不等式选讲（解析版）

专题21不等式选讲

I.【2022年全国甲卷】已知a,b,c均为正数，且小+匕2+4c?=3,证明：

(l)a+b+2c<3；

(2)若b=2c,M-a+-c>3.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据M+匕2+4c2=a2+b2+(2c)2,利用柯西不等式即可得证；

(2)由(1)结合已知可得0VQ+4CW3,即可得到*Ng再根据权方和不等式即可得

a+4c3

iiF.

(I)

证明：由柯西不等式有储+/+(2c)2](M+#+M)2(0+b+2c)2,

所以Q+b+2cW3,

当且仅当Q=b=2c=l时，取等号，

所以a+b+2cW3：

(2)

证明：因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+b+2c=a+4cW3,

即0Va+4cW3,所以」2

a+4c3

由权方和不等式知L+-=-+->创空=—>3,

aca4ca+4ca+4c

当且仅当即a=l,c=?时取等号，

a4c2

所以三+223.

ac

2.【2022年全国乙卷】己知a,〃，c都是正数，且廉+/4+2=1，证明：

⑴abc</

'b+ca+ca+b2\'abc'

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)利用三元均值不等式即可证明；

(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可.

(1)

证明：因为Q>0,b>0,c>0,则QT>O，b2>0»cz>0»

333

---

222

>

-

-

即所以。儿4当且仅当温=廉=日，即a=b=c=小时取等号.

Q)

讦明：因为a>0,b>0,c>0,

所以6+cZ2\/^,a+c>2>fac,a+b>2yfabf

333

应)

f/Ia.a,—，bb，ZZb2/—，c/c।.Z=c2,—

b+c_2\[bc27abea+c_2Vac2^abca+b-14ab2>!abc

33333

-----

br+b+

ac2o2a22c21

++-<+

+d而

+ca+cQ2aa2A

be/Jc/)cva

当且仅当Q=b=C时取等号.

(2)若〃x+a)3g(x),求4的取值范围.

【答案】（1）图像见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将），=/（“向左平移可满足同角，求得过

A（g，4）时a的值可求.

【详解】

2-x,x<2

(I)可得/(工)=卜-2|=<画出图像如下:

x-2,x>2

y

如图，在同一个坐标系里画出/(x),g(x)图像，

尸〃…)是＞•=/(X)平移了H个单位得到,

则要使f(x+a)2g(X)，需将y=/(x)向左平移，即"。，

当)，=/(i)过A(别时，|”一2|=4,解得〃或一|(舍去),

则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移？•个单位，.•.〃之子.

关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

4.【2021年乙卷文科】已知函数/(1)=卜一。|+k+3|.

(1)当4=1时，求不等式/(耳26的解集;

(2)若f(%)>-*求。拘取值范围.

【答案】(1)(FT]U[2,e).⑵信，”)•

【解析】

【分析】

(1)利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

(2)利用绝对值不等式化简由此求得。的取值范围.

【详解】

(1)[方法一]:绝对值的几何意义法

当〃=1时，/(刈=|大一1|+及+3|,|x-l|+|x+3|表示数轴上的点到1和—3的距离之和，

则/(A)>6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小T-6,

当x=-4或x=2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,

・••数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或

x>2,

所以/(X)26的解集为

[方法二]【最优解工零点分段求解法

当a=l时,/(x)=|x-l|+|x+3|.

当xK—3时，(l-x)+(-x-3)>6,解得xM-4；

当一3。<1时，(l-x)+(x+3)>6,无解;

当彳21时，(X—D+(X+3]26,解得x22.

综上,1工一1|+1工+3m6的解集为(-OO,-4]U[2,+OO).

(2)[方法一]:绝对值不等式的性质法求最小值

依题意/(")>一a>即,一。|+,+3|>-a恒成立，

|x-fl|+|A'+3|=k/-乂+|工+3121a+3],

当且仅当（〃-力（1+3）20时取等号，

・・•/（"*=k+3］,

故卜+3|>-々，

所以〃+3>-a或〃+3<々，

3

解得〃）——-

所以〃的取值范围是（一|M）.

