2026年高考数学冲刺压轴10 数列求和的3大核心题型（解析版）

压轴10数列求和的3大核心题型

近几年高考，数列求和常出现在解答题的第（2）问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方

法求数列的和，难度中档.

A时型01分组转化法求和的常见类型

技法指导

分组转化法求和的常见类型

Onhn±cHt[bn｝，:c,为等差或等比数列分

组

也，〃为奇数，求

"尸｛酬,〃为偶数，也｝，&｝为等差或和

等比数列

1.（2025•山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列｛4｝中，《=1,且％成等比数列，数列他｝的前〃

项和S.满足S“=2〃「2.

⑴求数列｛〃0｝和也｝的通项公式；

⑵及数列｛qj的前〃项和，，若不等式（十〃2-〃＞睡2（1-4）对任意〃wN“恒成立，求实数。的

取值范围.

耳〃印一作

【思维导引】（1）设公差为d/0f列方程求出"f求出色｝的通项公式一根据2=,

差得数列也｝为等比数列—也｝的通项公式

⑵《=2”-（2〃-1）-＞分组求和法求出7；一令/5）=2e-〃-2-＞利用作差法判断/（〃）的单调性一＞求

出“〃L,—解〃的对数不等式f0的取值范围•

【解析】（1）设等差数列｛q｝的公差为•.•4=1,且4吗,八成等比数歹I，

.•・雨=〃⑼3，即（l+2d）2=l+l2d,解得[=2或d=O（舍去），

所以4=1+2（〃-1）=2〃-1.

••・数列低｝的前〃项和邑=2仇-2,

当〃=］时，b、=2b「2,Z?)=2

当〃N2时,bn=Sn-Sa.,=2bn-2Z?n.,,/.b„=2bn_.,

即数列｛〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，••・仇=2”.

(2)由(1)可得c”="—q,=2"—(2〃—l),

【技巧】若数列｛以｝的通项公式为以=飙±力〃，且｛“〃｝,｛九｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列｛以｝

的前〃项和.

2(1-2")〃(1+2〃一1)、

T=」----L_------------L=2""-2―/

"1-22

.•.7；+〃2一〃=2日一〃一2.

令f(〃)=2"+i—〃一2,.•./(/i+l)-/(/j)=2n+2-(«+l)-2H+,+/i=2a+,-l>0,

・•・J'(n)单调递增，/(〃)而。=/(I)=1.

/.Iog2(l-«)<1,:.0<i-a<2,

【易错提醒】只考虑数列求和对实数。的要求，忽视对数函数的要求

(法二)令〃工)=2川一X—2,/'(x)=2v+,ln2-l

因工之1,.♦./(4)单调递增，.•./(〃)2=八1)=1

2.12025♦湖北黄冈•二模)记S“为数列｛q｝的前〃项和，己知q=l,%=2当〃之2时，Se+2$恒=3s..

(I)求数列｛qj的通项公式；

(2)若数列出｝满足a=3也川=4-4(&eN)求数列出｝的前〃项和，.

【解】⑴由题意得，当〃N2时，有S〃LS.=2(S「S.T)，即

因为4=2%,所以4+尸2an对任意weN*都成立

故数列｛q｝是首项为1,公比为2的等比数列，从而％=2"」.

(2)由4+|=4+4(&cN)可得%-%=&T(〃N2),

则a=4+92-4)+(4-力2)+…+(%-4-2)+(2-%)

=6+4+色+―+*+%

=3+2°+2»..+2"-3+2”2

I_Qrt-l

=3+———=2叫2

1-2

当〃=1时，4=3符合上式，故〃=2"，2.

所以4=4+打+…+2-|+”

=(2。+2)+(2+2)+…+(2"2+2)+(2”|+2)

=(2°+2]+…+2"-2+2"T)+2〃

i-2rt

=^—=^+2n=2n+2n-\.

1-2

A题型02裂项相消法求和

技法指导

裂项相消法求和的步骤

丽〉/观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式'

M,___________________________________

累加H将数列列项后的各项理加_________________

昌祥田中间可以消去的彘相互抵消，将剩余的有限'

崖”1项相加，得到数列的前〃项和_______________

3.【基础型】已知数列｛叫满足6=1,且《,(1一247)=%_"1+2%).

⑴证明：数列一•是等差数列；⑵求｛4｝的通项公式；

⑶设勿数列出｝的前〃项和为人证明：

【详解】(1)证明：因为4=1,4(1-勿向)=4用(1+为3所以4一%=4%,用，

则色卫曰=4,即」-一2=4,所以是以工=1为首项，4为公差的等差数列.

