线段的折叠及动点模型-初中数学模型与解题方法专练（解析版）

02线段的折叠及动点模型

一、单选题

1.如图，点C、。分别为线段A8（端点入川除外）上的两个不同的动点，点。在点C的右侧，图中所

有线段的和等于60cm,且A〃=3C。，则C。的长度是（）

I_____________|__________|_______|

ACDB

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】A

【详解】•・•图中所有线段的和等于60cm,

・•・AC+AD+AB+CD+CB+DB=O）cmf

：.AB+Af3+AH+CD=60cm.

AB=3CD,

1OCD=60cm,

解得：CD=6cm.

故选A.

2.如图，数轴上。、A两点的距离为4,一动点。从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到A。的中

点A处，第2次从A点跳动到A。的中点4处，第3次从4点跳动到&。的中点&处，按照这样的规律继

续跳动到点HA,,…,4（〃23,”是整数）处，问经过这样202。次跳动后的点与。点的距离是（）

【答案】A

【详解】由于0A=4,所以笫一次跳动到0A的中点Ai处时，OA】=goA=gX4=2,

同理第二次从A点跳动到A2处，离原点的弓）2X4处，

同埋跳动n次后，离原点的长度为（£）"X4=击，

则2020次跳动后的点与。点的距离是击

故选：A.

3.如图，已知小4（6在力的左侧）是数轴上的两点，点力对应的数为4,且48=6,动点夕从点力出发，

以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点Q的运动过程中，也「V始终为1只//的中点，设运动时

间为〃/>0）秒，则下列结论中正确的有（）

I

①3对应的数是2；②点2到达点/，时，/=3；③HP=2时，f=2；④在点P的运动过程中，线段,MV的长

度不变.

BN-PMA

-'04~

A.&@@B.②③④C.②③1）.②©

【答案】D

【详解】解：设点8对应的数是〉:，

•・•点A对应的数为4,且AB=6,

4-x=6,

/.x=—2,

・••点〃对应的数是-2,故①错误；

由题意得：

6+2=3（秒），

...点?到达点/?时，4R,故②正确：

分两种情况：

当点尸在点8的右侧，

•・・加=6,m2,

AP=AB-BP=6-2=4,

.*.44-2=2（秒），

・••脐=2时,t=2,

当点产在点〃的左侧，

•・•/斤6,8六2,

:.”=A8+8P=6+2=8,

A8-?2=4（秒），

・••於2时，t=4,

综上所述，册2时，t=2或4,故③错误；

分两种情况：

当点尸在点〃的右侧，

•・・”，N分别为勿的中点，

AMP=-APNP=、BP,

22t

MN=MP+NP=-AP+-BP=-（AP+BP）=-AB=3,

222V72

当点P在点8的左侧，

N分别为/庐，川的中点，

2

MP=-AP,NP=-BP

22t

MN=MP-NP=-AP--BP=-（AP-BP\=-AB=3,

222、72

，在点产的运动过程中，线段楸r的长度不变，故④正确.

所以，上列结论中正确的是②④.

故选：D.

1M/V

4.已知点必是线段/以上一点，若AM=：AB,点'是直线/步上的一动点，且AN-BN=MN,则一的

4AB

（）

A.1B.yC.1或/D.（或2

【答案】C

【详解】当N在射线初上时，ANvBN,不合题意

MN

当、在射线力〃上时，AN-BN=AB=MN,此时——=1

AB

AMBN

当、在线段力〃上时，

AMNB

由图可知AV=M/V+AW,BN=BM-MN

AN-BN=MN+AM-BM+MN=2MN+AM-BM=MN,

:.MN=BM-AM

•：AM=-AB

4

3

・•・BM=-AB

4

：,MN=BM-AM=、AB

2

•MN_1

••而一5

故选：c.

5.如图，已知A,B（"在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8,且A8=12,动点。从点A出

发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,的中点，

设运动时间为，（f>0）秒，则下列结论中正确的有（）

①点月对应的数是4；②点P到达点“时，，=6；③叱=2时，1=5；④在点尸的运动过程中：线段的

3

长度不变.

