，y的方程）联系起来，这是解析几何的开端，是数学史上的一场革命。可以简要提及笛卡尔的故事。

（四）综合实践，展望未来（约8分钟）

“我是小小规划师”微项目

发布任务：假设你负责规划一个新建社区公园的游乐设施布局。公园是一个100米×80米的长方形区域。

1.以公园西南角为原点，东为x轴正方向，北为y轴正方向，1个单位长度代表10米，建立平面直角坐标系。画出坐标系草图。

2.请在坐标系中，为以下设施“安家”，并标出其坐标：

1.3.一个位于中心偏西的圆形喷泉（坐标自拟，大致合理）。

2.4.一个位于东北角的沙坑。

3.5.一个位于（2，5）位置的秋千。（此坐标是基于你的单位长度换算后的实际位置）

4.6.一条从入口（原点）笔直通向喷泉的小路。

7.（选做）想一想，如果要将这些设施的位置信息录入电子导览系统，除了坐标，还可以如何描述？（如从入口看，喷泉在什么方向，大约多远？）这对应于哪种方法？

通过此项目，学生综合运用本单元知识，体验数学建模解决实际规划问题的全过程，并再次体会不同模型间的关联。

（课后作业与单元总结）

1.完成项目规划的完善与报告。

2.整理本单元思维导图，梳理“确定位置”的不同方法、共同思想、内在联系及其应用。

3.拓展阅读：了解GPS全球定位系统的基本原理（通过多颗卫星发射信号的时间差来确定接收器的位置），思考其中蕴含的“多参照系交汇定位”思想