2026年广东省广州市二模九年级数学模拟试卷（试卷+解析）

2026年中考数学广州二模模拟试卷

九年级数学

（满分120分，完卷时间120分钟）

一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分）

1.计算一2+3的结果为（）

A.-5B.-1C.1D.5

2.2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的

长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序.鹊桥二号中继星成功减速并进

入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功.请你把数据440万用科学记数法表示为（）

A.440xlO4B.44xl05C.4.4xlO6D.0.44xlO7

3.在①②（一*3；③在+/④（叫2中，计算结果为小的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

4.中国初创企业“深度求索”公司，其自主研发的人工智能（血）大语言模型OeepSeeh凭借“好用、

开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响.OeepSe或公司记录了7名々工程师在某项任

务中编写代码的行数，数据如下：20,25,25,30,35,40,45,则这组数据的中位数、众数和

平均数分别是（）

A.30,25,30B.35,25,31.4C.30,25,31.4D.25,30,35

5.如图，在V48C中，E分别是力民4C的中点，点b是上的一点，且BF=DE=5cm,UMCF

的长是（）

F

A.5cmB.4cmC.4.5cmD.5.5cm

6.如图，的半径为2,直径48、CO互相垂直，则弧5c的长是（）

c

Tin

A.-B.-C.71D.2兀

42

7.将多项式^一2一分解因式，结果为（）

A.x(x+l)2B.X(X2-2X)

C.x2(x-2)+xD.x(x-l)~

8.体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了1分钟，设

小亮的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）

15001500,15001500,八

A.=-------+1B.=60

1.25xxx1.25x

15001500।15001500/八

C.=1D.=60

x\.25x1.25xx

9.如图，等边V48C的顶点力，4分别在函数y=-3图象的两个分支上，且月B经过原点0.当点4在

x

3k

函数y二一一的图象上移动时，顶点C始终在函数歹二一的图象上移动，则人的值为（)

A.6B.9c.2GD.373

10.若函数必的图象上存在点尸，函数必的图象上存在点。，且尸、。关于V轴对称，则称函数乂和8

具有“对偶关系”，此时点P或点。的纵坐标称为“对偶值”.下列结论：

①函数必=2x+3与函数外=一1+1不具有“对偶关系”；

②函数M=2x+3与函数％=T+1的“对偶值”为一1：

③若1是函数乂二丘+3与函数%=4的“对偶值”，则女二2：

A

④若函数必=-2x+b（-2〈x«-l）与函数必=1（x>0）具有“对偶关系”，则

.XZ

其中正确的是（）

A.©@B,②③C.①③④D.②③©

二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

II.化简|兀-3.2|=.

2x

12.在函数y=；•中，自变量》的取值范围是______.

3x-2

13.“如果痴=&・扬，那么。20,人20”的逆命题为：.

14.如图，在五边形力8c0E中，点M,N分别在边力8,4E上.若Nl+N2=110。，则

NB+NC+ND+ZE的度数为

15.如图，45与。。相切于点6,连接8。，过点。作80的垂线OC,交。。于点C,连接4C,交线

段。8于点Q.若力8=3,。。=2,则tan4的值为

16.如图，在平行四边形/8CZ）中，48=2,8C=3,N4BC=60。，点P为射线力。上一动点，连接

8P,点M、N分别为直线4。，4c上的点，且垂直平分8尸，若=1,则线段。尸的长为

AMPD

B

NC

三、解答题（本大题共9题，满分72分）

17.计算：而-2cos45。+（-）-（7T-1）0

3

1、

18.先化简，再求值:其中x=3.

x+2,x2-2x+l

19.矩形/8CQ中，石是力。的中点，延长CE,BA交于点、F,连接4C,DF.

（1）求证：四边形尸是平行四边形.

（2）当C/平分N8C。时，求记：BC=2CD.

20.某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价哨售，销售额为2400元，为扩大销量，减

少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元.

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利泡是多少

元？

21.2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中

小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业

的青少年群体.某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3。打印”“航模”“机器人”“无人机”

共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）.为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分

学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

计划参加四类科技社团人数的条形统计图计划参加四类科技社团人数的扇形统计将

1人数

5-

.IIIIILI।J>

3D打印航模机器人无人机社团

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为,并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）

（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议.

22.已知43是OO的直径，点C。是半圆。的二等分点.连接力C,DO.