(2)由(1)知，=1+4(〃-1)=4〃-3,所以q=―--.

凡4〃-3

.1\(\Is

(3)证明：因为b=4,4+[=y--T7~-T=~~~一~~.

(4〃-3)(4〃+1)414〃-34〃+1,

T111

lifr以/„=+・・・+6Z6/.=-------1--------F・・・+------------------

〃「以"122匕一讨1x55x94〃-34〃+1

11I1

i---+---Xn

559+.43+4因为所以

4T4/?<4〃+1J4〃+14n+l

r

4.【根式型】记，工分别为数列｛勺｝，也｝的前〃项和,已知9s.=12…Z+4,且[

2瓦+7^7•

⑴求｛q｝的通项公式；

(2)证明：27；,>72-1.

【详解】(1)因为9s.=12。”—4”"+4①，

2

当〃=1时，9S1=9(71=12«,-4+4,解得q=4.

当〃22时，9S/7T=12，•-4"+4②，

由①一②得9%=12%-12%「3、4”，即4=41+4"，所以患+1.

所以数列松）是首项为今=｝1，公差为I的等差数列，则a=l+（〃-l）xl=〃，所以%=加4".

⑵由⑴可知32,4+j（〃+l）4「2所［内）内内一河

>

从而Tn=3［（^-1）+（百-应）+~+（"+1-6）］=；（4〃+1-1卜

因为“eN”,J/?+1年4用递增,则2毒=J〃+1—12>/1+1—1=1.

5.【指数型】已知数列｛%｝满足。=2,。向=2q—1.

Q-J

⑴求也｝的通项公式；（2）设也=,求数歹ij｛"｝的前〃项和，.

anan¥\

【详解】⑴由。川=2牝一1,变形可得。7一1=2（4-1）

因为4-1=2-1=1,所以数列加-1｝是以1为首项、2为公比的等比数列，

故%—1=1X2"T=2M,即％=2日+1.

（2）因为"二巴二L由（1）知凡=2小+1,〃”讨=2"+1

所以〃一2一（2、卜（2F）,।___匚

"（2n-,+l）（2n+l）（2n-,+l）（2w+l）2w-'+l2”+1

故刀,二b\+力,+,,•+/?=f—r---------r-［+｛—j---------7-［+…+J--------------=-----------

n*-"（2°+12'+lJ（）+122+lJUZ,-,+12”+U22"+l

6.记S“为数列｛《,｝的前〃项和，已知3s.=4/一3〃.

⑴求。“；（2）设求数列也｝的前〃项和小

anan+l

【详解】（1）令〃=1时，35,=46,-3,即得4=3,

〃22时，3Sa=4%-3〃①，35,,..=4«„.,-3（/?-1）@,

由①-②得，4=4%+3,

乂由4+1=4&T+1），乂•••4=3,4+1=4,所以数列血+1｝是以4为首项，公比为4的等比数歹U，

所以4+l=4"T（q+l）=4”，q=4”—l；

.4"_\（\1）

（2）因为“-（4"_1）（4向_1）一三14"一1一4向一1,

/if111111Ifl\\

所以「=b[+A+...+b=――：---------w------卜—；---------7—+........+-------------——=----------：—.

“12"3U-142-142-145-14"-14n+l-lJ3(34rt+1-lJ

A噩型03错位相减法求和

技法指导

利用错位相减法求和的基本流程

:第一步卜d展开£=%也+&2»2+…+%.]也.|+a“也①)

:第二步H乘公比＜7S”=a】•%+a2•A+…+册T心+%•6+】②)

______________________________

:第三步卜错位相减②得(]_,/)5=%.“+(/色+4+…+

4)-4也+】

国工」c_%也+4％-4+…+4)-%也+]

第四步广求和s=----------------------

7.(2025.新课标1卷T16)设数列｛〃“｝满足6=3,也=劣十7二

(，n〃+ln(n+1)

(1)证明：｛〃&｝为等差数列；

2m

(2)设/(x)=axx+a2x+L+amx,求f(-2).

【解题指导】(1)空=热+而%化简一＞(〃+1)4用-〃4,=1一＞卜4｝为等差数列

(2)求｛q｝的通项公式一＞代入函数并求导一＞错位相减求和一导函数表达式一/'(-2)

【解】(1)由题意证明如下，〃eN,

,、a.a1

在数列｛4｝中，％=3,寸n+,K而切

・・・(〃+1”,用="+1.

