上海市2026年高三一模数学试卷（含答案详解）

2026届复旦大学附属中学高考模拟限时练习

数学试卷

一、填空题（12题，共54分，题每题4分，7〜12题每题5分）

1.抛物线/=4x的准线方程为.

2.（1+2幻6的二项展开式中V的系数为.

3.不等式至20的解集为________.

x-3

4.某同学5次数学周测成绩为：80,84,84,86,86：这组数据的方差为.

5.若不等式|3x-4>|2a-1卜3国对于任意实数%恒成立，则°的取值范围为.

6.若存在定义域为R的录函数y=〃a"和有意义的对数1咤加~（〃+2）,则整数〃的取值集合

为.

7.已知P4L平面ABC,NPC/=45。，若△P4C与以4,8,C为顶点的三角形全等，则△P8C

的形状为.

8.从10双相同的鞋子中随机抽取4只鞋，恰好可以作为2双的概率为.

9.已知a>0,b>0,方程组八”“无解，则幺+：的取值范围为

10.若直线/的方向向量为。=（2此吗），平面。的一个法向量后二（外,-2,0）,若2吗,g9构

成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线/与平面。的位置关系为.

11.设锐角出48C的三边长为。力,c,若兔48C的三边满足等式：=3"=4,

则。的取值范围为.

12.已知定义域为R的函数/（力满足/（x+l）N/（x）+l与/（x+1013）«/（x）+1013恒成立,

若/（x）与任意定义域为R的奇函数均有交点，则”2026）=_________.

二、选择题（4题，共18分，13〜14每题4分，15〜16每题5分）

13.设函数的定义域集合为值域集合为N,则（）

A.MuNB.NuMC.M=ND.Mc\N=0

14.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可

试卷第1页，共4页

换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有()

A.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行

B.垂直于同一平面的两条直线平行

C.平行于同一直线的两条直线平行

D.平行于同一平面的两直线平行

15.对任意正整数〃，定义〃的双阶乘加!：当〃为偶数时，力!!=〃x(〃-2)x(〃-4)x…x6x乙x2；

当〃为奇数时，〃!!=〃x("-2)x(〃-4)x…x5x3xl,则下列四个命题中错误的是()

A.2026!!的个位数字为0

B.2025!!的个位数字为5

C.2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列

D.有不止一个正整数〃可以使得加!，(〃+1)!!,(〃+2)!!构成等差数列

16.已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为“，4c,

贝IJ()

命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为麻是直四棱柱为长方体的充要条件

命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为麻是斜四棱柱为长方体的充要条件

A.①②都正确B.①②都错误C.①正确，②错误D.①错误，②正确

三、解答题(5题，共78分，17〜19每题14分，20〜21每题18分)

17.从-4,-3,-1,1,3,4中任意选取一个实数作为“，构造函数/(x)=f-ar+l,xeR,

记事件A为”所选取的实数a使得函数y=/(%)有两个不等零点”.

(1)写出样本空间与事件彳对应的集合，并求事件4发生的概率；

⑵记事件8为“所选取的实数。使得函数y=/(x)在+8)上是严格增函数”，试判断事件

A,和事件8是否为相互独立事件并说明理由.

18.如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为

ahc,其对应的内角为4'C,被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二

者外接圆半径之比为1:2.

试卷第2页，共4页

(1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16兀，求：..「的值;

sinA+sinn+sinC

(2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6,求：该直角三角尺做镂空设计前绕其•

边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值.

19.如图，在四棱锥P-14CO中，PD1平面/18CD,四边形/出。。是平行四边形.

⑴若E是尸8上任意一点，四边形48C。是菱形，AC=6,BD=60当△花。面积的最

小值是9时，求证：£1。1平面48：

(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个

面都为直角三角形的四面体称为鳖版若四棱锥P-48c。是阳马，PD=5,CD=4,AD=3,

求：该阳马的外接球表面积;

(3)若四棱锥P-48C。是阳马，且PD=CD,点E可能为尸4尸&PC的中点，试确定点E位

置使得四面体为鳖嚅，并证明.

20.定义：我们称双曲线与一£=1的“交换双曲线”为《一£=1；

crh~b~a~

我们称椭圆=十二=i的“交换椭圆”为W+E=i：

a~b~b~a'

我们称圆(一〃y+(y—M=>的“交换圆”为(T-/))2+3-〃)2=〃2.

