高中数学第十章　§10.3　频率与概率

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期学习目标1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系，结合具体实例，会用频率估计概率.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.(重点、难点)3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.导语对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法.一、频率的稳定性问题1利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506你能计算出事件A的概率吗？频率与概率有什么关系？提示(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.知识梳理1.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).2.频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.3.概率是一个确定的数，与每次试验的次数无关.例1(课本例1)新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？解(1)2014年男婴出生的频率为115.88100+115.88≈0.5372015年男婴出生的频率为113.51100+113.51由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.例1(1)在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为85%”，这是指()A.明天该地区有85%的地区降水，其他地区不降水B.明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C.气象台的专家中有85%的人认为明天会降水，另外15%的专家认为明天不降水D.明天该地区降水的可能性为85%答案D解析在天气预报中，预报“明天降水概率为85%”，即明天该地区降水的可能性为85%.(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如表：抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？解①抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.跟踪训练1某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率m(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解(1)表中依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.二、游戏公平性的判断例2(课本例2)一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？解当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.例2下面有两个游戏规则，袋子中分别装有红球和白球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.游戏1游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜解在游戏1中，取出的两球同色的概率为24×13+24×13=13，取出的两球不同色的概率为24×23+24×2游戏2中，取出的两球同色的概率为34×23=取出的两球不同色的概率为34×13+14×33=12，所以甲获胜的概率为反思感悟游戏规则公平的判断标准在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说游戏规则是否公平只要看获胜的概率是否相等.例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等.跟踪训练2已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等).现要从甲、乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？并一一列举出来；(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？并说明理由.解(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”共有20个，分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.(2)不公平.由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有的基本事件有124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456，共13个.由古典概型的概率计算公式，得P(A)=1320又A与B对立，所以P(B)=1-P(A)=1-1320=7所以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名同学不公平.三、用随机模拟估计概率问题2用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？提示我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.问题3随机模拟的步骤是怎样的？提示(1)建立概率模型；(2)进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；(3)统计试验结果.知识梳理1.利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形.2.利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型.3.利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率.例3(1)(课本例3)从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的.设事件A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.解方法一根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.因此，可以构建如下有放回摸球试验进行摸拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.方法二利用电子表格软件模拟试验.在A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格分别输入“=RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.选中A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.下表是20次模拟试验的结果.事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大.ABCDEFGHIJ1191193821012194123253149498101212533644767125310739565281991087911382661023867811761091210121021153513394951114645817151187459164984691771271182181212112451912106188208710295(2)(课本例4)在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.解设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6，用计算器或计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率近似为1320例3要产生1~25之间的随机整数，你有哪些方法？解方法一采用抽签法时必须保证任何一个数被选到的概率是等可能的.可以把25个外观、质地等无差别的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个不透明的袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1~25之间的随机整数.方法二可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：(1)选定A1格，键入“=RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1~25之间的数，这样我们就很快得到了100个1~25之间的随机数，相当于做了100次随机试验.反思感悟用随机模拟法求事件概率的方法在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.(1)试验的基本结果是等可能的，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的分层随机抽样的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.跟踪训练3袋子中有四个小球，分别写有“春”“夏”“秋”“冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计取到第二次就停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4分别表示取出写有“春”“夏”“秋”“冬”四个字的小球，以每两个随机数为一组，代表两次取球的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，取到第二次就停止的概率为()A.15 B.C.13 D.答案B解析20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计取到第二次就停止的概率为520=11.知识清单：(1)概率与频率的关系.(2)用频率估计概率.(3)用随机模拟估计概率.2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.1.“某彩票的中奖概率为11000”A.买1000张彩票就一定能中奖B.买1000张彩票中一次奖C.买1000张彩票一次奖也不中D.购买彩票中奖的可能性是1答案D2.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.48答案C解析由频率的定义，知正面朝上的频率=4801000=0.48；正面朝上的概率是抛硬币试验的固有属性，为0.5，与试验次数无关3.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2500套座椅中大约有套次品.

