2026高考数学导数专项：拓展：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用（解析版）

拓展：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用

目录

类型一：泰勒展开式2

类型二：利用超越不等式比较大小10

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式13

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式19

1.泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则

对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

f(x)f(n)(x)

f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+0(x-x)2+⋯+0(x-x)n+R(x)

0002!0n!0n

(n)

其中：f(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩

n

余的R(n)(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)的高阶无穷小量.

2.麦克劳林(Maclaurin)公式

f(0)f(n)(0)

f(x)=f(0)+f(0)x+x2+⋯+xn+R(x)

2!n!n

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方

便，在高考中经常会涉及到.

3.常见函数的麦克劳林展开式：

x2xneθx

(1)ex=1+x++⋯++xn+1

2!n!(n+1)!

352n+1

xxnx

(2)sinx=x-+-⋯+(-1)+o(x2n+2)

3!5!(2n+1)!

2462n

xxxnx

(3)cosx=1-+-+⋯+(-1)+o(x2n)

2!4!6!(2n)!

23n+1

xxnx

(4)ln(1+x)=x-+-⋯+(-1)+o(xn+1)

23n+1

1

(5)=1+x+x2+⋯+xn+o(xn)

1-x

n(n-1)

(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2)

2!

4.两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)

x-1

4.1对数型超越放缩：≤lnx≤x-1(x>0)

x

1

11n-11

ln(1+x)=x-x2+x3-⋯+(-1)xn+R(x)⋯(1)

23nn

上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(1+x)≤x(x>-1)⋯⋯结论①

用x-1替换上式结论①中的x得：lnx≤x-1(x>0)⋯⋯结论②

11

对于结论②左右两边同乘“-1”得-lnx≥1-x⇒ln≥1-x，用替换“x”得：

xx

1

1-≤lnx(x>0)⋯⋯结论③

x

1

4.2指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1)

1-x

x2xn

ex=1+x++⋯++R(x)⋯(2)

2!n!n

上式(2)中等号右边只取前2项得：ex≥1+x(x∈R)⋯⋯结论①

用-x替换上式结论①中的x得：e-x≥1-x(x∈R)⋯⋯结论②

11

当x<1时，对于上式结论②e-x≥1-x⇒≥1-x⇒≥ex⋯⋯结论③

ex1-x

11

当x>1时，对于上式结论②e-x≥1-x⇒≥1-x⇒≤ex⋯⋯结论④

ex1-x

类型一：泰勒展开式

典型例题

1.英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算

ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒

展开式”是：如果函数fx在含有x0的某个开区间a,b内可以多次进行求导数运算，则当x∈

fx00fx0fx02

a,b，且x≠x时，有fx=x-x+x-x+x-x+

00!01!02!0

fx03

x-x+⋅⋅⋅．其中fx是fx的导数，fx是fx的导数，fx是fx的导

3!0

数，阶乘0!=1，n!=n×n-1×n-2×⋅⋅⋅×2×1．取x0=0，则sinx的“泰勒展开式”中第

三个非零项为，sin1精确到0.01的近似值为．

1

【答案】x50.84

120

11

【分析】根据泰勒展开式，化简得到fx=sinx=x-x3+x5+⋅⋅⋅，求得的“泰勒展开式”中第三个

6120

非零项，令x=1，代入上式，进而求得的近似值．

【详解】根据题意，

fx=sinx,f(x)=cosx,f(x)=-sinx,f(x)=-cosx,⋯，

f0f0f0f0

取x=0时，可得fx=x0+x+x2+x3+⋅⋅⋅，

00!1!2!3!

2

11

则fx=sinx=0×x0+1×x+0×x2+-1×x3+0×x4+1×x5+⋅⋅⋅

3!5!

11

=x-x3+x5+⋅⋅⋅，

6120

1

所以sinx的“泰勒展开式”中第三个非零项为x5，

120

11101

令x=1，代入上式可得f1=sin1=1-++⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅≈0.84．

6120120

1

故答案为：x5；0.84

120

2.在高等数学中，我们将y=f(x)在x=x0处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形

n

fx02fx0n(n)

式为：fx=fx+fxx-x+x-x+⋯+x-x+⋯(其中f(x)

0002!0n!0

表示f(x)的n次导数)，以上公式我们称为函数f(x)在x=x0处的秦勒展开式．

(1)分别求ex,sinx,cosx在x=0处的泰勒展开式；

(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：eiπ+1=0．(其中i为虚数单位)；

35

(3)当x∈0,时，求证：esinx>x+1．(参考数据ln≈0.9)

22

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据函数fx在x=x0处的泰勒展开式的公式即可求解；

(2)把ex在x=0处的泰勒展开式中的x替换为ix，利用复数的运算法则进行化简整理可得eix=cosx+

i⋅sinx，从而即可证明；

31

(3)根据sinx在x=0处的泰勒展开式，先证当x∈0,时，sinx>x-x3恒成立，再证当x∈

26

31

0,时，x-x3>ln(x+1)恒成立，即可证得esinx>x+1.