［方法二］【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由lx-是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得/*）=|x-a|+|x+3以a+3］,

故1。+3|>-%下同解法一.

［方法三］:分类讨论+分段函数法

当aW-3时，

-2.r+«-3,x<«,

f（x）=-a-3,a<x<-3,

2x-a+3,x>-3,

则"（X）】min=-"3,此时-a-3>-a,无解.

当4>一3时，

—2.x+a-3,x<—3,

f（A）="a+3,-3<x<a,

2x-a+3,x>a,

3

贝U"（x）】min=a+3,此时，由。+3>-。得，«>-1.

3

综上，a的取值范围为a>-

［方法四］:函数图象法解不等式

由方法一求得/（1）偷=|々+3|后，构造两个函数）T。+3|和产

—ci-3,av—3,

即尸和）'『

a+3,«>-3

（33

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点”

1//

3

由图易知1。+3|>-”，贝

【整体点评】

(1)解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法.

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

(2)方法一，利用绝对值不等式的性质求得了(x)“由=|。+3],利用不等式恒成立的意义得

到关寸-a的小等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得外力的最小值，最有简洁快速，为最

优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求/(力最小值，要注意函数/(x)中

的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

力法四与方法一的不|可在于得到困数/(x)的最小值后，构造关于”的函数，利用数形结合

思想求解关于〃的不等式.

5.【2020年新课标1卷理科】已知函数/a)W3x+l|-2|Al|.

(1)画出)，=/(©的图像；

(2)求不等式/(x)>/(x+D的解集.

.(7

【答案】(1)详解解析；(2)

6

【解析】

【分析】

(1)根据分段讨论法，即可写出函数〃力的解析式，作出图象;

(2)作出函数/(x+1)的图象，根据图象即可解出.

【详解】

x+3,x>1

(1)因为/(x)=，5x-l,-1<X<1,作出图象，如图所示:

-x-3,x<——

3

(2)将函数/(x)的图象向左平移1个单位，可得函数/(1+1)的图象，如图所示:

【点睛】

本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力,

属于基础题.

6.【2020年新课标2卷理科】已知函数八幻=卜一/卜次一加+”.

(1)当"2时,求不等式“力"的解集;

(2)若求。的取值范围.

3ii

【答案】(1)(2)(^O,-1]U[3,-KX>).

【解析】

【分析】

(1)分另U在x《3、3cx<4和X"三种情况下解不等式求得结果；

(2)利用绝对值三角不等式可得到1『，由此构造不等式求得结果.

【详解】

(1)当4=2时，/(x)=|x-4|+|x-3|.

当xW3时，/(x)=4-x+3-x=7-2x>4,解得：

当3cx<4时，/(x)=4-x+x-3=1>4,无解：

当xN4时，/(x)=x-4+x-3=2x-7>4,解得：x>^-：

综上所述：/(力24的解集为[出■!或让装}.

(2)/(x)=|x-«2|+|x-2«+l|>|(x-a2)-(x-2a+l)|=|-tr4-2t/-l|=(i/-l)2(当旦仅当

2a-lWxW/时取等号)，

/.(«-1)2>4,解得：a<-\,

的取值范围为(f,T]U[3,e).

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

7.【2020年新课标3卷理科】设a,b,c£R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明：ab+bc+ca<^

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明：max(a,h,c}>^4.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)方法一：由(4+〃+C)-+〃2+C、2+2z7/?+2〃C+2/?C=()结合不等式的性质，即可得出

证明；

(2)方法一：不妨设max{a,Z?,c}=a,a+b+c-O.abc-\,所以a>0,〃v0,cv0,

a=(-b)+(-c)>2s/bc=2^,贝之4,0之正.故原不等式成立.

【详解】

(1)［方法一］【最优解I通性通法

(a+b+cj=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,

ab+bc+ca=-g(cJ+〃+c?).

•.•。/^=1,「.4〃,。均不为0,则/+/+o2>0,ab+bc+ca=-^a2+b~+c2^<0.

［方法二］:消元法

由a+b+c=0得8=-(〃+c),则aZ?+Z?c+c〃=Z?(a+c)+ca=-(«+c)+ac=~(«2+ac-c2)

=一(4+5)一(/«°'当且仅当4=匕=C=0时取等号,

又abc=1,所以，力+丘+。7<0.

