第2课时　等差数列的性质课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质目标素养1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.借助等差数列通项公式的推广学习,提升数据分析素养.2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.通过等差数列性质的学习,提升数学运算素养.知识概览课前·基础认知1.等差数列的图象等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一个固定的常数;当d≠0时,an=dn+(a1-d)是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)在x=n时的函数值;点(n,an)分布在以

d

为斜率,a1-d为截距的直线上,是这条直线上的一系列孤立的点.

微训练1在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14=

.

答案:33故a14=a8+6d=15+18=33.2.等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=

ap+aq

.

①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的

和

,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….

(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为

等差

数列.

(3)若{an}是公差为d的等差数列,则①{c+an}(c为任一常数)是公差为

d

的等差数列;

②{can}(c为任一常数)是公差为

cd

的等差数列;

③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为

2d

的等差数列.

(4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为

pd1+qd2

的等差数列.

(5)若等差数列{an}的公差为d,则d>0⇔{an}为

递增

数列;d<0⇔{an}为

递减

数列;d=0⇔{an}为常数列.

微训练2已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于(

)A.8 B.4 C.6 D.12答案:A解析:因为d≠0,a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.微诊断

若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗?提示:不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3.课堂·重难突破一

等差数列性质的应用典例剖析1.(1)在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求该数列的公差及通项公式.(2)已知数列{an}是等差数列,且a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15的值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1.(2)因为在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,所以a1+a17=a5+a13.由条件等式,得a9=117.故a3+a15=2a9=2×117=234.规律总结1.等差数列中,若已知am,an,求ap,(1)可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap.(2)可以利用等差数列通项公式的推广公式求解,(3)若m,n,p有一定规律,则可以构造新的等差数列求解.2.本题(2)的求解主要用到了等差数列的以下性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.学以致用1.(1)在等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+a4+a5等于(

)(2)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于(

)A.0 B.37

C.100 D.-37答案:(1)B

(2)C解析:(1)由于数列{an}为等差数列,(2)设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,则等差数列{cn}的公差d=c2-c1=0.故c37=100,即a37+b37=100.二

灵活设元求解等差数列典例剖析2.(1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为最后一项的6倍,求这三个数.(2)已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d(公差为d),故这三个数为4,3,2.(2)(方法一)设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),因为四个数成递增等差数列,所以d>0,即d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.(方法二)设这四个数依次为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),因为四个数成递增等差数列,所以d>0,即d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.规律总结常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d.(2)三个数成等差数列且知其和,可设这三个数为a-d,a,a+d,公差为d.(3)四个数成等差数列且知其和,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.学以致用2.已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66,求数列的通项公式,并判断-34是否为该数列的项.解:(方法一)设该等差数列的前三项为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=3a=18,解得a=6.∵前三项的乘积为66,∴6×(6+d)(6-d)=66,解得d=±5.∵该数列为递减数列,∴d=-5,且首项为11,∴通项公式为an=11+(n-1)×(-5)=-5n+16.令-5n+16=-34,解得n=10.∴-34是数列{an}的第10项.(方法二)设数列{an}的公差为d.∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0.故a1=11,d=-5.∴an=11+(n-1)×(-5)=-5n+16,即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10.∴-34是数列{an}的第10项.三

等差数列的实际应用典例剖析3.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解:设从第一年起,第n年的利润为an万元,则a1=200,an+1-an=-20(n∈N*),即每年的利润构成一个等差数列{an},公差为d=-20,从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n.若an<0,则该公司经销这一产品将亏损.则由an=220-20n<0,得n>11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.规律总结解决等差数列实际问题的基本步骤:(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题;(2)构造等差数列模型(明确首项和公差);(3)利用通项公式解决等差数列问题;(4)将所求出的结果回归为实际问题.

学以致用3.在通常情况下,从地面到10km的高空,高度每增加1km,气温就下降某一个固定的数值.已知1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的气温.解:用{an}表示1

km,2

km,3

km,…气温组成的等差数列,设公差为d,则a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,则an=15-6.5n.故a2=2,a4=-11,a8=-37,即2

km,4

km,8

km高度的气温分别为2

℃,-11

℃,-37

℃.随堂训练1.已知等差数列1,a1,a2,9,则a2-a1等于(

)答案:D解析:根据等差数列1,a1,a2,9知,1和9是该数列的第一项和第四项,2.在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7等于(

)A.5 B.8

C.10

D.14答案:B解析:由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5=10,因为a1=2,所以a7=8.3.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为

.

答案:-21解析:设这三个数依次为a-d,a,a+d(公差为d),故这三个数为-1,3,7或7,3,-1.则它们的积为-21.4.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的公共点的个数为

.

答案:1或2解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.故二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的公共点个数为1或2.5.已知数列{an}是等差数列,其公差为d.若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=

.

答案:186.有一批小型洗衣机原销售价为800元/台,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台的价格为780元,买两台时第一台和第二台的价格都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台的价格