26

【详解】(1)因为函数fx在x=x0处的泰勒展开式为

n

fx02fx0nn

fx=fx+f′xx-x+x-x+⋯+x-x+⋯(其中fx表示fx的n

0002!0n!0

次导数)，

所以ex，sinx，cosx在x=0处的泰勒展开式分别为：

11

ex=1+x+x2+⋯+xn+⋯；

2!n!

11(-1)n-1

sinx=x-x3+x5+⋯+x2n-1+⋯；

3!5!(2n-1)!

11(-1)n

cosx=1-x2+x4+⋯+x2n+⋯.

2!4!(2n)!

(2)把ex在x=0处的泰勒展开式中的x替换为ix，可得

1213141n

eix=1+(ix)+(ix)+(ix)+(ix)+⋯+(ix)+⋯

2!3!4!n!

11(-1)n11(-1)n-1

=1-x2+x4+⋯+x2n+⋯+i⋅x-x3+x5+⋯+x2n-1+⋯

2!4!(2n)!3!5!(2n-1)!

=cosx+i⋅sinx，

3

所以eiπ=cosπ+i⋅sinπ=-1，即eiπ+1=0.

31

(3)由sinx在x=0处的泰勒展开式，先证当x∈0,时，sinx>x-x3，

26

11

令f(x)=sinx-x+x3,f′(x)=cosx-1+x2,f(x)=x-sinx，

62

3

f(x)=1-cosx，又x∈0,，则f(x)>0，

2

3

所以f''x在0,上单调递增，

2

3

所以f(x)>f(0)=0，所以f(x)在0,上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，

2

3

所以f(x)在0,上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，

2

13

再令g(x)=x-x3-ln(x+1)，x∈0,，

62

-1x(x-1)(x+2)

则g(x)=2，

x+1

3

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在1,上单调递减，

2

3155

而g(0)=0,g=-ln>0，

2162

3

所以当x∈0,时，g(x)>0恒成立，

2

1

则sinx>x-x3>ln(x+1)，

6

所以esinx>x+1.

3

【点睛】关键点点睛：本题(3)问解题的关键是根据sinx在x=0处的泰勒展开式，先证当x∈0,时，

2

131

sinx>x-x3恒成立，再证当x∈0,时，x-x3>ln(x+1)恒成立，即可证得esinx>x+1.

626

3.电脑或计算器计算e，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片

完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导

数，且在开区间(a，b)内具有n+1阶导数，则对于闭区间[a,b]上的任意一点x=x0，有f(x)=

(3)(n)

fx0fx02rx03fx0n

fx+x-x+x-x+x-x+⋯z-x+

01!02!03!0n!0

**a

ox-x0n∈N，我们称上式为函数f(x)在x=x0处的泰勒展开式，其中ox-x0为

n(n)(n-1)

x-x0的高阶无穷小量f(x)=f(x)．特别地，当f(x)在x=0处n阶连续可导，则称

f(0)f(3)(0)f(n)(0)

f(x)=f(0)+f(0)x+x2+x3+⋯+xn+ax为函数f(x)的麦克劳林公

2!3!n!

352n-1

xxn-1x

式．如f(x)=sinx的麦克劳林公式为sinx=x-+-⋯+(-1)+ox2n-1，

3!5!(2n-1)!

1

(1)利用麦克劳林公式估算sinl、cos的近似值(精确到0.01)；

2

x2

(2)当x≥0时，比较cosx与1-的大小并证明；

2

4

(3)若x≥slant0,eax≥slantsinx-cosx+2a∈R，a≠0，求实数a的取值范围．

1

【答案】(1)sin1≈0.84;cos≈0.88

2

x2

(2)cosx≥1-，理由见解析

2

(3)[1,+∞)

【分析】(1)是将特定值代入函数展开式进行近似计算；

(2)通过构造函数，利用导数研究其单调性，进而证明不等式．

(3)通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求解不等式恒成立时参数的取值范围．先对函数

h(x)求导，然后分a≥1和a<1两种情况进行讨论，根据函数单调性判断h(x)与0的大小关系．

11101

【详解】(1)令x=1，代入上式可得sin1=1-++⋯=+⋯≈0.84，所以sin1≈0.84．

6120120

352n-1246

xxn-1xxxx

由sinx=x-+-⋯+(-1)+ox2n-1两边同时求导得cosx=1-+-+

3!5!(2n-1)!2!4!6!