即(〃+i)q用-叼=1,

・•・｛〃%｝是以6=3为首项，1为公差的等差数列.

(2)第一步：根据(1)得到数列卜以“｝的通项

由题意及(1)得，

在数列卜?｝中，首项为3,公差为1,

2

/.nan=3+lx(w-l),即〃“=1+二，

第二步：求出函数〃x)的导函数/'(x)

2n，

在f(x)=alx+a2x+•••+amx中，

/(x)=3x+2/+…+(1+、卜，

/'(X)=3+4x+…+(〃2+

第三步：利用错位相减法求和

./'(X)=3+4x+•♦•+(m+2)xm-'

•,xf(.r)=3x+4x2+•••+(m+2)x,n

当hw1且x¥0时，

，(17),3=3+,+*2+…+-_(利+2)£"=3+、(I)——(〃]+2)乂”，

1.1

3「(I-/")(加+2)/"

・•・f'⑴1-J(ifI

【易错提醒】用错位相减法求和时，应注意:

⑴等比数列的公比为负数的情形；（2）作差后所得等比数列的项数；（3）最后一项的符号.

第四步；代入工=-2,求/'（—2）

.心-3川一（一2门（m+2）（一2『

,・“㈠-中口一（一2）了H^F

_］产）［1-（-2rlW+2）（W

93

2(-2)'”(,〃+2)(-2广

=]———―II

993

_7（3rn+7）（-2）m

99

8.12025•陕西汉中•模拟预测）设正项数列｛〃.｝的前〃项和为5.，且川=4S,「1（〃£N）%=1.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

⑵已知”=母，求数列也｝的前〃项和的取值范围.

【解】（1）由/。向=4S”-1得，%m=4Sz-l,〃N2,

两式作差得q,4向--4=46,〃22,

因数列M为正项数列，则q川一=4,〃之2,

令〃=1,则4%=45-1,则a2=3,

则数列｛4｝的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列,

故"为奇数时，（=1+（等-1卜4=2〃-1,

数列｛4｝的偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列,

故〃为偶数时，q=3+■^-ljx4=2n-l,

综上，数歹U｛4｝的通项公式为%=2〃-1(〃eN)；

(2)由(1)可得，>吟=浮

Ia52〃一1

设数列间的前〃项和为0,则工=；」2》」j~ir

11352n-1

则5北=尹+^r+^r+…+2〃十|

两式作差得，=/+]+*+…+/?一嗫J

2n-\32n+3

=1+2_2：，则-—爷

21-1

2

2/24-3C-.2〃+52"12/?+5,

,则HI*■=——：------=-------<1,

2"%2n+,2/任322/7+3

则数列匕｝为递减数列，且q=g,

2〃+3«|,故乙

则0<e

TTH,

故数列也｝的前〃项和的取值范闱为p3l.

1.12024•全国甲卷T17)已知等比数列｛〃“｝的前〃项和为S”，且2s〃=3/.「3

⑴求｛q｝的通项公式;

⑵求数列⑸｝的前〃项和.

【解】(1)因为2s.=3勺+/3,故2S—,

所以%,=3。旬一3%(〃>2)即5。“=3aM故等比数歹ij的公比为4=g，

\W-1

故2q=3%-3=3“X：-3=54-3,故〃1=1,故〃“=5

3J

lx1-pY

（2）由等比数列求和公式得s」=3⑶"_3,

"1_22⑴2

3

所以数列｛SJ的前〃项和

…+S2+…+s.\]|卜图+图+…+图j

313人[3）J315<5Y315

-------/、——--n=———n-------

2「⑶24⑶24

一⑴

2.（2025•重庆三模）已知S.为数列｛q｝的前〃项和，且满足S“+〃=2《，〃wN.

⑴求证:数列｛4+1｝是等比数列;

1Q

⑵若4=丁二一，记。为数列｛4｝的前〃项和，求满足不等式?；＜三的〃的最大值.

【解】（1）当〃=1时，&+1=26，解得：6=1.

当。之2时,5“=24-〃，

所以a“=S"一S"T=2〃”一〃一23_|+〃-1,即/=24_[+1,

所以4+1=〃_]+2=2（4一|+1）

+1,、

所以广万=2,所以数歹£4+”是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）可知数列｛4+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

所以凡+1=2”,所以%=2”-1,

2"_2"=1______1

-（2n-l）-（2n+,-l）~F^T-2n+,-l

7；"+H+&+…+2=±-七十七

II

21—j2n+,「一去T

13113

所以时，BP1--所以2川＜15,所以〃的最大值为2.