［方法三］:放缩法

方式1：由题意知〃工。,a+〃+c=0,。=一(。+8)，/=(c+/j)2=《2+〃+2仍24/纪，乂

ab4-be+ca=a(b+c)+be=-2+be<-a2+—=-—<0,故结•论得证.

a44

方式2：因为a+〃+c=0：

所以0=(a+Z?+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+lea

=g[R2+/)+(〃+。2)+卜2+/)]+2必+2bc+2ca

>lab4-2bc+2ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+be+ca).

即R?+Z?c+ca«0,当且仅当a=/，=c=0时取等号，

又abc=1,所以必+/记+。7<0.

［方法四］:

因为〃+"c=0"a=1,所以〃，4c必有两个负数和•个正数,

彳：妨设。工人<。<G贝ij。=一(〃+c),々力+=人。+〃(c+〃)=be-a2<0.

[方法五]:利用函数的性质

方式1：6/?=-(a+c),f(^c)=ab+bc+ca=-c2-ac-a2,

二次函数对应的图像开II向下，又abc=l,所以。工0,

判别式△=/—=—3a2<0»无根，

所以f(c“)<。，即而+A+ca<0.

方式2：设=+(ab+bc+ca)x-lt

则/(x)有a，b,c三个零点，若ab+bc+ca>0,

则/(丫)为R上的增函数，不可能有三个零点，

所以必+仪、+圆<0.

(2)［方法一］【最优解】：通性通法

不妨设max{«/?,(?}=。，因为4+〃+。=0,。〃。=1,所以“〉0,〃<0,cvO,

«=(-/?)+(-c)>2>/bc=2p,

贝Ue?之4M之也.故原不等式成立.

［方法二］:

b+c=-a,

不妨设max{a,Z;,c}=。，因为a+/?+c=0,a〃c=1,所以”>0,且，|

be=一,

a

则关于x的方程,d+ai+LuO有两根，其判别式△=/-±20,即*福.

故原不等式成立.

［方法三］:

2

不妨设max{a,b,c}=〃，则。>0,〃=-(a+c),=1,-(«+c)ac=1,a(r+ac+l=0,关于c

的方程有解，判别式△=(/)2_420,则/"壮指.故原不等式成立.

［方法四］:反证法

假设max{。,瓦c}〈孤,不妨令a"v0v而,则而=}>3，-a-3=c〈狎,又

/>一。一心2而,砺2=21不1=也，矛盾，故假设不成立.即max{“Ac}2返，命题得

证.

【整体点评】

(1)方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本

题的通性通法，也是最优解法：方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出：方

法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函

数的性质证出.

(2)方法「利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解：

方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出：方法三：利用消

元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出.

8.【2019年新课标1卷理科】已知a,b,c为正数，且满足。氏-1.证明：

(1)—H+-W，/+C'2;

abc

(2){a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)利用〃利=1将所证不等式可变为证明：/+，+c.2之加.+〃,十处,利用基本不等式可

证得2(/+/+02)22"+2"：+24，从而得到结论；(2)利用基本不等式可得

(a+b)y+(b+c)3+(c+a)y>3(a+b)(b+c)(c+a),再次利用基本不等式可将式转化为

(“+4+传+4+(c+心24J(Me)」,在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】

(1)•/abc=1，一+—+—=—+—+—•abc=bc+ac+ab

ahcbc)

'；2(£Z24-Z?2+C2)=卜J++/)22ab+2bc+lac

当且仅当。=。=。时取等号

/.2(«2+Z?2+c2)>2f—+-+-,即：A2+Z72+c2>—+-+-

''\abc)abc

(2)++(〃+/+>3(〃+/>)(/7+d)(d+〃).当且仅当时取等号

乂a+bN2&i^,h+c>2\/bc,a-\-c>14ac(当且仅当。=匕=。时等号同时.成立)

(d+/?)3+(/?+c)3+(c+a)’>3x2y/abx2\fhcx2\[ac=24^(«Z?c)2

乂abc=1「.(a+Z?)?+(Z?+c)，+(c+a)'>24

【点睛】

本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和故用能

力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

9.【2019年新课标2卷理科】^f(x)=\x-a\x+\x-2\(x-a).