2n

nx

⋯+(-1)+ox2n，(或通过麦克劳林公式计算得到)

(2n)!

1113371

所以cos=1-++⋯=+⋯≈0.88，所以cos≈0.88

283843842

x2

(2)cosx≥1-

2

x2x2

证明：令g(x)=cosx-1-=cosx+-1(x≥0)，

22

则g(x)=-sinx+x，设G(x)=-sinx+x(x≥0)，则G(x)=-cosx+1≥0，

所以函数G(x)在[0,+∞)上单调递增，则g(x)=G(x)≥G(0)=0(或通过麦克劳林公式得到)．

所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增，则g(x)≥g(0)=0．

x2x2

所以当x≥0时，cosx+-1≥0，即证cosx≥1-．

22

(3)若x≥0,eax≥sinx-cosx+2(a∈R,a≠0)，即eax-(sinx-cosx+2)≥0

令h(x)=eax-sinx+cosx-2(x≥0)，则h(x)=aeax-cosx-sinx，

①当a≥1时，若x≥0,eax≥ex,h(x)≥ex-cosx-sinx，

令u(x)=x-sinx(x≥0)，则u(x)=1-cosx≥0，则函数u(x)在[0,+∞)上单调递增，且u(x)≥u(0)

=0，即x≥sinx；(或通过麦克劳林公式得到)

令v(x)=ex-x-1，则v(x)=ex-1，令v(x)<0⇒x<0，令v(x)>0⇒x>0，

所以函数v(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．

若x≥0，则v(x)≥v(0)=0，即ex≥x+1(或通过麦克劳林公式得到)，

所以ex≥x+1≥sinx+1，则h(x)≥ex-cosx-sinx≥1-cosx≥0，

所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增，则h(x)≥h(0)=0，

即eax≥sinx-cosx+2恒成立．

②当a<1时，h(0)=a-1<0，

存在实数x0≥0，使得∀x∈0,x0均有h(x)<0，

则函数h(x)在0,x0上单调递减，且h(x)<h(0)=0，不符合题意，

所以当a<1时，不符合题意．

综上，a的取值范围为[1,+∞)．

5

精练高频考点

4.给出以下三个材料：①若函数fx可导，我们通常把导函数fx的导数叫做fx的二阶导

数，记作fx.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作fx，三阶导数的导数叫做四阶

nn-1

导数⋯⋯一般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导数，记作fx=fx,n≥4.②若n

∗

∈N，定义n!=n×n-1×n-2×⋅⋅⋅×3×2×1.③若函数fx在包含x0的某个开区间

fx0

a,b上具有n阶的导数，那么对于任一x∈a,b有gx=fx+x-x+

01!0

n

fx02fx03fx0n

x-x+x-x+⋅⋅⋅+x-x，我们将gx称为函数fx在点x=

2!03!0n!0

1

x处的n阶泰勒展开式.例如，y=ex在点x=0处的n阶泰勒展开式为1+x+x2+⋅⋅⋅

02

1

+xn.根据以上三段材料，完成下面的题目：

n!

(1)求出f1x=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g1x，并直接写出f2x=cosx在点x=

0处的3阶泰勒展开式g2x；

(2)比较(1)中f1x与g1x的大小.

(3)证明：ex+sinx+cosx≥2+2x.

11

【答案】(1)gx=x-x3,gx=1-x2；

1622

(2)答案见解析；

(3)证明过程见解析.

【分析】(1)根据fx在点x=x0处的n阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；

(2)令hx=f1x-g1x，利用导数可求得hx在R上单调递增，结合h0=0可得hx的正负，由

此可得f1x与g1x的大小关系；

1

(3)令φx=fx-gx，利用导数可求得φx≥φ0=0，即cosx≥1-x2；①当x≥0时，由ex≥

222

111

1+x+x2+x3，sinx≥x-x3，可直接证得不等式成立；②当x<0时，分类讨论，由此可证得不

266

等式成立.