(1、

(1)若双曲线。的“交换双曲线”为自己本身，双曲线。过点--,tan<9,求：双曲线C的

Icos。J

标准方程；

(2)若过点(0/)且与y=(f相切的直线/与所有半径为「，“交换圆”是自己本身的圆均相切,

且一个球的表面枳与“交换圆”面积相同，求：球的体积；

试卷第3页，共4页

(3)已知曲线「满足，当时与离心率为巫，长轴长为3及的椭圆力重合，当工时，

3

与椭圆印的“交换椭圆”重合，若矩形PQMN的顶点均在曲线「上且关于P=x对称，求证：

矩形P0MN的面积小于5.20.

21.定义：若函数/("满足在［右,折］上的值域为［G,6］(0<a<b),则称/(x)为“根

(。,力)域同函数”.

⑴试判断/(力近呜/)是否为“根(则域同函数”并说明理由；

⑵若“根(。力)域同函数”/卜)=(〃?+1*+心+〃为偶函数，求：g(〃)=〃+T^的值域：

(3)已知奇函数/(X)对任意(。⑼均满足“X)为“根(。力)域同函数”，塞函数g(x)是“根

(c,d)域同函数”的充要条件为点(G")在g(x)上,求证：当X«-8,-1)D(0,1)时，/(x)的

图象在g(x)下方.

试卷第4页，共4页

1.x=-1

【分析】根据抛物线G方程求出准线方程.

【详解】由抛物线G：/=4X,可得耳(1,0),

抛物线G的准线方程为X=-1,

故答案为：x=-l.

2.60

【详解】该二项式通项为：「讨=晨2。。令人=2可得，。=或2\2=60/,所以一系数

为60.

3.{0}U(3,+8)

【详解】当x=0时，则有2=0,满足题意；

0-3

当xwO时，则2/>0,由工20可得x-3〉0,解得工>3.

x-3

故原不等式的解集为网33，+。).

4.4.8

【分析】先求出平均数，再利用方差的定义求出方差.

【详解】所以这组数据的平均数为-----------------=84,

方差为为80-84『+(84-84『+(84-84丫+(86-84『+(86-84)1=4.8.

【分析】将问题转化为(|3x-a|+|3x|)1111n习2”1|恒成立，然后利用绝对值三角不等式求

|3x-+|3x|的最小值，最后解绝对值不等式即可.

【详解】不等式段一4>|2”1卜3国恒成立，即不等式不一同+3国恒成立,

即不等式|3》—4+13M>|2a—耳恒成立，

所以(|3>。|+网),>伽-1|,

因为m-4+网之|(3%-0-3乂=同，当且仅当(3x-a)x«0时等号成立，

答案第1页，共14页

所以|2〃-1卜|4,两边平方化简得"2_4a+l<0,解得;

即a的取值范围为小］

6.{1,2,3}

【详解】由题意可知，m=\,/?>0,5w-n>0,5m-n1,〃+2>0,

则0V〃<5,n14,

若〃=1，则尸=》定义域为R，符合题意；

若〃=2,则y=心"=/定义域为R,符合题意；

若〃=3,则y=定义域为R,符合题意，

所以整数〃的取值集合为{123}

7.等边三角形或直角三角形

【分析】由E4J_平面力5c可得P4_L/1C,PALAB,PA1BC,再结合/PC4=45。可得

△PAC,由48C为等腰直角三角形，进而分力为直角顶点、C为直角顶点，两种情况讨论求

解即可.

【详解】由平面4BC,力。，48,8Cu平面48C,可得产力_L/。，PAA.AB,PAA.BC,

又/尸。=45。，则△21C为等腰直角三角形，且力尸=力。，

由于与以4,B,。为顶点的三角形全等，

则出力8C为等腰直角三角形，

当力为直角顶点时，AB=AC=”，

答案第2页，共14页

当C为直角顶点时，AC=BC=AP,

因为H18C,AC1BC,尸力c/C=4产力,力Cu平面4C,

所以8C_L平面尸4C,又PCu平面尸4C,所以8C_LPC,

XPC=V2JC,Z?C=JC,所以△P8C为直角二角形.

综上所述，△P8C为等边三角形或直角三角形.

oAH

,323

【详解】10双鞋子共20只，从20只中随机抽取4只，不考虑顺序，总抽法为

20x19x18x17彳。.

------------=4845,

4x3x2xl

因为是10双相同的鞋子，故恰好凑成2双，即从10双左脚的鞋中选择两双，从10双右脚

的鞋中选择两双，

10x010x0

符合条件的抽法为C：oX=巴暮>卓=2025,

根据古典概型可知恰好可以作为2双的概率。=怒2025=*135•

9.(2,-KO)

【分析】根据两直线位置关系得必=1旦。W〃H1,然后利用基本不等式求解即可.

