第3课时循环问题与销售问题2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.3实际问题与一元二次方程第3课时循环问题与销售问题第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.熟练掌握列一元二次方程解应用题.2.掌握循环、销售等问题的常见应用题解法.3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．复习回顾问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.组织者应邀请多少支球队参赛？解：设应邀请x

支球队参赛，根据题意可列得方程

整理并化简，得x2−x−56=0.解方程，得x1=8，x2=–7（不合题意，舍去）.答：组织者应邀请8支球队参赛.探索新知探究3若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？每两支球队之间比赛2场.分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1).假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n–1)=300.

由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.变式训练1.某县团委倡导“我运动，我健康，我快乐”的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？

变式训练2.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？【选自教材第23页练习第1题】

知识要点循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下：类型特点常见实际问题n个元素情况下的循环总次数单循环每两个元素之间算一次握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场）n(n−1)双循环每两个元素之间算两次互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场）n(n−1)探究4一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？分析：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.每件盈利/元销售数量/件获得利润/元原来402040×20现在40−x20+2x(40−x)(20+2x)每件盈利/元销售数量/件获得利润/元原来402040×20现在40−x20+2x(40−x)(20+2x)解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.根据题意，得(40−x)(20+2x)=1200.整理，得x2−30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得x≤15.所以x2=20应舍去.所以x=10.答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.变式训练3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5

元，日销售量增加

10件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

知识要点

随堂练习1.生物兴趣小的学生组，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有_____名学生.2.已知平面上有n

个点，其中任意3个点都不在一条直线上.小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有_____个点.14193.一个凸多边形共有

20条对角线，它是几边形？是否存在有

18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由.

【选自教材第23页练习第2题】4.某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（单位：元/个）与每天销售量y（单位：个）的对应值如下表：x（元/个）…52535455…y/个…760740720700…（1）求

y

关于

x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）当售价定为每个多少元时，每天的利润可达到6000元?x（元/个）…52535455…y/个…760740720700…

x（元/个）…52535455…y/个…760740720700…（2）根据题意，得(x−50)(−20x+1800)=6000.解得