【详解】(1)∵f1x=cosx，f2x=-sinx，f3x=-cosx，

∴f10=1，f20=0，f30=-1，

102-131

∴gx=sin0+x-0+x-0+x-0，即gx=x-x3；

11!2!3!16

1

同理可得：gx=1-x2；

22

1

(2)由(1)知：fx=sinx，gx=x-x3，

116

11

令hx=fx-gx=sinx-x+x3，则hx=cosx-1+x2，

1162

∴hx=-sinx+x，hx=1-cosx≥0，

∴hx在R上单调递增，又h0=0，

∴当x∈-∞,0时，hx<0，hx单调递减；当x∈0,+∞时，hx>0，hx单调递增；

6

∴hxmin=h0=1-1+0=0，∴hx≥0，

∴hx在R上单调递增，又h0=0，

∴当x∈-∞,0时，hx<0；当x∈0,+∞时，hx>0；

综上所述：当x<0时，f1x<g1x；当x=0时，f1x=g1x；当x>0时，f1x>g1x；

1

(3)令φx=fx-gx=cosx-1+x2，则φx=-sinx+x，

222

∴φx=1-cosx≥0，∴φx在R上单调递增，

又φ0=0，∴φx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，

1

∴φx≥φ0=0，即cosx≥1-x2；

2

111

∵y=ex在点x=0处的4阶泰勒展开式为：1+x+x2+x3+x4，

2624

11111

∴ex=1+x+x2+x3+x4≥1+x+x2+x3，当且仅当x=0时取等号，

262426

1

①当x≥0时，由(2)可知，sinx≥x-x3，当且仅当x=0时取等号，所以ex+sinx+cosx≥

6

1111

1+x+x2+x3+x-x3+1-x2=2+2x；

2662

②当x<0时，设Fx=ex+sinx+cosx-2-2x，F0=0，

π

Fx=ex+cosx-sinx-2=ex+2cosx+-2，Fx=ex-sinx-cosx，

4

1

当x∈-1,0，由(2)可知sinx<x-x3，所以，

6

111

Fx=ex-sinx-cosx>1+x+x2+x3+x3-x-cosx

266

1

=1-cosx+x23+2x>0，即有Fx<F0=0；

6

π11

当x∈-∞,-1时，Fx=ex+2cosx+-2<+2-2<+2-2<0，

4e2

所以，x<0时，Fx单调递减，从而Fx>F0=0，即ex+sinx+cosx>2+2x．

综上所述：ex+sinx+cosx≥2+2x.

【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确n阶泰勒展开式的具体定义；本

题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在x=0处的3阶泰勒展开式的大小关系，利用放

缩的方法将不等式进行转化.

5.十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼

近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如

下列常见函数的n阶泰勒展开式为：

x2x3xn

ex=1+x+++⋯++⋯，

2!3!n!

352n+1

xxnx

sinx=x-+-⋯+-1+⋯，

3!5!2n+1!

242n

xxnx

cosx=1-+-⋯+-1+⋯，

2!4!2n!

其中n!=1×2×3×⋯×n，读作n的阶乘.

7

这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算

器计算cos0.3，得到的值约为0.9553365，用泰勒展开式前三项计算cos0.3得到cos0.3≈1-

0.320.34

+=0.9553375.

2!4!

(1)a=sin0.8，b=cos0.6，c=e-0.2，比较a,b,c的大小;

π1

(2)当x∈0,时，证明：x>sinx>x；

22

(3)设fx=-2sinx，是否存在区间a,b，使得fx的定义域为a,b时，值域也为a,b？若

存在，求出所有的区间a,b.

【答案】(1)a<c<b

(2)证明见解析

(3)存在，-2,2.

【分析】(1)根据题意中常见函数的n阶泰勒展开式，即可比较a,b,c的大小；

(2)构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证；

(3)由题知-2≤fx≤2，a,b⊆-2,2，当a,b=-2,2时，显然成立，当a,b真包含于-2,2时，

a=2sina

结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可.

b=2sinb

【详解】(1)由题知，用泰勒展开式前三项计算，

0.830.85

则a=sin0.8≈0.8-+≈0.717397，

3!5!

0.620.64

又b=cos0.6≈1-+=0.8254，

2!4!

23

-0.2-0.2

c=e-0.2≈1+-0.2++≈0.806667，

2!3!

所以a<c<b.

π

(2)设hx=x-sinx，x∈0,，

2

则hx=1-cosx>0，

π

所以hx在0,上单调递增，

2

所以hx>h0=0，所以x>sinx；

1π

设gx=sinx-x，x∈0,，

22

1

则gx=cosx-，

2

ππ

令gx>0，x∈0,，则gx在0,上单调递增，

33

ππππ

令gx<0，x∈,，则gx在,上单调递减，

3232

ππ

又g0=0，g=1->0，

24

1

所以gx>0，即sinx>x，

2

1

综上，x>sinx>x.