（1）如图①，求4月。。及乙4的大小；

（2）如图②，过点。作CFM8于点E交OO于点〃，若O。的半径为2.求。，的长.

23.为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法.

图1（利用影子）图2（利用镜子）图3（利用标杆）

（1）如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高。上，此时，小组同学测

得旗杆AB的影长BC为11.3“?，据此可得旗杆AB高度为m；

（2）如图2,小李站在操场上£点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部4小组同学测

得小李的眼睛距地面高度DE=L6m，小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=14m.据此

可得旗杆AB高度为m；

（3）如图3,小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部4小组

同学测得小王的眼睛距地面高度DE=1.8m,标杆Cb=5m，小王到标杆距离EF=2m,标杆到旗杆距

离FB=4m,求旗杆的高度.

24.已知二次函数歹=一；/+〃出+半〃/0）图象的顶点为力，与y轴交于点8,对称轴与x轴交于

点C.

（!）若该函数图象经过点（0,6）,求点4的横坐标；

⑵若加＜3,点网2,必）和0（4,必）在该函数图象上，证明：必;

（3）若V/8C是等腰三角形，求〃?的值.

25.某校数学活动小组在一次活动中.对一个数学问题作如下探究.

【问题发现】

(I)如图①，在等边，V4BC中，点P是边BC上一点,且BP=2,连接4尸，以4尸为边作等边

△,4P0,连接C。，求C。的长为；

【问题提出】

(2)如图②，在等腰，Y4BC中,AB=BC,点尸是边上任意一点，以4P为腰作等腰△4P0,

使AP=PQ,/APQ=/ABC,连接C。，求证：^ABC=^ACQ；

【问题解决】

(3)如图③，在正方形ADBC中，点P是边8c上一点，以AP为边作正方形APEF,点Q是正方形APEF

的对称中心，连接C。，若正方形4PEF的边长为6,。。=2后，求正方形4。8。的边长.

2026年中考数学广州二模模拟试卷

九年级数学

（满分120分，完卷时间120分钟）

一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分）

1.计算一2+3的结果为（）

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查有理数的加法运算.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用

较大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解.

【详解】解：-2+3=1,

故选：C.

2.2024年3月25日凌晨（）时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的

长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近片制动程序.鹊桥二号中继星成功减速并进

入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功.请你把数据440万用科学记数法表示为（）

A.440xlO4B.44x10、C.4.4xlO6D.0.44xlO7

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为QX10〃的形式，其中IWavlO,

〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【详解】解：440万即4400000,

.♦.4400000=4.4x1（）6,

故选：C.

3.在①/./；②（一叫3；③④中，计算结果为白6的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了同底数爆相乘（除），暴的乘方，

根据法则计算即可.同底数辕相乘，底数不变，指数相加；同底数晶相除，底数不变，指数相减；耗的乘

方，底数不变，指数相减.

【详解】因为〃4“2=/+2=〃6,（_/）3=_。6,〃2。。2=42-2=/0,（/）2=。6,计算结果为/的有

2个.

故选:B.

4.中国初创企业“深度求索”公司，其自主研发的人工智能（血）大语言模型。仪必W必,凭借“好用、

开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响.OcepSe或公司记录了7名々工程师在某项任

务中编写代码的行数，数据如下：20,25,25,30,35,40,45,则这组数据的中位数、众数和

平均数分别是（）

A.30,25,30B.35,25,31.4C.30,25,31.4D.25,30,35

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了中位数、众数和平均数，根据中位数和众数，平均数的概念，即可解答；一组数据中

出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两

数的平均数）是这组数据的中位数，平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.

【详解】解:这组数据的中位数为：30,众数为：25,平均数为：

20+25+25+30+35+40+45…

---------------------------«31.4,

7

故选：C.

5.如图，在V48c'中，D,E分别是力民力。的中点，点尸是上的一点，且8^=O£=5cm,则b

的长是（）

A.5cmB.4cmC.4.5cmD.5.5cm

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据。，E分别是力民4c的中点，得2OE=8C,结合

BF=DE=5cm,得C77=10-5=5(cm),即可作答.