答案50解析设有n套次品，由题意，知n2500=2100，解得n=50，所以该厂所生产的2500套座椅中大约有504.盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”“宁”“联”“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球，将三次抽取后“联”“盟”两个字都被抽取到记为事件A.用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑软件随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“安”“宁”“联”“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，102，021，112，003，113，221，232，由此可以估计，事件A发生的概率为.

答案5解析根据题意可知三次抽取后“联”“盟”两个字都被抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3，观察发现18组随机数中有233，320，231，231，232，共5组，再由古典概型的概率公式计算可得事件A发生的概率为P(A)=518课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是()A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈C.使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D.以上说法都不对答案C解析使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，故C正确.2.在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与mA.P(A)≈mn B.P(A)<C.P(A)>mn D.P(A)=答案A解析对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈mn3.一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色.统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为()A.3 B.5C.7 D.9答案B解析设红球的个数为x，由题意可知xx+3=61920×所以红球的个数最可能是5个.4.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的好时节，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人放养的比较合理()

A.甲 B.乙C.甲和乙 D.不能确定答案B解析由题意可知，“从养蜂人甲放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂”的概率为1101，而“从养蜂人乙放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂”的概率为1001015.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是()A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲、乙两人从1~10中各写一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜答案ACD解析对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是12，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平6.(多选)下列命题正确的是()A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是9C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得这100次出现正面的概率是0.51答案AB解析对于A，随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；对于B，抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是18100=950，故对于C，有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误；对于D，100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得这100次出现正面的频率是0.51，故D错误.7.已知小华每次投篮投中率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰好两次投中的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：531297191925546388230113589663321412396021271932800478507965据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为()A.0.30 B.0.35C.0.40 D.0.45答案A解析由题意知，20组随机数中，小华三次投篮恰有两次投中的有6组，即531，191，412，271，932，800，所以小华三次投篮恰有两次投中的概率近似为6208.(5分)在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，被抽选的4个中有2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生1~9的随机整数值，并且用1~4代表男生，用5~9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是.

答案选出的4人中有1个男生、3个女生解析用1~4代表男生，用5~9代表女生，4678表示被抽选的4人中有1个男生、3个女生.9.(5分)《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为石.(结果保留整数)

答案161解析由题意知，这批米内夹谷约为1634×25254≈161(石)10.(10分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.解设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中捕出一定数量的天鹅，设事件A={捕到带有记号的天鹅}，则P(A)=200n，第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)=20150，由①②两式，得200n=20150，解得n=1所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只.11.(多选)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是()A.“至少有一个零件发生故障”的概率为0.8B.“有两个零件发生故障”的概率比“只有一个零件发生故障”的概率大C.“乙零件发生故障”的概率比“甲零件发生故障”的概率大D.已知甲零件发生了故障，此时“丙零件发生故障”的概率比“乙零件发生故障”的概率大答案AD解析由图可得，“在一个生产周期内，机器正常”的概率为20100=0.2，则“至少有一个零件发生故障”的概率为0.8，A“有两个零件发生故障”的概率为10+15+5100=0.3，“只有一个零件发生故障”的概率为15+20+10100=0.45，则“有两个零件发生故障”的概率比“只有一个零件发生故障”的概率小，“乙零件发生故障”的概率为20+10+5+5100=0.4“甲零件发生故障”的概率为15+10+15+5100=0.45则“乙零件发生故障”的概率比“甲零件发生故障”的概率小，C错误；由图可知，“丙和甲都发生故障”的概率比“乙和甲都发生故障”的概率大，D正确.12.某种心脏手术成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812832569683271989730537925907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率约为()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.5答案A解析由10组随机数知，4~9中恰有三个的随机数有569，989两组，故所求的概率约为21013.(5分)某地新闻栏目对该地区群众对“开采当地矿山”的认可程度进行调查，在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“开采当地矿山”持反对态度的有