BN-PMA

-----------------------------------------►

0-8

A.1个B.2个C.3个I).4个

【答案】C

【详解】解：设点8对应的数是

•••点A对应的数为8,且A8=12,

/.8-x=l2,

/.A=-4,

・・•点8对应的数是T,

故①正确；

由题意得：12・2=6（秒），

二•点P到达点3时，r=6,

故②正确：

当点P在点B右边时,

•・・AB=12,BP=2,

AP=AB-BP=12-2=\0f

.•.10+2=5（秒），

当点尸在点8左边时，

♦・・AB=12,BP=2,

.•.AF=AB+6〃=12+2=14,

「.14+2=7（秒），

综上，8尸=2时，，=5或7；

故③错误；

•.•M,N始终为AP,42的中点，

:.MP=-AP,NP=-BP,

22

当点F在点"右边时，

MN=MP+NP

=-AP+-BP

22

=—AB=—x12=6,

22

当点。在点B左边时，

MN=MP-NP

4

=-AP--BP

22

=—AB=—xl2=6,

22

二•在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，

故④正确；

所以，上列结论中正确的有3个，

故选:C.

6.如图，已知线段力/户16c勿，点。为线段/历上的一个动点，点〃、£分别是力。和比的中点，则庞.的长

()

A*-D-CE'B

A.4cmB.8cmC.10anD.16c///

【答案】B

【详解】•・•点〃、E分别是力。和尤的中点，

:.DE=DC^CE=\AC^\-BC=JAB

222

而仍=16c/〃，

»,DE=-yX16=8(cm).

故选：B.

7.如图，在AABC中，AB二AC,BC=4,面积是16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E、F,若点D

为BC边上的中点，点M为线段EF一动点，则△CDM周长的最小值为()

【答案】C

【详解】解:连接AD,AM.

5

:△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

・・・AD_LBC,

・'・SXX

、ARC=-2BC^AD=-24AD=\6,

解得：AD=8,

・・・EF是线段AC的垂直平分线，

・•・点C关于直线EF的对称点为点A,

AMA=MC,

VAD^AM4-MD,

AAD的长为CM4-MD的最小值,

•••△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+yBC=8+yX4=8+2=10.

故选：C.

8.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20,第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，阳；

第二次操作：分别取线段AM1和A2的中点第三次操作：分别取线段AM?和A%的中点

%,M；……连续这样操作1()次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和陷乂+M2乂+…+M1°Mo=

()

A.20-3B.20+学C.20一当D.20+获

【答案】A

【详解】解：・.・MN=20,A/P”分别为4M、AN的中点，

・•・MN=A/%-AN】=-AM--AN=-(AM-AN)=-x20=\0t

2222

•・・孙、M分别为人％、AM的中点，

・•・M?N]=AM?-AN?=，AM1-4AN1=』(AM】-ANJ=』x10=5,

2222

20

根据规律得到M”N.二F，

“zxr〃z202020rJ111、“10

二、填空题

9.如图所示，已知AA8C的周长为12,6c=5,在边AC、人B上有两个动点产、。，它们同时从点A分别

向终点C、。运动，速度分别为每秒2个单位和1个单位，运动时间，后，PC+CB+BQ=.

6

B

【答案】12-31

【详解】由题意得：AP=2t,AQ=t,

APC+CB+BQ=12~AP-AQ=12-36

故答案是：12—3上

10.如图，点C是线段，仍上的一个动点（不与力，8重合），点〃，E,尸分别是线段力。，BC,优的中点，

下列结论：

①图中的点〃，P,C,£'都是动点；

®AD>BEx

③毋2庞；

④当HQ比时，点P与点。重合.

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

ADPCEB

【答案】①③④

【详解】解:①•・•点C是线段AB上的一个动点（不与A,B重合），点D,E,P分别是线段AC,BC,DE的

中点，・・・D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，

・•・本选项正确；

②：AD=-AC,BE=-BC,

22

・••当C点在AB中点左边（不含中点）运动时•，由于ACXBC,・・・AI）<BE,本选项错误；

③由题意可知：OC=gAC,EC=|BC,DE=DC+EC=^AC+BC）,

ADE=^-AB,即AB=2DE,；・本选项正确；

2

④由③可知，当AC=BC时，DC=EC,所以C为DE中点，

又P也为DE中点，，点P与点C重合，，本选项正确.

故答案为①③④.

11.已知点."是线段A8上一点，若人”=!人点力是直线AB上的一动点，且4N—BN=M7V,则

4

MN

'AB~---------,

7

【答案】1或；

【详解】解：分两种情况：当点4在线段A8上，如图:

AMNB

•：AN-BN=MN,AN-AM=MN，

:.BN=AM,

,：AM=—AB,

4

\BN=、AB,

4

\MN=AB-AM-BN=二AB,

2

、MN

\---=—1.