2

8

(3)易知-2≤fx≤2，a,b⊆-2,2，

当a,b=-2,2时，显然成立；

π

当a,b真包含于-2,2时，若a>-2，则函数最小值应大于-2，故b<<2，

2

πππ

则函数最大值小于2，于是a>-，因此a,b⊊-,.

222

ππ

同理，若b<2，也能得到a,b⊊-,.

22

所以函数fx在区间a,b上单调递减，

a=-2sinb

所以，于是a+b=-2sina+sinb，

b=-2sina

变形有a+2sina+b+2sinb=0，

ππ

又函数y=x+2sinx在区间-,上为单调递增函数，且为奇函数，

22

a=-2sinba=2sina

故a+b=0，所以可以化为，

b=-2sinab=2sinb

由(2)可以知道x=2sinx没有两个解，

此时不存在区间a,b满足条件.

综上所述，符合条件的区间只有-2,2.

6.(24-25高三上·四川成都·开学考试)麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，fx的

nn

f0f0∞f0

麦克劳林展开式为：fx=f0+f0x+x2+⋯+xn+⋯=∑xn，其中

2!n!n=0n!

n

nf0

f0表示fx的n阶导数在0处的取值，我们称T=xn为fx麦克劳林展开式的

nn!

x2x3x4

第n+1项．例如：ex=1+x++++⋯．

2!3!4!

(1)请写出fx=sinx的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；

x2x3x4

(2)数学竞赛小组发现ln1+x的麦克劳林展开式为ln1+x=x-+-+⋯，这意

234

x2

味着：当x>0时，ln1+x>x-，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？

2

1x3

(3)当x≥1时，若ex+lnx+>+mx，求整数m的最大值．

26

1

【答案】(1)x，-x3

6

(2)证明见解析

(3)3

【分析】(1)根据泰勒展开式得出第2项及第4项；

9

(2)构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式；

(3)先根据特殊值法得出m的范围，再应用麦克劳林的结论证明成立即可.

23

【详解】(1)因为fx=cosx,fx=-sinx,fx=-cosx,

cos0-cos01

所以第2项T=x1=x,T=x3=-x3.

11!33!6

x2

(2)设gx=ln1+x-x+，

2

11+x2-1x2

gx=-1+x==，

x+1x+1x+1

x2

因为x>0,所以gx=>0,gx单调递增，

x+1

所以gx>g0=ln1-0+0=0，

x2

所以ln1+x>x-.

2

111

(3)当x=1时，e1+ln1+>+m成立，得出m<e+，m的最大整数不超过3.

263

x2x3

当m=3时，因为x≥1，所以ex>1+x++，

26

1x3x2x31x3x23

所以ex+lnx+--3x>1+x+++lnx+--3x=+lnx+-2x，

26262622

x2311

令hx=+lnx+-2x,hx=x+-2≥2x×-2=0

22xx

13

当x≥1,hx≥0,hx单调递增，则hx≥h1=ln1+-2+=0，

22

1x3

所以ex+lnx+>+3x，

26

1x3

故当x≥1时，ex+lnx+>+3x，所以整数m的最大值为3.

26

【点睛】方法点睛：构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式.

类型二：利用超越不等式比较大小

典型例题

11661

7.已知a=e10，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系为()

10558

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

11

【分析】利用不等式e-x≥-x+1，当且仅当x=0时等号成立，可得当0<x<1时，ex<，所以e10

1-x

1011116

<，e10<<，可判断a,c；设hx=x-lnx+1，x∈0,1，利用导数分析h(x)的单调性

910985

1166

可得h<0，即<ln，可判断b,c，继而即可求解.

5555

【详解】令fx=ex-x-1，则fx=ex-1，

令fx<0，则x<0，令fx>0，则x>0，

故fx在区间-∞,0上单调递减，在区间0,+∞上单调递增，

10

故fx≥f0=0，即ex≥x+1，即e-x≥-x+1，当且仅当x=0时等号成立，

1

当0<x<1时，由e-x>1-x>0，得ex<，

1-x

11101111

所以e10<=，e10<<，即a<c.

191098

1-10

6

设hx=x-lnx+1，x∈0,1，

5

65x-1

则hx=1-=，

5x+55x+5

11

当x∈0,时，hx<0，当x∈,1时，hx>0，

55

611

所以hx=x-lnx+1在0,上单调递减，在,1上单调递增，

555

116166

所以