【详解】解：•••。，E分别是力良，4c的中点，

・・・DE是V48C的中位线，

:.2DE=BC,

*.*BF=DE=5cm,

BC=1Ocm,

则CT7=10—5=5(cm),

故选：A

6.如图，。。的半径为2,直径48、CQ互相垂直，则弧死的长是()

7171-

A.-B.-C.兀D.2兀

42

【答案】C

【解析】

【分析［本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键.先利用直径力3、CO互相垂

直，得出NBOC=90。，再利用弧长公式计算即可.

【详解】解：•••直径43、CD互相垂直，

・•・/3。。=90。，

.一.r,lzB90兀x2

：•8c的长是［QA=71，

1Ov

故选：C.

7.将多项式/一2/+x分解因式，结果为()

A.x(x+l)3B.x(x2-2x)

C.X2(X-2)+XD.x(x-l)2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了因式分解，先提出公因式x,再根据完全平方公式分解即可.

【详解】解：原式=X（X?-2x+l）=X（X-1）2.

故选：D.

8.体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的L25倍，比小亮少用了1分钟，设

小亮的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（)

15001500,15001500/八

A.-------=-------+1B.----------------=60

1.25xxx1.25x

15001500।15001500

C.----------------=1D.----------------=60

x1.25%1.25xx

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，设小亮的速度是x米/秒，则小明的速度是1.25%米/秒，根据小明比

小亮少用了1分钟列方程即可.

【详解】解：由题意，得

15001500-、

------------=60.

x1.25x

故选B.

3

9.如图，等边V48C的顶点/,8分别在函数y=-一图象的两个分支上，且力8经过原点。.当点力在

x

)

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数图象的对称性可得。力二。8,设。力=x,则NC=2x,OC=&，根据等边

三角形三线合一可证明△/OESAO.,根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论.

3

【详解】解：,函数y二一一图象关于原点对称，

x

OA=OB,

连接OC,过4作轴于E,过C作b_Lx轴于产，

•••△N3C是等边三角形，

:.AO1OC,

.•.乙4。。=90。，4。。二30。，

.,ZOE+NCO产=90。，

设O4=x,则4C=2x,OC=瓜,

Q±xfill,CFJLx轴，

NAEO=ZOFC=ZAOE+ZOAE=90°,

ACOF=/LOAE,

/.4AOESAOCF,

...0J,

S^OCF<OCJ3

3

,J顶点A在函数y=—图象的两个分支上，

x

S“OE=5，

_9

,,,SdOCF=5，

•・•顶点C始终在函数y二人的图象上，

x

:.k=9,

故选：B.

本题考查了综合运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三角形的判定

与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题.

1（）.若函数乂的图象上存在点P,函数外的图象上存在点。，且尸、。关于V轴对称，则称函数必和外

具有“对偶关系”，此时点。或点。的纵坐标称为“对偶值”.下列结论：

①函数必=2x+3与函数%=一工+1不具有“对偶关系”；

②函数y=2x+3与函数%=一七+1的“对偶值”为-1；

③若1是函数乂二丘+3与函数%=’的“对偶值”，则〃=2：

x

④若函数%=-2工+"一2＜、4-1）与函数必=1（工＞0）具有“对偶关系”，则34/”1

.XZ

其中正确的是（）

A.①@B,②③C.①③④D.②③©

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可；

根据P、。关于y轴对称，称函数弘和为具有“对偶关系”，则。、。横坐标是相反数关系，纵坐标相

等，逐一分析即可.

【详解】解：①设函数弘=2工+3上点尸坐标轴为（叽2〃?+3）,

•・・p、。关于V轴对称

，。点坐标为（-〃Z,机+1）

若点P或点。的纵坐标称相等，

；・2〃？+3=6+1解得：m=-2,

则存在这样的点。、。，使得他们关于y轴对称，

・・・函数y=2x+3与函数%=一工+1具有“对偶关系”

所以①错误：故不符合题意；

②当凹=%二-1时，则一l=2x+3,解得x=—2；-l=-x+l,解得x=2；横坐标是相反数，所以②

正确，故符合题意;

③当必二为=1时，则1=2，解得x=l；

X

因为是函数弘二h+3与函数为二'的“对偶值”，

x

所以函数乂=米+3的x=—l,代入得：1二一女+3,解得攵=2,所以③正确，故符合题意;

④设点P坐标为（机,一2〃?+〃），则点。坐标为（一私一，■,

•••P、0横坐标是相反数关系，纵坐标相等

—2〃z+b=,整理得h=2加---，

mm

v-2</w<-l,对于函数>=2〃1一,，y随用的增大而增大，

m

117

当掰二-2时，b=2x（-2）--=-4+—=——；

当加二一1时，b=2x（—1）——=—2+1=—1；

—1

79

而不是3Mb«不，所以④错误，故不符合题意；

22

故选：B.