AB2'

当点出在线段A8的延长线上，如图：

111」

AMBN

•;AN-BN=MN,AN-BN=AB,

:.AB=MN,

MN.

，-----=1,

AB

综上所述：空的值为1或;，

AB2

故答案为：1或;.

12.已知M,N为数轴上从原点。出发的两个动点，点“每秒1个单位，点N的速度为点M的2倍，则

当运动时间为4秒时，和QN两条线段的中点相距个单位.

【答案】2或6

［详解】(1)M,N同向运动

由题意得OM=4xl=4,ON=2x4=8

()NOM

・•・QM和QV两条线段的中点相距=-—qX-q4=2

2222

(2)M,N反向运动

由题意得(W=4xl=4,ON=2x4=8

・•・OM和ON两条线段的中点相距=要+要==6

2222

8

故答案为：OM和ON两条线段的中点相距2或6个单位.

13.长度为24cm的线段/IB的中点为MC是线段上一动点，若点。到线段也两端点的长度之比为1:3,

则线段AC的长度为.

【答案】15cm或21cm

【详解】:线段人4的中点为MAB=24,

AM=MB=\2,

•・•点。到线段MB两端点的长度之比为1：3,

当MC:C8=1:3时，MC=3,

・•・AC=AM+MC=\5,

当C4:MC=1:3时，MC=9,

・•・AC=AM+MC=2\i

:.AC的长度为15cm或21cm.

故答案为：15cm或21cm.

AMCB

AMC~~B

14.如图：数轴上点4、8、〃表示的数分别是-9,-I,1,且点C为线段A3的中点，点。为原点，点后在

数轴上，点厂为线段的中点，P、。为数轴上两个动点，点/从点片向左运动，速度为每秒1个单位长

度，点。从点〃向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、。同时运动，运动时间为，s.有下列结论：①若

72

点9表示的数是3,则C/=7；②若DE=3,则8尸=(；③当［=2时，PQ=2,④当，=:时，点户是线段

。。的中点；其中正确的有.(填序号)

ABD

，」」」」」」』」,」

-9-1O1

【答案】①③/③①

【详解】解:①若点夕表示的数是3,

•・•点尸为线段的中点，〃表示的数是1,

・•.DE=2,DF=^DE=\,叩尸表示的数是2,

•・•数轴上点力、8表示的数分别是T,T,点C为线段A8的中点,

，点。表示的数为gx(-l-9)=-5,

ACF=2-(-5)=7,故①正确；

②若£>E=3,

当点后在点〃的右侧时，则点E表示的数是4,

9

丁点/*'为线段OE的中点,

:・DF-1DE=3：,即/表示的数是5彳，

222

・•・5F=--(-l)=-,

2-2

当点E在点〃的左侧时，则点£表示的数是-2,

:点尸为线段OE的中点，

:.DF-1DE=3W，即产表示的数是一I大，

222

・•・BF=---(-l)=-,

2一2

综上，8f二：或故②不正确:

③当1=2时，BP=lx2=2,OQ=2x3=6,

•:B、〃表示的数分别是-I,1,

・•・〃、0表示的数分别是-3,-5,

・・・PQ=2,故③正确;

_?2??6

④当1=一时，BP=lx-=二,DQ=M'3=M，

555

:・P、0表示的数分别是-：，一,

JJ

•・•点尸在〃、。的左侧，不可能是线段。。的中点，

故④不正确；

故答案为：①③.

15.如图，数轴上。，力两点的距离为4,一动点尸从点/I出发，按以下规律跳动：第1次跳动到力。的中点

A处，第2次从A点跳动到A。的中点4处，第3次从4点跳动到4。的中点儿处，按照这样的规律继续

跳动到点4，4，A，…，4处，那么线段4A的长度为

【答案】4-^J'x4

【详解】解：由于OA=4

所以第一次跳动到04的中点A处时，=；(M=gX4=2,

(1、2

同理第二次从A点跳动到4处，离原点的-x4处，

3

10

第三次从4点跳动到4处，离原点的（；）x4处，

L,

跳动〃次后，离原点的长度为

故线段的长度为

故答案为：4-x4.