(1)当〃=1时，求不等式/(X)<0的解集；

(2)若xe(Yo』)时，/(.r)<0,求。的取值范围.

【答案】(1)(,/)；⑵[1,4-00)

【解析】

【分析】

(1)根据。=1,将原不等式化为1工一1"十以一2|。-1)<0,分别讨论工<1,1«不<2,x>2

三种情况，即可求出结果；

(2)分别讨论。之1和。<1两种情况,即可得出结果.

【详解】

(1)当。=1时，原木等式川化为1工一1|%+11一2|。-1)<0；

当xvl时,原不等式可化为(1-幻1+(2-幻"-1)<0,即(1)2>0,显然成立，

此时解集为(3」)：

当14x<2时，原不等式可化为l)x+(2-x)(x—1)<。，解得xvl,此时解集为空集；

当XN2时，原不等式可化为(x-l)x+(x-2)(x-l)<0,[!|J(X-1)2<0,显然不成立；此时解

集为空集；

综上，原不等式的解集为

(2)当时，因为XW(YO,1),所以由f(x)<0可得3-x)x+(2-x)(x-a)v0,

BP(x-t/)(x-I)>0,显然恒成立；所以〃之1满足题意；

当"1时，=，因为时，/(幻<°显然不能成立，所以

2(x-a)(\-x\x<a

不满足题意；

综上，。的取值范围是口,一).

【点睛】

本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

10.【2019年新课标3卷理科】设x,y,z€R,且x+y+z=1.

(1)求(x-+()，+1)2+(z+1尸的最小值；

(2)^(x-2)2+(.y-l)2+(z-«)2>-证明：cT-3或c/N-l.

4

【答案】(1)］；(2)见详解.

【解析】

【分析】

⑴根据条件x+y+z=i,和柯西不等式得到(X-I)2+G，+I)2+(Z+I)22；再讨论xy，z是否

可以达到等号成立的条件(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式,

便可得到参数。的取值范围.

【详解】

(1)[3—1)2+(,+1)2+(2+1)2](|2+12+[2)之["—1)+()，+1)+(2+1)/=(彳+,+2+1)2=4故

(x—l)2+(y+l)2+(z+l)22g等号成立当且仅当x—l=)，+l=z+l而又因X+)，+Z=l,解得

•y=-；时等号成立

1

Z=—

3

4

所以1)2+(＞，+1)2+(Z+I)2的最小值为-.

因为0—2)2+()，一|)2+(Z—4)2所以[a—2)2+(y-l)2+(z—a)2](12+i2+/)2]

£+2

x=2—

根据柯西不等式等号成立条件，当x-2=y-l=z-〃即，y=1——时有

4+2

l(x-2)2+(y-1)2+(Z-6/)2J(l2+12+]2)=(X-2+)，-1+z-4=(a+2)2成立.

所以(a+2)221成立，所以有或.

【点睛】

两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.

11.【2018年新课标1卷理科】已知f(x)=k+l卜麻-1|.

(1)当。=1时，求不等式〃力>1的解集;

(2)若工«0』)时不等式/(X)八成立，求〃的取值范围.

【答案】(1)7%>小；(2)(0,2]

【解析】

【详解】

分析：(1)将〃=1代入函数解析式，求得〃力=卜+1卜归-1|,利用零点分段将解析式化为

—2,x<—1,

/(X)=«2X,-1<A<L,然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为

2,x>1.

卜㈤卯

⑵根据题中所给的xw(0,l),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式/(x)>x可以化为

%W(0,1)时卬Tv1,分情况讨论即可求得结果.

详解：（1）当4=1时，/（x）=|x4-l|-|x-l|,即/（力=2尤-

2,x>1.

故不等式的解集为卜㈤,.

(2)当xe(O,l)时k+lH^-Qx成立等价于当工4°，1)时卬T<1成立.

若a«0.则当xw(O,l)时|以一1|21；

29

若a>(),|以-l|vl的解集为0vx<7所以,21,故0<〃4