【详解】原方程组无解等价于直线口丫+歹=2026与直线X+by=2026平行，

所以。力=1且。工力W1.

又4>0,b>0,所以兹+1=_1+_!.>2)-!-=2dHl),

ababVab

即日+：取值范围是(2,的).

10.11ia或Iua

答案第3页，共14页

【分析】由3G=0,可得即可得出直线/与平面。的位置关系.

【详解】因为2,%,%,%构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则2=q=%=%,

因为筋万=（2吗,42）・（％，—2,0）=2。3-2〃1+0x02=4-4+0=0,所以£_L；；.

所以〃/a或/ua.

11.(2百,44)

【分析】先根据余弦定理求出角C的大小，再求出角4的范围，再利用正弦定理用sin4表

示。计算范围即可

【详解】因为/+/-帅=。2,所以1+62-02=",根据余弦定理

lab2ah2

因为出"C是锐角三角形，Cc(0,9,因此C=],得即8=与-力

八2不，乃

0<----A<—

2

因为三个角都是锐角，所以'，解得所以:<sin/i<l

门An622

0<J<—

2

又一T费'"*sinC=^所以

sinAsinA

因为;<sin/<l,所以cw(2G，4⑹

12.2026

【详解】定义域为R的函数/(x)满足/(x+l)2/'(x)+l恒成立,

贝IJ有/(2026)”(2025)+1”(2024)+22…(0)+2026,

又/(X+1013)W/(X)+10I3恒成立，则有

/(2026)=/(1013+1013)</(1013)+1013=/(0+1013)4-1013</(0)+2026,

/(2026)>/(0)+2026K/(2026)</(0)+2026,所以有/(2026)=/(0)+2026,

函数/(x)的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点，

则有/(0)=0,所以/(2026)=2026.

13.C

【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合晶函数的单调性即可求出

答案第4页，共14页

其值域，进而即可得到答案.

【详解】由歹二^1;必1

F则丁>0,解得x>0,所以”=(0,+8),

乂y=是密函数，且-1<()，即y=在(。，+力)上单调递减,

当XT(T时，yf+8；当XT+CO时，y->0,所以N=(O,+8),

所以A/=N.

14.D

【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可.

【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平

面平行，

变换后的命题为真命题，A选项中的命题为"可换命题”；

对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行，

根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”：

对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行，

根据平面平行的传递性可如变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”：

对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D

选项不满足要求.

15.D

【分析】利用双阶乘〃!!中的因数，判断AB选项；由双阶乘〃!!的运算和等比数列的定义判

断C选项；分类讨论求解加!,(〃+1)!!,(〃+2)!!构成等差数列时〃的值判断口选项.

【详解】对于A,2026!!中包含因数10,所以2026!!的个位数字为0,A选项正确；

对于B,2025!!中包含因数5,且因数均为奇数，所以2025!!的个位数字为5,B选项正确:

对丁C,2025!!=2025x2023x2021x••■x5x3x1,2024!!=2024x2022x2020x•••x6x4x2,

所以有2025!=2025!!x2024!!,

202512025”

又2025!>2025!!>2024!!,=2024!!h,

2025!!2024!!

所以2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列，C选项正确:

对于D,若加!,(〃+1)!!,(〃+2)!!构成等差数列,则有2(〃+1)!!=〃!!+(〃+2)!!,

当〃为正偶数：设〃=2A,LeN”,

答案第5页，共14页

贝|J〃!!=(24)!!,(〃+1)!!=(2女+1)!!,(〃+2)!!=(24+2)!!=(2左+2)(2&)!!,

代入等差条件,得2x(2左+1)!!=(2%)!!+(24+2)(22)!!=(2%+3)(22)!!,

即(2*+邛!二生芈”

由(2左+1)!!和2A+3都是奇数，则里!也是奇数，则％=1,

而左=1时,〃=2,等式2(〃+1)!!=〃!!+(〃+2)!!不成立，此时无解;

当〃为正奇数：设〃=2"l,AwN，

则加!=(2"1)!!,(〃+1)!!=(2%)!!,(〃+2)!!=(2-+1)!!=(2』+1)(2%-1)!!,

代入等差条件，得2x(2Q!!=(2"l)!!+(2"l)(2/-1)!!=(24+2乂2"1)!!,

即(24)!!=(4+1)(2左一1)!!,

(2Z-1)!!为奇数，(24)!!为偶数，则A+1为偶数，

又keN,时，2k＞k+\,(2左)!!=("+1)(2"1)!!要成立,

则(2人)!!中只能有R+1这一个偶数因数，否则等式两边约去4+1后，左边为偶数右边为奇数,

不成立，

则有％=1,此时〃=1,等式2(〃+1)!!=〃!!十(〃十2)!!成立.

