第3课时实物抛物线问题2026-2027学年人教版九年级数学上册

实物抛物线问题R·九年级上册学习目标掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题.能运用二次函数的图象与性质进行决策.情境导入这些桥都有什么特点？探究新知探究2一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）?分析：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)将实际建筑数学化，数字化；(3)明确具体的数量关系，如函数解

析式；(4)分析所求问题，代入解析式求解.xyO解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52.水面上升1m，即此时y=-3.xyO答：此时水面的宽度大约是8.7m.

如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.

与前面方法的结果相同吗？解：依题意建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+3.将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3.xyO水面上升1m，即此时y=0.你还有其他的方法吗？

还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.xyO利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出抛物线上的关键点的坐标；(3)运用待定系数法求出函数关系式；(4)求解数学问题；(5)求解抛物线形实际问题.在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗?xyOy3O以上升1m后的水面为x轴34m2mx=2时，y≥2的话船就能通过.【选自教材P54练习

第2题】

y3O4m2m解：以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图直角坐标系.

判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法：①固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）；②固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）.练习【选自教材P54练习

第1题】在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=－0.2x²+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l.解：y=3.05时，有－0.2x²+3.85=3.05，解得x1=2，x2=－2（舍去）.即篮筐所在位置为(2,3.05)，则l=3.2+2=5.2(m).答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m.随堂演练1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)()A.9.2m B.9.1mC.9m D.5.1mB2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是

.y=-3.75x2AB3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，离地面

米，求水流落地点B离墙的距离.4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？解：以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0)，∴0=a+0.5，解得a=-0.5.∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.

(−1≤x≤1)令x=0.2，y=-0.5×0.22+0.5=0.48,令x=0.6，y=-0.5×0.62+0.5=0.32.(0.48+0.32)×2×100=160(m).∴这条防护栏需要不锈钢支柱

的总长度至少为160m.5.如图，一小球(点A)沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)关于飞行时间x(单位：s)的函数解析式为y=-5x2+20x

，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解:(1)当y=15时，15=-5x2+20x.解得x1=1，x2=3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.(2)当y=0时，0=-5x2+20x.解得x1=0，x2=4.因为4-0=4(s)，所以在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是4s.(3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20.因为-5<0，所以当x=2时，y取得最大值，最大值为20.故在飞行过程中，小球飞行高度在飞行2s时最大，最大高度是20m.6.如图，一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6m，跨度为20m.(1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式.(2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.解法1:(1)如图，建立平面直角坐标系.根据题意知点B，C的坐标分别是(10,0)，(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+6.将点B的坐标代入y=ax2+6，得100a+6=0.解得a=.所以抛物线的解析式为

.(2)能.理由如下：根据题意，三辆汽车并排时最外侧到原点的距离为.当x=7时，y=.故可以并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车.y/mx/m解法2:(1)如图，建立平面直角坐标系.根据题意知点A，B，C的坐标分别是(0,0)，(20,0)，(10,6).设抛物线的解析式为y=a(x-10)2+6.将点B的坐标代入，得0=a·(20-10)2+6.解得a=.所以抛物线的解析式为

(2)能，理由如下:令y=3，得.即x2-20x+50=0.

解得所以.

因为