解直角三角形的五种常见类型练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

专题14解直角三角形的五种常见类型

类型一已知两直角边解直角三角形

1.已知：如图，在RSA8C中，ZC=90°,N4NB,NC的对边分别为小b,

c,如果。=5,b=lQ,解这个直角三角形.（角度精确到1°）

2.在RtaABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的对边分别为。，b,c,已知。

=5或，b=5屈解这个直角三角形.

类型二已知一直角边和斜边解直角三角形

3.如图，在RQA8C中，ZC=90°,ZA,NB,NC所对的边分别为〃，b,c,

已知。=5百，c=5屉,解这个直角三角形.

4.如图，在ZkABC中，ZACB=9Q°,AB=5,AC=4,过点。作直线MC使得

/BCM=NBAC,求点8到直线MC的距离.

MC

类型三已知一直角边和一锐角解直角三角形

5.在ZkABC中，NB=90°,ZC=30°,A8=3,求8。的长.

6.如图，在Rt/kABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=3,。为AC边上一点,

ZBDC=45°,求的长.

ADC

类型四已知斜边和一锐角解直角三角形

7.如图，在RSA8C中，ZC=90°,N3=45°,a,b,c分别为NA,ZB,ZC

的对边，c=10,解这个直角三角形.

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,A。是N84。的平分线，与BC

相交于点。，且AB=4W，求AO的长.

B

I)

类型五已知非直角三角形中的边（或角或三角函数值）解直角三角形

9.如图，在ZkABC中，Zfi=30°，ZC=45°，AC=4,求A3和8。的长.

10.如图，在△A8C中，ZB=30°,NC=135°.当AC=4时，求5C的长（说

明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹,

不用写作法）.

C

11.如图，在△ABC中，点。是A8的中点，DCA.AC,且tanNBCD=±求/A

3

的三个三角函数值.

12.如图，在四边形ABCO中，对角线AC,BD交于点E,ZBAC=90°,NCED

=45°,ZDCE=30°,DE=a,BE=2a.

(1)求CQ的长；

(2)求四边形4?C0的面积.

答案:

1.解：VZC=90°，a=5,fe=10,

；.c=a2+b2=y/524-102=5V5,

••4_a5_V510_2V5

・・sinA=-=si.nBr*=-b=

c5百5c5755

由计算器可以求得NA七27°,N8"63°.

由上可得乙4仁27°,NB^63°，c=5遍.

2.解：・・・/。=90°,。=5&,b=5显

：.c=Ja2+fe2=J(5V2)2+(5V6)2=10V2,，4=如

・・・NA=30°,ZB=60°.

3.解：在RtaABC中，ZC=90°,tz=5V3,C=5A/6,

：.b=JC2_Q2=J(5A/6)2-(5V3)2=5存

:.a=b,NA=N3=45°，:・b=5W,NA=N3=45°.

ME。4.解：如图，在RtAABC中,

22

BC=AB-AC=3f过点8作8EJLMC,垂足为E,

VZACB=ZBEC=90°，NBCM=NBAC,

・・,“C5s△曲一嚏嚏，冲得

JBE='I.点B到直线MC的距离是二

55

5.解：在△ABC中，ZB=90°，ZC=30°,A8=3,：.AC=2AB=6.

22222

VAB+BC=ACf:.BC=6-3=V27=3A/3,故BC的长为3H.

6.解：・・•在RtZkABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=3,

・・・AB=6,AC=3A/3.

VZB£)C=45°,：.ZDBC=45°,:.CD=BC=3,

：.AD=AC-CD=3^3-3.

7.解：VZC=90°,NB=45°,AZA=90°-45°=45°,：.a=b,

VsinA=-,.\a=10-sin45°=5&,.\h=5\/2.

c

8.解：在RSA3c中，VZC=90°,ZB=30°,

：.ZBAC=90°-30°=60°,AC=-AB=-X4\f3=2^3.

22

・・2。平分/班。，・••在RMAC。中，NC4O=30°,・・.AD='^=学=4.

COS30°

2

9.解：作AC8C于点。，如图，

VZC=45°,ADLBC,

•••△ADC为等腰直角三角形.

VAC=4,AAD=DC=—AC=2^2.

2

在RtA4Q3中，VZB=30°,

22

:・AB=2AD=4五,BD=^AB~AD=2y/69

：.BC=BD+DC=2V6+2A/2.

综上，AB=4a,BC=2V6+2V2.

10.解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为M,

VZACB=135°,

・・・NACM=45°,

：.AM=CM,

在Rt^ACM中，

cosZACM=—,

AC

则CM=2®：・AM=2也

42

在RSABM中，tanB=—,则BM=2乃，

8MBM3

:.BC=BM—CM=2述一2R

11.解：如图，过点。作。石〃AC交3c于点E,又由。CJ_AC,可得/AC£)=

/CDE=90”,

设由tanZBCD=—=~,可得CO=3x,

CD3

・〃。，点。是的中点，：

,.Q£AABACAB2.AC=2x,

22__

在RSACO中，AD=AC2+CD2=(2%)+(3x)=V13x,

,,..CD3rrrr.AC2FTTZ.CD3

故

sinA=—AD=1-3V13,cosA=—AD=—13V13,tan—AC=-2

12.解：(1)如图，过点。作O”_LAC于点”，

:・/EDH=45°，

:"HED=/EDH,：.EH=DH.

•・・加+。环=。£2,DE=y/2,

：.EH~=\,：.EH=DH=\.

又・・・NOCE=30°,ZDHC^90°,：.DC~2.

(2)・・•在RSEWC中，DH*2+HC2=DC2,

A