二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

11.化简|兀-3.2|=.

【答案】3.2—兀##一兀+3.2

【解析】

【分析】先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简即可求解.

【详解】解：•・•乃才3.14<3.2,

:•父—3.2<0,

|兀-3.2|=3.2-兀.

2x

12.在函数y==—中，自变量x的取值范围是____.

3x-2

2

【答案】x*-

3

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0即可得到答案.

【详解】解：y=中，

3x-2

3工一2=0,

2

解得X。.

即自变量X的取值范围是

故答案为：X。；

3

此题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

13.“如果=那么。20,〃之()”的逆命题为：.

【答案】如果。20，/^>0,那么=

【解析】

【分析】本题考查了命题和逆命题，把命题的条件和结论交换位置得到的命题就是原命题的逆命题，解决

木寇的关键是根据命题和逆命题的关系进行未计解.

【详解】解：“如果疝=五•加，那么。之0,bNO”的逆命题为：如果〃之0,/)>0,那么

y/ab=y/a-y[b-

故答案为：如果b>0,那么=&.亚.

14.如图，在五边形力BCDE中，点、M,N分别在边力5,力£上.若Nl+N2=110。，则

ZB+ZC+ZD+NE的度数为.

【解析】

【分析】先求出/8MN+/ENM=250。，再用六边形内角和减去/8MN+/ENM的和即可.

本题考查了多边形内角和的计算，掌握多边形内角和公式是解题的关键.

【详解】解：^BMN+ZENM=360°-(+^2)=360°-110°=250°,

六边形/J8C0E的内角和为：(6-2)180。=720。.

/B+/。+/。+/E=720°-250°=470°.

故答案为：470°.

15.如图，力8与。。相切于点“，连接3。，过点。作50的垂线OC,交O。于点C,连接4C,交线

段。8于点D.若/8=3,。。=2,则taM的值为.

【解析】

【分析】利用平行线的判定与性质证明△OOCs^A。/!,再求得B。，再利用直角三角形的边角关系解答

即可.

【详解】解：•・•力8与OO相切于点8,

・•・OBLAB,

•・•OC入OB,

・•・OC//AB,

:.6.ODCs^BD/l,

,OPPC

••访一下‘

•・•OB=OC=2,

,2-BD2

••=9

BD3

・•.BD=-.

5

6

:ABDM2.

tart4=-----=—=—

AB35

故答案为：—.

5

本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，

直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键.

16.如图，在平行四边形NBCO中，4B=2,BC=3,NABC=60。，点、P为射线4D上一动点、,连接

BP,点M、N分别为直线AD,BC上的点，且MN垂宜平分BP,若4M=1,则线段DP的长为.

【答案】近-2或4-6

【解析】

【分析】当点M在线段上时，过点4作9〃/力。于点〃，连接在平行四边形/9C。中，

AB=2,BC=3=AD,AD〃BC,得出NFL4B=/ABC=60。,从而得

AH=-AB=\,BH=yl22-12=73,勾股定理求出8必=近，根据A/N垂直平分得出

2

MP=BM=不,即可求出。P；当点必在直线力。上时，过点B作BHJ.4D于点、H,连接8M,此

时点〃与点〃重合，根据A/N垂宜平分8P,得出==即可求出。P；

【详解】解：如图，当点〃在线段上时，过点8作8H14。于点儿连接8股,

在平行四边形力BC。中，AB=%BC=3=ADyAD//BC,

・•・^HAB=AABC=60°,

AAH=-AB=\,BH=^-\Z=73,

2

VAM=

:,MH=2,

・•・BM=1阴2S=币,

•・•WN垂直平分8。，

:,MP=BM=@,

・•・DP=MP-MD=MP-(AD-AM)=V7-2：

如图，当点仍在直线力。上时，过点、B作BHJ.4D于点、H,连接

(H)MAPD

在平行四边形48CO中，AB=%BC=3=AD,AD〃BC,

，AHAB=/ABC=60°,

AH=-AB=\.BH=JTK=百，即此时点M与点〃重合，

2

•:MN垂直平分BP,

:・MP=BM=5

:・DP=DM-MP=3…6=4-6

综上，线段QP的长为近-2或4-JJ，

故答案为：J7-2或4—JJ.