16.如图，甲、乙两个动点分别从正方形A8CO的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，用点按顺时针

方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动.若甲的速度是乙的速度的3倍.则它们第2019次相遇在边—

【答案】AB

【详解】每次相遇的位置依次是:DC,AD.BA、BC,依此循环.

2019+4=504…3

故它们第2019次相遇位置与第三次相同，在AB边上.

三、解答题

17.如图，已知点A,点8是直线上的两点，A8=12厘米，点P,点Q是直线上的两个动点，点户的速度

为1厘米/秒，点。的速度为2厘米/秒.点P，。分别从点A,点8同时相向出发沿直线运动/秒：

（1）求RQ两点刚好重合时的/值；

（2）当P，Q两点重合后继续沿原来方向前进，求相距6度米时的/值；

（3）当点。离A点的距离为2厘米时，求点尸离A点的距离.

【答案】（1）4秒；（2）6秒；（3）7厘米或者5厘米

【详解】（1）因为运动时间为t秒.

由题意，得：t+2t=12,

11

解得t=4(秒)；

(2)因为运动时间为t秒.

Ph匕Q/

AB

方法一：2(t-4)+(t-4)=6

3t-12=6

t=6(秒)

方法二：t=(12+6)+(2+1)

t=6(秒)

(3)当点Q离A点的距离为2厘米时，分两种情况:

①点Q在A点的右边，如图所示：

因为AB=12cm

此时,t=(12-2)+2=5,

P点经过了5厘米，点P离B点的距离为7厘米;

②点Q在A点的左边，如图所示：

AB

因为点Q运动了(12+2)+2=7(秒)

此时，t=7,P点经过了7厘米，

所以点P离B点的距离为12-7=51厘米).

综上所说，点P离B点的距离为7厘米或者5厘米.

18.已知，一个点从数轴上的原点开始.先向左移动6cm到达力点，再从/1点向右移动10M到达4点，点

。是线段力9的中点.

(1)点C表示的数是;

(2)若点力以每秒2c/〃的速度向左移动，同时C、〃两点分别以每秒4c勿的速度向右移动，设移动时

间为1秒，

①运动£秒时，点。表示的数是(用含有t的代数式表示)；

12

②当£=2秒时，的值为.

③试探索：点力、B、。在运动的过程中，线段⑦与力。总有怎样的数量关系？并说明理由.

--------------------------------------1----------------------------------►

0

备用图

【答案】（1）-1;（2）①・1+£；②121；③线段⑦与/1C相等，理由详见解析.

【详解】解：（1）•・•一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达力点，再从力点向右移动10面到达

8点、,

・••点/表示-6,点耳表示-6+10=4,

又丁点。是线段/仍的中点，

・•・点。表示的数为卷廿=-1,

故答案为：-1.

（2）①•・•点。表示的数为-1,点以每秒1。加的速度向右移动，

・•・运动，秒时，点。表示的数是-1+，，

故答案为：・1+£；

②由题可得，当1=2秒时，点力表示的数为-6-2X2=-10,点8表示的数为4+4X2=12,点C表示的

数是-1+2=1,

，当£=2秒时，AC=U,a-11,

・••①・/C=121,

故答案为：121；

③点/!、B、。在运动的过程中，线段⑦与力。相等.理由：

由题可得，点月表示的数为-6-21,点8表示的数为4+4£,点。表示的数是-1+£,

：,BC=（4+40-（-1+r）=5+3乙AC=（-1+t）-（-6-2r）=5+3入

・•・点/I、B、。在运动的过程中，线段冲与力。相等.

19.如图1,将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与

自身一部分重叠.

图1

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A,ZT处.

①如图2,若4，9恰好重合于点。处，MN=_cm,

13

⑷O⑶N

4M------------------>BAMONB

图2

②如图3,若点A落在8'的左侧，且4&=20cm,求MN的长度;

AMA'B'NB

1111」」

图3

③若AB=ncm,求MN的长度.(川含n的代数式表示)

(2)如图4,若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在"处，在重合部分8、上沿绳子垂直方向剪断，将绳子

分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5,宜接写出AN所有可能的长度.

B'：N

41)...B

图4

【答案】(1)①30,②40cm,③30+gcm或30-gcm；(2)25cm或27.5cm或32.5cm或35cm.

\乙)\乙)

【详解】解：(1)@MN=M0+N0=gA0+gB0=\AB=30：

②因为AB=60cm,A'B'=20cm,

所以AA'+BB':AB-A'B'=60-20=40cm.