142—114

3.12024全国甲卷数学（理））记S.为数列｛《,｝的前〃项和，且4st=3%+4.

⑴求｛q｝的通项公式；

（2）设以=（-1严叫,求数列也｝的前〃项和为4.

【解】（1）当〃=1时，4sl=44=34+4,解得4=4.当〃22时，4sl=3勺_]+4,所以

4s£-4SM=4%=34-3aM即=-3%,而％=4=0,故《尸。，故.二一3,

an-l

・•・数列｛4｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以q=4・（-3广.

（2）2=（一1）",小4•（-3）“T=4”.3i,所以7；=4+/+/+...+%=4・3°+8夕+12・32+…+4〃,3"T故

37；=4-3,+8-32+12-33+--+4n-3n所以一27；=4+43+4了+…+43-一4〃-3”

=4+4・^^-4小3”=4+2-3・（3小_1）-4〃・3"=（2-4〃）・3"-2,?.7；,=（2w-l）-3M+1.

4.已知各项都是正数的数列依｝,其前〃项和为S.，％=1,且S“—底二（q+l，'"T）.

<、L,-I11c

⑴求｛凡｝的通项公式；（2）若6,=疯+向7，求证：彳+1+…+f=3.

【详解】（1）由题意得4S,「4S=*—1,

所以QS-l『=a3又数列｛%｝是各项都是正数的数列，《甘，

所以2后一1=%,4S.=m+l）2,

当〃22时，有4S〃-4s“|=4a„=a；+2%-%-2an-\，

所以2m+%）=。：-吮=（4+%）（4-%），

所以&-勺_1=2,故数列｛4｝是I为首项，2为公差的等差数列，所以4=2〃-1.1

（2）由（I）得〃,=J2〃-1+J2〃+1,

所以;=F-/一万；=|（，2〃+1-V2/1-1）,

bn-1+J2〃+12

111111

所以—+1■・・•+=-7=产4—产尸+・••H—1—

44%右+JT5+J5屈+历

裂项得:（石—石）+…+：（如一历）=:（如一价）=3,证毕.

2222

5.12025•山东临沂二模）已知正项数列｛q｝的前〃项和为S.,对任意〃cN"点（〃JogMf）在过原点且与直

线.x+y-2=0垂直的直线上.数列出｝的前〃项和为小且

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

（2）证明：数列也｝是等差数列；

⑶若c"=誓〜求数列卜“｝的前〃项和.

【解】（1）与直线x+丁-2=0垂直的直线斜率为1,过原点且与直线工+）」2二0垂直的直线为y=x,

又因为点(〃,iog34)在直线y=不上，所以1叫巴=，?，所以=3”；

(2)数列低｝的前〃项和为小且。=，，2+”，

当〃N2时，％=(=〃2+〃1)21)=2〃，

当〃=1时，4=7；=『+1=2,符合上式，所以勿=2〃，

又因为瓦+「％=2（〃+1）-2〃=2,

所以数列也｝是等系数列

n+,n>l

⑶因为S―书i-3屋=彳上-3，所以q=争2〃3%-23=〃（/31、）,

设数列匕｝的前〃项和为纥，

,23rt

B（I=（3-l）+2（3-l）+3（3-l）+...+n（3-l）,

所以纥=3i+2x32+3x33+―+”x3"+［（—l）+（—2）+（—3）+~+（—〃）］,

所以优二夕十2入32十3K33十~十〃〉：3”一山纪1,

2

设8=31+2x32+3x3'，+…+〃x3”，

3B=32+2X33+3X34+...+WX3M#,,

所以-24=3+1x32+2x3'+…+1x3”—〃x3"”，

7

所以坊=(+3向

6.(2026•浙江宁波•二模)已知数列｛〃.｝中，4=。，2az-q=2〃+3.

⑴令勿=。“-2〃+1,求证:数列出｝是等比数列：

⑵求数列几｝的前〃项和S”.

【解】3)因为％=0，勿=4-2〃+1,所以4=%-2+1二-1,

再由蛆=〃”♦「2(〃+1)+1=%M二2〃二

bnatl-2n+\an-2n+\

因为2%-4=2〃+3,所以％="“+"，代入上式得：空=；,

乙乙4乙

所以数列也｝是以-1为首项，3为公比的等比数列:

1

z(i.y

(2)由(1)可得：bn-an-2zz+1=(-1)x—I=>an=2n-\--I»

3鸣。+3针5仔…+g)M

=2+5+…+伽力固+(升百+.，+()「

=(—)〃_」」2"—七『

2),1⑴

2

7.记S“为数列｛4｝的前〃项和，已知3s.二44-3〃.