因此，只有〃=1时加!,(〃+1)!!,(〃+2)!!构成等差数列，D选项错误.

16.A

【详解】设直四棱柱的底面平行四边形的相邻两边长分别为x和两边的夹角为

。(0＜。＜几)，侧棱长为力.

则底面面积为sing,两个相邻的侧面面积(因为是直四棱柱，侧面是矩形)为皿和)力，

此时麻=xyhs/^,同时根据柱体体积公式可得直四棱柱的体积为V=xyhsxnO,

前者等于后者的充要条件为sinO=l即。=90：，故命题①正确；

斜四棱柱的侧棱不垂直于底面，因此不可能是长方体，则由前面的分析可知斜四棱柱的体积

不可能是yjabc,

因此这是两个假命题互为充要条件，故命题②正确.

答案第6页，共14页

17.⑴样本空间。={-4,-3,—1,1,3,4}；事件力对应的集合力={-4,—3,3,4},P(J)=|

(2)是相互独立事件，理由见解析

【分析】(1)根据二次函数零点情况可得事件4中参数。的范围，利用列举法可得解；

(2)根据二次函数单调也可确定事件4中参数。的范围，进而可确定事件B对应的集合,

再结合古典概型判断事件的独立性.

【详解】(1)由已知样本空间。={-4,-3,-1』,3,4},

若函数，=/(x)有两个不等的零点，则△=(-/-4>0,

解得"-2或”2,

事件力为“所选取的实数。使得函数歹=/(x)有两个不等零点”

所以事件A对应的集合为A={-4,-3,3,4},

则小)=4冷2；

(2)是相互独立事件，

若函数y=/(x)在上是严格增函数，

则号背鸟,即w，

所以事件2对应的集合为8={-4,-3,-1},P(5)=1,

则事件A事件B同时发生对应的集合AcB={-4,-3),

则P(/C4)=:=尸(力)尸(8).

所以事件A和事件B是相互独立事件；

18.(1)16

(2)144n

【分析】(1)根据外接圆面积求出G=8,再由正弦定理计算即可；

(2)根据外接圆半径为6,得出斜边c=12,再由圆锥的体积公式与均值定理计算即可.

【详解】(1)设挖去的三侑形的外接圆半径，i，面积为E，

直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径4,面积为S2.

答案第7页，共14页

因为外接圆半径之比为1:2,所以《=等，故宇=住]，

计算得52=64%又因为$2=仃；=64兀，故々=8,根据正弦定理得：

a+b+c2r»-sinJ+2n-sin^+2r,-sinC3

--------------=-----------==--------£-----=2r=16；

sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC2

（2）直角三角尺的外轮廊三角形的外接圆半径为6,斜边c=12,

设直角边为"满足角+y=144,

若绕。旋转：体积匕=:冠?；

若绕6旋转：体积匕&2〃；

若绕。旋转：斜边上的高力=或，体积匕=,山丘=受"；

c336

因为“2+〃2=144,所以匕卫=—（—]=144兀，

当且仅当a=〃=6及时等号成立，此时匕=匕=144拒乃，

即几何图形体积的最小值的最大值为144兀.

19.（1）证明见解析

（2）50乃

（3）点E是〃。的中点.

【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出4C_L平面PQ8,再结合面积的最小值得止=3,

最后再应用线面垂直判定定理证明；

（2）先补形再应用长方体外接球性质计算求解；

（3）应用线面垂直判定定理得出4。J.平面PCD,再结合几何体特征得出。E_L平面,3。，

即可证明几何体形状.

【详解】（1）因为四边形月6C。是菱形，所以

又因为PZ）_L平面48CQ,4Cu平面力8c。，所以PO_L力C,

RBDClPD=D,BD,PDu平面PDB,所以力C_L平面PQ8；

设力。与8。相交于点尸，连接EE,又由4c_L平面PQ8,EFu平面P8D,

所以力C_LE/，S/CE=；4CEF；

当△力£。面积最小时，斯最小，则

答案第8页，共14页

S“CE=9，x6xEF=9,解得：EF=3；

由尸8_1痔且尸4_L4C,EFC\AC=F,EF、4Cu平面/£C,

则。4_L平面力EC,又ECu平面力EC,贝iJP8_LEC；

又由所=力产=R7=3,则EC_L4E,而PBCl4E=E,

PB、力Eu平面产力3,故ECJ•平面21反

（2）把四棱锥尸-48CD放置在长方体中,

则长方体的外接球即为四楂锥的外接球，

"0=5,CD=4,4。=3,

•••长方体的对角线长为旧+4?+3?=5。，

则长方体的外接球的半径火=拽，

2

•••该阳马的外接球的表面积为S=4兀公=4兀（手）=5。兀.

