一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级（上）第二十五章一元二次方程25.1一元二次方程1.能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程,建立模型观念.2.理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称.3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根.学习目标问题1

要设计一座高5m

的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ACB解：设雕像腰部以下的身长

BC=xm，列方程得

x2=5(5

-

x)，整理得

x

2+

5x

-

25

=

0．①雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系：AC∶BC

=

BC∶5，即

BC²

=

5AC.解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长.知识点1一元二次方程的概念问题2

有一块矩形铁皮，长

100cm，宽

50

cm，在它的四角各切去一个同样的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为

3600

cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？100cm50cm3600cm2设各角切去的正方形铁皮的边长为

xcm，则盒底的长为

(100-2x)cm，宽为

(50-2x)cm，根据方盒的底面积3600cm2，可列方程为

(100-2x)(50-2x)=3600.整理并化简，得x²

-

75x+350=0.②由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长.100cm50cm3600cm2问题3

要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1

场)，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛

1

场，则此次邀请赛共需进行场，所以可列得方程整理并化简，得

x2-

x

-

56=0.③由方程③可以得出应邀请的球队数.

方程

①

②

③有什么共同点？x²

-

75x+350=0.②x2+

5x

-

25

=

0．

①x2-

x

-56=0.③总结

一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键观察含有未知数的式子是否为整式不是一元二次方程使方程的右边为0，左边合并同类项观察是否满足“一元”和“二次”不是一元二次方程是一元二次方程是是否否例1下列选项中，是关于

x

的一元二次方程的是（

）C1.判断下列方程是否为一元二次方程：

××××

××一元二次方程的一般形式是

ax²+bx+c=0(a≠0)，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0.即为bx+c=0，不是一元二次方程，所以规定a≠0.思考：为什么规定a≠0？

将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.例2

原方程一般形式确定各项及各项系数(不要漏掉符号)去分母、去括号、移项、合并同类项通常将二次项系数化为正数确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0

跟踪训练

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.

例3

解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8，∵左边≠右边，∴-1不是方程x2-4x+3=0的解；当x=0时，左边=0-0+3=3，∵左边≠右边，∴0不是方程x2-4x+3=0的解；

例3

解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0，∵左边=右边，∴1是方程x2-4x+3=0的解；当x=3时，左边=32-4×3+3=0，∵左边=右边，∴3是方程x2-4x+3=0的解.综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法(代入检验法）数代入方程左边=右边左边≠右边是方程的解不是方程的解定义一元二次方程只含有__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__(二次)的方程一般形式12ax2+bx+c=0(a___0)≠

1.

下列哪些是一元二次方程？是不是是不是不是是3x+2=5x-2；x2=0；(x+3)(2x

-

4)=x2；3y2=(3y+1)(y

-

2)；x2=x3+x2

-

1；3x2=5x

-

1.2.填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-23.(1)已知方程5x²+mx−

6

=

0

的一个根为4，则

m的

值为

；(2)若关于x的一元二次方程

(m+2)x2+5x+m2－4=0有一个根为

0，求

m

的值.二次项系数不为零不容忽视解：将

x

=

0代入方程得

m2

−

4

=

0，解得

m

=

±2.∵m+2≠0，∴m≠−2.综上可知

m=2._____4.如图，已知一矩形的长为