该题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识

点，解题的关键是分类讨论，掌握以上知识点.

三、解答题（本大题共9题，满分72分）

17.计算：M-2cos45°+（；）7-（7C-1）0

【答案】2&+2

【解析】

【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数转、0指数凝的运算，然

后再按运算顺序进行计算即可得.

【详解】V18-2cos45。+（1）->-（7c-1）0

=2&+2-

本题考查了实数的综合运算能力，解决此类问题的关键是熟练掌握负整数指数幕、零指数累、二

次根式、绝对值、特殊角的锐角三角函数值等知识.

1X—1

18.先化简，再求值:1其中x=3.

2

x+2yx-2x4-1

Y,—12

【答案］---

X+25

【解析】

x+21A(x+l)(x-1)

【详解】解:原式=

x+2x+2)(x-l)~

—_x_+_1_y_x__-1_

x+2x+\

x-1

-------•

x+2'

3-17

当工=3时，原式—=-.

3+25

19.矩形48。9中，E是力。的中点，延长CE,BA交于点、F,连接4。，DF.

(1)求证：四边形ZCQ尸是平行四边形.

(2)当。/平分N8C。时，求正：BC=2CD.

【答案】(1)见详解(2)见详解

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判

定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

(1)证明△出EgaCQE得出C0=E4,即可得出结论；

(2)证出△CQE是等腰三角形，得出CO=QE,得出4D=BC=2CD.

【小问I详解】

证明：•••四边形力8CQ是矩形，

AB〃CD,

NFAE=NCDE.

•.•E是力。的中点，

AE=DE.

在七和中,

NFAE=4CDE

■/FEA=ZCED,

AE=DE

.-.△E4E^AC£）f（AAS）,

:.CD=FA.

•••CD//AFt

，四边形ACDF是平行四边形；

【小问2详解】

证明：•.•3平分N3。。，

/.ZDCE=4BCE.

•••匹边形48CQ是矩形，

AD//BC,AD=BC,

Z.DEC=ZBCE,

:.£DEC=NDCE,

:.DC=DE

是力。的中点，

:.AD=2DE=2DC,

BC=2CD.

20.某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减

少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元.

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为90（）元，那么该商店4月份销售这种商品的利沟是多少

元？

【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是40元：（2）该商吉4月份销售这种商品的利润是990元.

【解析】

【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9X元，根据数量=总

价+单价结合4月份比3月份多销出30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；

（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润x销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，

解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润x销售数量，即可求出结论.

【详解】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元,

根据题意得：

24002400+840,八

----=------------30,

x0.9x

解得：x=40,

经检验，工=40是原分式方程的解.

答：该商店3月份这种商品的售价是40元.

（2）设该商品的进价为〃元,

根据题意得：（40-〃）x翳=900,

解得：。二25,

•••心。3）、笔翳=99。

（元）.

答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（I）找准等最关系，正确列出分式

方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

21.2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中

小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业

的青少年群体.某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3Q打印”“航模”“机器人”“无人机”

共四类科技社团（每名学生必选且仅选•个社团）.为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分

学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

计划参加四类科技社团人数的条形统计图计划参加四类科技社团人数的扇形统计性

1人数

无人机

机器人

32%/3D打印,

5-16%\22%

（）1IIIIIII1>航模'y

3D打印航模机器人无人机社团

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）

（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议.

【答案】（1）50,画图见解析

(2)320人

（3）见解析

【解析】

【分析［本题考查条形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用图中的数据，求出所求问

题的答案.

（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数

即可补全图形；

（2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；

（3）根据统计图的信息提出合理建议即可.

【小问1详解】

解：本次调查的样本容量为11・22%=50,

无人机社团人数为50-（11+8+16）=15（人），

补全图形如下:

计划参加四类科技社团人数的条形统计图

【小问2详解】

解：1000x32%=320（人）,

答：估计计划参加“机渊人”社团的学生人数约为320人.

【小问3详解】

解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯」）.

22.已知48是。。的直径，点C。是半圆O的三等分点.连接/C,DO.