根据题意得，M、N分别为AA'、BB'的中点，

所以AM=LAA=BN=-^B'.

22

AM+BN=-AA'+-^，=-(Ay4，+^')=-x40=20cm.

222'72

所以MN=AB-(AM+BN)=60-20=40cm.

③因为M、N分别为AA'、BB'的中点，所以BN二;B".

(i)如图，若点A'落在点B'的左侧，

AMA1B'NB

1111I」

AA'+BB'=AB-A'B'=(60-n)cm.

AM+BN=-A4'+-^'

22

二g(A4，+B夕)二;x(60-〃)=

30--Jem.

3°-9=卜°+垓)cm.

所以MN=AB-(AM+BN)=60-

(ii)如图，若点A'落在点B'的右侧,

AMB1AfNB

■1・11・

AN+BB'=AB+A'B'=(60+n)cm.

AM+

22

=5(/W+88)=¥乂(60+〃)=304--cm.

所以MN=AB-(AM+BN)=60-30+?=30-^J(cm).

综上，MN的长度为(30+]}小或|’30-]}«1.

(2)如图，

•B

•・•三段的长度由短到长的比为3：4：5,

345

60x60x=20,60x=25,

3+4+53+4+53+4+5

故绳子被剪分为15cm,20cm,25cm三段

当8P=15,”=20,AP=25时,

AN=AP+yPP=25+；X20=35；

当8P=15,pp=25,AP=20时,

AN=AP+gPP=20+gX25=32.5；

当B'P=20,PP=15,AP=25时,

AN=AP+yQP=25+；X15=32.5；

当8P=20,pp=25,AP=15时,

AN二AP+/PP=15+gX25=27.5；

当8'P'=25,PP=20,AP=15时,

AN=AP+|PP=15+gX20=25；

当6P=25,PP=15,AP=20时，

15

A即AP+gPP=20+gX15=27.5.

综上AN所有可能的长度为：25CR或27.5cm或32.5cm或35cm.

20.在数轴上有两点4B,并且从4表示的数a,。分别是-6,18.现在A。都从力点出发往6点停止，

已知产点速度是4个单位长度/秒，。点速度6个单位长度/秒，已知产出发1秒后，。才出发.

AB

-------------------1---------------11.

^60------------------------18

(1)若」/点与。点同时从4点出发，且必点速度是8个单位长度/秒，."出发追上，后再返回与。相遇就停

止，它一共走了多远？

(2)在整个过程中，P,。两点在O点出发后多久相距一个单位长度？

643519

【答案】(1)彳个单位长度；⑵浮或1秒或1时

【详解】(1)必出发追上。的时间为4X1+(8-4)=1(秒)，此时，0点走的路程为6X1=6；〃点走的路

程为8X1=8；"追上户后再返回与。相遇时间为(8-6)+(8+6)=；

164

V一共走了8x(1+[)==•,

77

答：.“出发追上P后再返回与。相遇就停止，它一共走了半64个单位长度；

(2)设0点出发£秒后，与，点相距1个单位，则〃点运动的时间为t+1秒，

①户在。点的右边时，AP-AQ=\,

4X(/+1)-6£=1,

3

解得t=-,

②P在。点的左边时，AQ-AP=\,

6,-4(£+1)=1,

解得t=|.

③当。到达6时，[=18]-6)=4,

此时夕距B点、24-4X(4+1)=4,

再走3个单位长度时，尸0相距1个单位，

,319

t=4+-=—

44

・•・当。点出发13秒或15秒或719时，々相距1个单位.

21.已知A、〃在直线/上，48=28,点C线段A8的中点，点P是直线/上的一个动点.

(1)若区尸=5,求6的长：

16

(2)若M是线段"的中点，N是//的中点，求MV的长.

【答案】(1)CP的长为:9或19；(2)MN=14

【详解】解：(1)•・•点C线段A5的中点,18=28,

・•・AC=CB=-AB=\4

2

当P在CB上时,如图:

ACPB

,:BP=5

ACP=BC-CP=14-5=9

当P在CB的延长线上时，如图：

ACBP

•・•BP=5

ACP=BC+BP=14+5=19

・・・CP的长为:9或19

(2)为AP的中点

AM=MP=-AP

2

IN为BP的中点

・•.PN=NB=-PB

2

当P在AB线上时，如图

---♦AM•P•--N--•--B--•-

MN=MP”N=；AP6PB'AP”B)[AB/

当P在AB的延长线上时，如图

17

AMBNP

MN=MP-PN=-AP--PB=-（AP-PB）=-AB=\4

222V72

当P在BA的延长线上时，如图

M?Z=P^-MP=-PB--AP=-(PB-/lP)=-y4B=14

222'72

综上所述：MM=14

22.如图，数轴上点A、4表示的有理数分别为一10、5,点P是射线A/3上的一个动点(不与点A、田重

合)，点”是线段小靠近点A的三等分点，点N是线段82靠近点8的三等分点.