⑴求勺；(2)设2=汽比,求数列也｝的前〃项和二.

anait¥\

【详解】(1)令〃=1时，35,=4c,-3,即得q=3,

〃22时，3s”=4%-3〃①，35W,1=4«M_1-3(/Z-1)(2),

由①■②得，4=4%+3,

又由4+1=4(4I+1),又•.•q=3,q+l=4,所以数列｛《+1｝是以4为首项，公比为4的等比数歹U，

所以4+1=4"7①+1)=4"，勺=4"-1；

4"J(I1、

⑵因为«--3V4rt-l4n+,-l>,

RR入«11111IIfl1A

“12”3(<4-I42-142-145-14n-l4n+l-l)3(34n+,-lJ

cc1

8.(2026・河北保定•一模)已知数列｛&｝的前〃项和为S”，且q=l,2一义t=

〃+1n2

⑴求S.

,/八”2〃+1,、

⑵若2=(-1)丁丁，求数列低｝的前〃项和.

qqi

【解】(1)因为——且4=1,

/2+1n2

可知数列是以首项为字=1,公差为5的等差数列，

In12

则41+；(〃—)=等，所以S,=当W.

(2)由(1)可知：S”=M竺D,

2

1)

当心2时，则4=S“-Sz

2

且4=1符合上式，所以q=〃

\1、

,—+----

可得"㈠"篙Hf"耦T㈠)"\nn+\J

设数列｛"｝的前〃项和为

所以数列也｝的前〃项和为-1+七11.

71+1

9.（2026・陕西榆林•模拟预测）已知等差数列｛q｝的前〃项和为黑，且生=9,邑=30.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵求数列■：的前〃项和;

11111

(3)证明：77+T+T+，"+-^-<7­

°1°2102"乙

4+2d=9,

【解】（1）设等差数列｛凡｝的公差为乩由题意可知

4。1+6d=30,

解得4=3,4=3,故凡=4+{n-Y)d=3n.

/-、i-、rc〃(3+3〃)3,,、2

。)由(I)得S“=-------=-n(n+1),所以言=

3〃(〃+l)1（；-马

数列｛不1｝的前〃项和为2可（1

JI

122

⑶由⑵知厂诉,后其中，〜段”,

当心2时，币1+1司+11+15+…+欧\<32(匕\+钎\吩\+*\+…+声\1\

当e时，

1J

S,S23992

1111I1

综上所述，7-+V+T+V+，，，+^-<9•

D|D2\%Q〃L

a

10.(2025•江西宜春•模拟预测)已知数列｛q｝满足4=5，a2=-|,+3a”=4%…

(1)证明：数列k%-必｝为等比数列；

(2)求｛《,｝的通项公式；

⑶记2=2例+1,数列*的前八项和为S"，证明：^-<SZI<1.

［她用J168

【解】(1)由。2+3凡=4。川，得凡,2-47=34“一34=3(。,』一凡)，

|33I

又《=/，4=5，所以。2-4=5-5=1。。，

所以〜一。,产0，产—=3，

a^\~an

即｛&'「6｝是以1为首项，3为公比的等比数列；

(2)由⑴知%+「勺=1x31=3"”,

当〃32时，q=(q_q_J+(qT_q_2)+(q_2_q_3)+_+(a2-q)+q

°11-3""I3'i

=32+33+34HF3+—=-----F—=.

21-322

当〃=1时，％=之;也成立，所以｛凡｝的通项公式为二；

由

3✓2得3Tn

)X(=+=+

1

+r_i_____

4-!_)=里__r!t_]

3n-1+1-y+11=412-3+l)

显然｛Sj是递增数列，所以S.N4=j

lo

因为a'i所以S”<Jx；=:,所以白

3+14ZoIOo

11.(2026•河南开封•模拟预测)已知函数/(x)=2*+2x.

(1)若数列4=/(〃)，求数列｛4｝的前〃项和S.；

(2)已知函数/(“在x=〃(〃wN)处的切线为直线/“，直线/“在y轴上的截距为2，求数列｛"｝的前〃项和

【解】(1)因为a”=2"+2〃，所以S”=21+2?+2’4-F2"+2x(1+2+3+…〃)

=止巧+2乂01叨=*-2+〃2+〃.

1-22

(2)/z(.r)=2'ln2+2,

宜.线乙的方程为），—2”—2〃=（2”1112+2乂工—“），

令工=0,

得