（1）如图①，求480。及的大小；

（2）如图②，过点。作CEM4于点F,交OO于点〃，若。。的半径为2.求。〃的长.

【答案】⑴Z.BOD=60°»4=60°

⑵2百

【解析】

【分析】（1）直接利用半圆所对的圆心角为180°，半圆所对的圆周角为90。求解即可；

（2）先求出△CO力是等边三角形，再求出O/=力尸=1,CF=HF,最后利用勾股定理求解即可.

【小问1详解】

•・•点C,。是半圆。的三等分点，且半圆所对的圆心角为180°,圆周角为90°

AABOD==60,ZA=90x-=60,

33

AABOD=60°,NX=60;

【小问2详解】

如图，连接OC,

/.OA=OC>

I乙4=60°，

:.AC。/!是等边三角形，

CFtAB,

AOF=AF=\,CF=HF,

•**CF=>]OC2-OF2=V22-12=y/3，

:•CH=26，即。〃的长为

本题考查了圆的相关概念，涉及圆周角和圆心角、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键

是牢记相关概念，正确作出辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求解.

23.为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法.

图1(利用影子)图2(利用镜子)图3(利用标杆)

(1)如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高。石，此时，小组同学测

得旗杆AB的影长BC为11.3〃?，据此可得旗杆AB高度为m；

(2)如图2,小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部4小组同学测

得小李的眼睛距地面高度QE=L6m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离C8=14m.据此

可得旗杆AB高度为m；

(3)如图3,小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部4小组

同学测得小王的眼睛距地面高度DE=1.8m,标杆3=5m,小王到标杆距离Eb=2m,标杆到旗杆距

离FB=4m,求旗杆48的高度.

【答案】(1)11.3

(2)11.2(3)旗杆力4的高度约为11.4米

【解析】

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，

(1)影长Eb恰好等于自己的身高。上，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，VABC

是等腰直角三角形，即可求得；

(2)利用已知判定△DECs△力8。，结合相似三角形的性质进行求解即可；

(3)过点D作DH1AB,垂足为点H,交CF于点G,可知四边形DEFG,四边形GFBH和四边形DEBH

都是矩形，求得对应边长，进一步证明△DCGsa。％,结合—二-_L可求得力，，即有48.

AHDH

【小问1详解】

解：••・影长E/恰好等于自己的身高。E,

.•.△OE/是等腰直角三角形，

由平行投影性质可知，V/4C是等腰直角三角形,

则,4B=4C=11.3m,

故答案为：11.3；

【小问2详解】

解：

D

7777777777777777777777777T77T

ECB

由反射定律可知，/DCE=/ACB

又/DEC=AABC=90°,

.•.△DECS^ABC,

ABBCAB14

---=---,即un----=—,

DECE1.62

解得48=11.2,

则旗杆高度为11.2米

故答案为：112

【小问3详解】

解：如图，过点D作DH上，垂足为点〃，交C/7丁点G,

由题意可知，四边形尸G,网边形GF8H和四边形OE8”都是矩形，且。E=1.8m,EF=2m,

FB=4m,CF=5m,

；.GF=BH=DE=L8m,DG=EF=2m,GH=FB=4m,

.•，CG=CF-GF=5-1.8=3.2m,DH=DG+GH=2+4=6m,

---ZCDG=ZADH,NDGC=90。=NDH4,

：.ADCGS^DHA»

CG_DG

：,19

AHDH

3.22

----=—,

AH6

二AH=9.6m,

•••力8=4〃+〃8=9.6+1.8=11.4m，

•••旗杆的高度约为11.4m.

24,已知二次函数歹二一；/+〃”+乎〃7（加工0）图象的顶点为力，与V轴交于点〃，对称轴与x轴交于

点C.

（1）若该函数图象经过点（0,6）,求点力的横坐标；

⑵若加＜3,点尸（2,必）和0（4,必）在该困数图象上，证明：必A为；

（3）若V4BC是等腰三角形，求〃?的值.

【答案】（1）点力的横坐标为3

（2）证明见解析（3）〃?=迈或〃?=一26

3

【解析】

【分析】（1）把（0,J^代入y二—立加（加工0）可得加=3,再进一步求解即可.

23

（2）先求解必=-2+2m+*m，匕=-8+4m+等〃？，结合〃？＜3,