AB

」111、

-10015

AB

」」」」4

-10015

备用图

(1)若点尸表示的有理数是0,那么的长为______：若点P表示的有理数是1,那么MN的长为.

(2)点P在射线上运动(不与点A、8重合)的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请求出

的长；若改变，请说明理由.

【答案】(1)10,10；(2)MV的长不会发生改变，且MN=10.

【详解】解：(1)若点，表示的有理数是0,则力/三10,BP=5.

•・•”是线段"靠近点A的三等分点，N是线段8夕靠近点8的三等分点.

220210

：,MP=-AP=—,NP=-BP=-,

。JD5

2010

:.Ml-MKNP=—+—=10；

33

若点产表示的有理数是1,则BP=4.

•・•”是线段心靠近点A的三等分点，A,是线段游靠近点夕的三等分点，

22278

：..\fP=-AP=—,NP=-BP=-,

。JDJ

228

—+-=10.

33

故答案为：10,10；

18

(2)J仲的长不会发生改变，理由如下：

设点尸表示的有理数是a(a>-10且收5).

当-10V&V5时，如图1,AP=a^\0,BP=5-a.

•・•”是线段心靠近点A的三等分点，4是线段游靠近点〃的三等分点.

••..曲—：力/三；(小40),.，忸=(m=((5-而，

：,MN=MP^NP=^(#10)+；(5-a：=10；

AMpNB

11111A

-105

图1

当a>5时(如图2),加xa+10,BP=a-3.

:任是线段/仍靠近点力的三等分点，N是线段游靠近点3的三等分点.

22,22

：.MP=AP=(^-10),NP=55(a-5)，

：.MN=MP-NP=^(a+10)(a-5)=10.

综上所述：点，在射线/出上运动(不与点48重合)的过程中，业V的长不会发生变化，且为定值10.

AIMIBINIIP,

/°图25

23.数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要

的规律.例如：若数轴上点力、点〃表示的数分别为a、4则人〃两点之间的距离线段力〃

的中点表示的数为胃.请利用以上结论解决下列问题.

2

ABA1■MIB■Q■PI

-2010x-2010x

图1图2

(1)如图1,数轴上点力表示的数为・2,点8表示的数为10,则力、〃两点间的距离力?=,线段力笈

的中点表示的数为;

(2)数轴上另有一动点〃从点力出发，以每秒4个单位长度的塞度沿数轴向右匀速运动，点。是线段除

的中点.设运动时间为。秒：

①当r=2时，求此时点。表示的数：

②如图2,点夕运动至〃点右侧，必是线段力。的中点，若4恰好是QW的中点，求£的值.

【答案】(1)12；4.(2)①8.②，的值为5.

【详解】解：⑴力?=|-2-10|=12,线段月8的中点表示的数为三3=4.

故答案为：12；4.

(2)①当运动时间为2秒时，点〃表示的数为4X2-2=6,

19

丁点。是线段利的中点，

・•・点。表示的数为竽=8.

②12+4=3（秒）.

I（）+4/-9

当运动时间为1秒时（七>3）,点夕表示的数为4・2,点0表示的数为一--=2f+4,点J/表示的数为

-2+2Z+4,

--------------=f+1.

2

:点〃恰好是QJ/的中点，

2

；・z=5.

答：Z的值为5.

24.已知，数轴上两点A,B表示的数分别是9和-6,动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向

点B运动，运动到点B停止；

（1）在数轴上表示出A,B两点，并直接回答：线段AB的长度是」

（2）若满足BP=2AP,求点P的运动时间；

（3）在点P运动过程中，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，请计算线段MN的长度，并说

出线段MN与线段AB的数量关系；

（4）若另一动点Q同时从B点出发，运动的速度是每秒2个单，立，几秒钟后，线段PQ长度等于5?

