高中数学第七章　§7.1　7.1.1　数系的扩充和复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点)3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件.(难点)导语1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10-x)=40的根，他求出的根为5+-15和5--15，积为25-(-15)=40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.负数真的不能开平方吗？一、复数的有关概念问题我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？提示为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=-1.知识梳理1.复数(1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数构成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.注意点：(1)i2=-1.(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.例1写出下列复数的实部、虚部：1+3i，-2，-12i，3+12，10+2i，0，i解1+3i-2-123+110+2i0i2实部1-203+1100-1虚部30-10200反思感悟复数的代数形式z=a+bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.跟踪训练1复数z=2i+3i2的实部是()A.0 B.2 C.3 D.-3答案D解析由于i2=-1，则z=2i+3i2=-3+2i，所以实部是-3.二、复数的分类1.复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下：实数(2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系例2(课本例1)当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解(1)当m-1=0，即m=1时，复数z是实数.(2)当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数.(3)当m+1=0，且m-1≠0，即m=-1时，复数z是纯虚数.例2已知m∈R，复数z=m(m+3)m-1+(m2+2m(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数.解(1)若z∈R，则m需满足m解得m=-3.(2)若z是虚数，则m需满足m解得m≠1且m≠-3.(3)若z是纯虚数，则m需满足m-1≠0,m(反思感悟(1)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R).特别注意若z为纯虚数，则b≠0且a=0.(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.跟踪训练2(1)(多选)下列说法正确的是()A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若a=0且b=0，则a+bi=0B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数C.若a∈R，则(a2-1)i是纯虚数D.实数集是复数集的真子集答案ABD解析对于复数a+bi(a，b∈R)，若a=0，b=0，则a+bi为实数0，若b=0，则a+bi=a为实数，故A，B正确；当a=1或a=-1时，a2-1=0，此时(a2-1)i=0为实数，故C错误；实数集和虚数集都是复数集的真子集，故D正确.(2)已知m∈R，复数z=lgm+(m2-1)i，当m为何值时，①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数.解①当z为实数时，m需满足m解得m=1.②当z为虚数时，m需满足m解得m>0且m≠1.③当z为纯虚数时，m需满足lgm即不存在m使z为纯虚数.三、复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a，b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地，a+bi=0⇔a=b=0.例3若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值.解由复数相等的充要条件，得x+y反思感悟复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.跟踪训练3复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=.答案5解析因为m∈R，z1=z2，所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.由复数相等的充要条件，得2解得m=5.1.知识清单：(1)数系的扩充.(2)复数的概念.(3)复数的分类.(4)复数相等的充要条件.2.方法归纳：方程思想.3.常见误区：没注意a，b的要求，未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式.1.在2+7，27i，8+5i，(1-3)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析27i，(1-3)i是纯虚数，2+7，0.618是实数，8+5i是虚数.故纯虚数的个数为2.复数z=3-4i的虚部为()A.3 B.4 C.-4 D.-4i答案C解析复数z=3-4i的虚部为-4.3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为()A.-1 B.±1 C.1 D.-2答案C解析因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，所以m2-m-2≠0且m2-1=0，解得m=1.4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为.答案1，1解析∵x2-y2+2xyi=2i，∴x2-课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.设a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R，当“a=0”时，“复数a+bi是纯虚数”不一定成立，也可能b=0，即a+bi=0∈R.而当“复数a+bi是纯虚数”时，“a=0”一定成立.所以a，b∈R，“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.2.已知2-ai=b+3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a+b等于()A.5 B.6 C.1 D.-1答案D解析依题意得b=2且a=-3.∴a+b=-1.3.以-5+2i的虚部为实部，以5i+2i2的实部为虚部的新复数是 ()A.2-2i B.-5+5iC.2+i D.5+5i答案A解析设所求的新复数为z=a+bi(a，b∈R)，由题意知，复数-5+2i的虚部为2，复数5i+2i2=5i+2×(-1)=-2+5i的实部为-2，则所求的新复数为z=2-2i.4.(多选)下列命题中正确的有()A.若x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B.若复数z∈R，则其虚部不存在C.两个虚数不能比较大小D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应答案AC解析由复数相等的定义知A正确；实数的虚部为0，故B错误；两个虚数不能比较大小，C正确；显然D错误.5.(多选)已知复数z=cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为()A.π3 B.2π3 C.π答案ACD解析由题意得cosα=-cos2α，∴2cos2α+cosα-1=0，解得cosα=-1或cosα=12∵0<α<2π，∴α=π或π3或5π6.已知a，b∈R，若a2-b+(a-b)i>2(i为虚数单位)，则a的取值范围是()A.a>2或a<-1 B.a>1或a<-2C.-1<a<2 D.-2<a<1答案A解析由题意，a2-b+(a-b)i>2，故a2-b+(a-b)i为实数，∴a-b=0,a2-b∴(a-2)(a+1)>0.∴a>2或a<-1.7.若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A.a=-1 B.a≠-1且a≠2C.a≠-1 D.a≠2答案C解析当复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数时，得a解得a=-1.所以当a≠-1时，该复数不是纯虚数.8.(5分)已知a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R)成立，则实数a的值为.答案2或-2解析由题意得a消去m，得a=±2.所以实数a的值为2或-2.9.(5分)已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，若z1>z2，则a的取值集合为.答案{0}解析由z1>z2，得2解得a=0，故a的取值集合为{0}.10.(10分)当实数m为何值时，复数z=(m2+m-6)i+m2(1)实数；(3分)(2)虚数；(3分)(3)纯虚数.(4分)解(1)由m2+m∴当m=2时，z是实数.(2)由m2+∴当m≠2且m≠-3时，z是虚数.(3)由m2+即m=3或m=4.∴当m=3或m=4时，z是纯虚数.11.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n，且z=m+ni，则复数z等于()A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i答案B解析由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i，即n2+mn=-2,212.(多选)下列命题，其中不正确的是()A.若z=a+bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数B.若z12+z22=0，则z1C.若a∈R，则ai为纯虚数D.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0答案ABC解析A中，当a=0且b≠0时，z为纯虚数，A错；B中，当z1=1，z2=i时，z12+z22=0，但z1≠zC中，当a≠0时，ai为纯虚数，C错；D中，若z∈R，则a+|a|=0，∴a≤0，D正确.∴不正确的命题是ABC.13.(5分)已知复数z=x+yi(x，y∈R)，且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i，则z=.答案1+2i或2+i解析因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+ilog2x=(1-log2y)i，所以2x+解得x=1,y所以z=1+2i或z=2+i.14.(12分)已知M={1，(m2-2m)+(m2+m-2)i}，P={-1，1，4i}，若M∪P=P，求实数m的值.解∵M∪P=P，∴M⊆P，∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1，得m解得m=1；由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i，得m解得m=2.综上可知m=1或m=2.15.(15分)已知复数z1=4-