（3）点£是尸。的中点，

因为尸O=CQ,所以。.尸C,

又因为PQ_L底面ACu底面/4CQ,所以AC_P。，

又BCLCD,PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,所以8c，平面尸。,

又。E,尸Cu平面尸CQ,所以BC_LOE,BC_LPC,

由QE1PC,BC1DE,PCCBC=C,。石,8。＜=平面。8（7,

所以OEJ.平面P8C,又BEu平面P8C,所以QE1BE,

所以/DEC=ZDEB=/BCD=ZBCE=-,

2

所以四面体E-8co为鳖懦；

20.（l）x2-/=l

⑵粤

答案第9页，共14页

(3)证明见解析

【分析】(1)由题意可得,7=人设出双曲线。的方程，代入点坐标，求出即可得答案.

(2)根据导数的几何意义，求出切线/的方程，根据题意，可得圆中〃=/),设出圆的方程,

根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，求出半径，•的值，进而可得球的半径，代

入体积公式，即可得答案.

(3)求出椭圆W的方程与其“交换椭圆”的方程，设P(%M),根据矩形的性质，可得对称

点。的坐标，进而可得|尸。|的表达式，根据直线PN平行直线)，=、，求出直线PN的方程,

与椭圆“联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得归M表达式，进而可

得面积S的表达式，根据帏圆田的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证.

【详解】(1)因为双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，所以。=6,

设双曲线C的方程为-一/，

代入点f,tan,得—tan20=—\----’=12,

Icos。)cos'0cos'0cos"0

所以双曲线C的方程为=

(2)对y=e'求导可得了=/,设切点为(工,%),

则切线的斜率左=4』=小，又比,，

所以切线1的方程为y-e。=铲。-人)，

代入点(0,1),得为=0,则切线/的方程为J-l=x,即x—y+l=0,

因为“交换圆”是自己本身，所以。=力，

设圆的方程为(x-o)2+(y-4)2=r,

所以"田铝，

因为直线/与圆(♦〃)？+(y-〃y=/相切.

则"交换圆''面积为兀=5

设球的半径为R,则4兀芯=5,解得R=

24

所以球的体积为94*二4』x

33用卷

答案第10页，共14页

（3）由长轴为3及，可得〃=也，由离心率e=£=在，得°=百,

2a3

所以从=a2-C2=y,

x2y2_

不妨设椭圆力的焦点在x轴，则方程为c+h=L

22

则椭圆w的“交换椭圆”方程为32一，

22

=L)"x

所以曲线「的方程为::

ry~.

„1J>X

.22

因为矩形关于y=x对称，设。«,必）在椭圆力上（凹工芭）,

则。（凹，阳）在“交换椭圆”上（必>Xj，则IP0|=Ja—乂）2+（必一「）2=&归一切|,

又直线PN平行直线y=x,则直线PN的斜率为1,

所以直线PN的方程为歹-必=x-X|,即），=%一天+乂,

y=x-x}+yi

联立匕+廿=1得8工2+12(必一为)工+6(必一xj2—9=0,

93

,22

匚-,、|12(y,-x)”,X.-3y.

所以f+/=>得x,v="»

oZ

所以|PN|=Jl+「卜L”卜丁h+3yj,

所以面积5=俨2|.|明=|再-M|也+3川=斤+2%必-3巧,

--^i_I<

因为点尸在椭圆"上，所以93T，必一“r，

22

令王=^^COSO，Mn^siri。，。为参数，夕£[0,2冗），

因为必工司，所以在sinOK逑cos。，解得tan6£石,

22

不妨取第一象限部分，则0,y,

答案第11页，共14页

9-99工八

代入可得S=—cos~0+3\/3sincossin20=5cos2〃+—^—sin20

因为。w0,-j,贝i」2e+§en,

所以当2。+^=；时，S取得最大值为3百a5.196<5.20.

J/»

（3）证明见解析

【分析】（1）根据题设定义验证求解即可;

（2）先根据/（x）为偶函数求得/（力=/+〃，再结合题设定义可得方程工+〃=0在

[0,+8）上有两个不相等的实数根，进而得到再结合对勾函数的性质求解即可；

（3）根据题设定义及奇函数的性质可求得/"）=x,结合辕函数的性质求得g（x