-12-9-6-36-3~~6~912->

【答案】（1）15；（2）/=：；⑶MN=-fMN=-AB,（4）当2秒或4秒时，线段PQ的长度等于5

322

【详解】（1）9—（-6）=15,

故答案为：15；

（2）设P运动时间为t秒，则AP=3t,

VBP=2AP,

，BP=6l,

.*.3t+6t=15,

・・"3

3

・••点P运动时间为g秒；

（3）•・•点M为线段AP的中点，

MP=-AP,

2

20

•・•点N为线段BP的中点,

・•.NP=、BP,

2

：M=MP^NP=-AP+-BP=-AB=—

2222

・・・MN与线段AB的数量关系为：MN=-AB；

2

（4）①当点Q往数轴正方向运动时，设运动时间为x秒，

则Q点表示的数为：-6+2x,P点表示的数为：9-3%,

当Q点在P点左侧时，PQ=9—3x+6—2x=15—5x=5,解得x=2；

当Q点在P点右侧时，PQ=-6+2x—9+3x=-15+5x=5,解得x=4；

②当点Q往数轴负方向运动时，设运动时间为y秒，

则Q点表示的数为：-6-2），，P点表示的数为：9-3），，

.\PQ=9-3y+6+2,v=15-y=5,解得），=10,

此时P点不在AB线段_L,不符合题意，舍去；

综上所述，当运动2秒或4秒时，线段PQ的长度等于5.

25.已知线段力田15cm,点。在线段月8上，且月G止3：2.

.4j?/P_CB

⑴求线段力乙。的长；

（2）点尸是线段/山上的动点，线段/1P的中点为M设//片加cm.

①请用含有0的代数式表示线段产£.心的长；

②若三个点MP,C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称机只C三点为“共谐点”，请直接写出

使得MP，。三点为“共谐点”的的值.

【答案】（1）/e9cm,e6cm；⑵①当点?在线段力。上时，PC—）cm,MO（9-；加cm；当点〃在线

段8c上时，PC=（k9）cm,MC=（9加cm；②加的值为6或⑵

【详解】（1）解：•・•线段归庐15cm,点。在线段加上，且4G阱3：2,

/./^15x1=9cm,6^15x1=6cm；

JJ

（2）解：①当点。在线段力C上时，

PC=AC-AP=（9-加cm,

MOAC-AM^AO-AP^cm；

22

当点〃在线段回上时，

PC=AP-AC=（〃尸9）cm,

21

MOA(hA.lf=(9-一加cm；

2

②当点产在线段力。上时，

则JBPC,

—/n=9-//b

2

解得：犷6,

当点尸在线段仇7上时，

则聆PC,

.*.9--w=/»-9,

2

解得：/7F12,

综上：加的值为6或12.

26.如图，已知A8,C是数轴上的三点，点。表示的数是6,80=4,48=12.

AOBC

(1)写出数轴上点A,点8表示的数；

(2)点M为线段A8的中点，CN=3,求MN的长；

(3)动点P.Q分别从AC同时出发，点户以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点。以每秒3

个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求，为何值时，原点。恰好为线段尸。的中点.

4

【答案】(1)A表示的数是70,B表示的数是2；(2)7或13；(3)当t=§时，原点0为PQ的中点

【详解】丁点。表示的数是6,fiC=4

，点B表示的数为6-4=2

-AB=\2

・••点A表示的数为2-12=T0

・•"表示的数是-10,B表示的数是2.

(2)VAB=12,M是AB的中点.

.*.AM=BM=6,

VCN=3

当点N在点C的左侧时，BN=BC-CX=1,此时MN=BM+BN=6+1=7

当点N在点C的右侧时，BN=BC+CN=7,此时\IN=BM+BN=6+9=13

综上所述，MN的值为7或13

(3)-A表示的数是-10,即0A=10

C表示的数是6,即0C=6

22

又*•点P、点Q同时出发，且运动的时间为t

/.AP=6t»CQ=3t,

/.CP=0A-AP=10-6t,0Q=0C-CQ=6-3t

当原点0为PQ的中点时，OP=OQ

10-6t=6-3t.

4

解得t=y

4

・••当时，原点。为PQ的中点.

27.已知数轴上，点。为原点，点1表示的数为10,动点反C在数轴上移动，且总保持比?=3(点。在点

〃右侧)，设点〃表示的数为初.

F■!j1)

0BCAXOAX

图1备用图

(1)如图1,若8为Q!中点，则力入，点。表示的数是；

(2)若