高中数学阶段检测（六）（第一章~第十章）

阶段滚动检测（六）（第一章〜第十章）

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的〕

1.已知集合4={球*+2.广〃=0,a^R},若集合A有且仅有2个子集，则。的取值是（）

A.1B.-1C.0,1D.-1,0,1

【答案】D

【解析】由题意可得，集合4为单元素集，

（1）当。=0时，4={R2.v=0}={0},此时集合A的两个子集是{0},0,

（2）当。羊0时则4=4-4屋=0解得«=±1,

当。=-1时，集合A的两个子集是{1},0,

当。=1,此时集合A的两个子集是{-1},0.

综上所述，。的取值为-1，0,1.

故选：D.

2.若变量），与x之间的样本相关系数r=-0.9832,则变量y与x之间（）.

A.具有很弱的线性相关关系B.具有较强的线性相关关系

C.它们的线性相关关系还需要进一确定D.不确定

【答案】B

【解析】变量y与x之间的样本相关系数r=-0.9832,M=°-9832,接近1,样本相关系数

的绝对值越大，相关性越强,

・•・变量>'与x之间有较强的线性相关关系,

故选：R.

3.已知角”的终边上一点的坐标为卜in^,cos^}则角x的最小正值为（

)

【答案】B

【解析】由诱导公式可得sin%sin7171n

一十一=cos—

32)3

n7t571

且注意到cosm=cos(_g=cos^-^-+2n=cos—,

333

.n.n5n

-sin—=sin=sin-—+2n=sin—,

3FI33

r.5兀5nA(5兀.5兀、•5兀5n)“4.....

所以sin—,cos—=cos—,sm—；又sin-r,cos-；-为角上的终4边上一点,结合三角函

<66；V33)\66J

数定义知角x的最小正值为半.

故选：B.

4.某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法正确的

利润:收入一支出

A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

B.支出最高值与支出最低值的比是3:1

C.7至9月的日平均支出为50万元

D.利润最高的月份是2月份

【答案】A

【解析】A,2至3月份的收入的变化率为"孚二20,11至12月份的变化率为普卜20,

故相同.A正确.

B,支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的1。万元，故支出最高值与支出最

低值的比是6：1.故B错误.

C,第三季度的7,8,9月每个月的支出分别为20万元，40万元，40万元，故第三季度的

平均支出为----T-----二=-力兀，故C错厌.

33

D,利润最高的月份是3月份和D月份都是30万元，高于2月份的利润是80-60=20万元,

故D错误.

故选A.

5.(2/一31+力’的展开式的各项系数之和为1,则该展开式中含丁项的系数是()

A.-600B.-84()C.-1080D.-2()4()

【答案】D

【解析】

因为(2--3%+。『的展开式的各项系数之和为I,

令X=l,得(-1+4)、=1,解得4=2,

所以(2/一3X+2『的展开式中含/项为

C^(2,t2)3C*(-3x)x2+C^(2x2):(-3x)3=-2()40x7,

所以该展开式中含一项的系数是-2040.

故选：D.

6.某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这II名成

员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽

到的2名成员性别相同”，则尸(48)=()

3225

A.-B.-C.-D.—

535II

【答案】A

【解析】由题意可知尸(8)=笔0=・，P(A8)=^=\,

所以「⑷小嗡

故选：A.

7.用蓝色和红色给一排1。个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为()

A.504B.505C.506D.507

【答案】A

【解析】第一类，1()红。蓝，有种，小计1种

第二类，9红1蓝，有C：。种，小计10种,

第三类,8红2蓝,有C；。种，小计45种,

第四类，7红3蓝，可分为3蓝分开，有C；种，2蓝在一起，有C；C；,小计112种

第五类，6红4蓝，可分为4蓝分开，有C；种，两蓝，两蓝在一起，有C；种，

2蓝1蓝1蓝，有小计⑹种

第六类，5红5蓝，可分5蓝分开，有C；种，2蓝1蓝1蓝1蓝，有C〉C；,

2蓝2蓝1蓝，有C〉C：,小计126种

第七类，4红6蓝，可分2蓝1蓝1蓝1蓝1蓝，有C；种，

2蓝2蓝I蓝1蓝，有CiC；种，2蓝2蓝2蓝，有C；种，小计45种

第八类，3红7蓝，有C；种，小计4种

合计504种.

故选：A

8.椭圆七/=方＞0）的左、右焦点分别为匕、F?,E上存在两点A、B满足

FiA=2F2B,\AF2\=^at则E的离心率为（）

A.&B.-C.且D.1

3322

【答案】A

【解析】作点B关于原点的对称点C,连接。匕、CF2、BC,

则。为8C、匕鸟的中点，故四边形防。工为平行四边形，故且|C周=忸国，则

CF\=F】B,

所以，币4=2〃，故A、K、C三点共线，

由椭圆定义，MEl+M周=幼，有|A剧二|。，所以仁用=4,则|Aq=〃，

再由椭圆定义「川+|困=2%有|明=小

因为|C周2=|AC『+|A周）所以NCA>=90,

在△.鸟中，恒用2=同用2+|4周2即4c2=等/,所以，离心率e=q.

故选：A.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.从甲袋中摸出一个红球的概率是:，从乙袋中摸出1个红球的概率是从两袋中各摸出

I个球，则（）

A.2个球不都是红球的概率是:B.2个球都是红球的概率是，

一0

C.至少有1个红球的概率是1•D.2个球中恰好有1个红球的概率是:

【答案】BCD

【解析】对于A,2个球不都是红球的概率为l-：x!=4,故A不正确；

326

对于B,2个球都是红球的概率为!乂!二!，故B正确；

236

212

对于C,至少有一个红球的概率为=故C正确；

323

对于D,两个球中恰好有一个红球的概率为!x；+：xj=；,故D正确.

故选：BCD

10.已知X的分布列为

X-101

£

pa

26

则下列说法正确的有（）

A.P(X=0)=；

B.E(X)=~-

J

c.D(x)=^-D.P(X>-1)=1

z/~

【答案】ABD

【解析】由分布列的性质可知<+。+，=1，即

263

・・・P(X=O)=(，故A正确；

E(X)=(-l)x14-0xl+lx-l=-l故B正确：

2363

(\Y1(1/IY1S

D(X)=-1+-xl0+-x-+1+1x-=-,故C错误;

I2+I3)3I3)69

P(X>-1)=P(X=0)+P(X=1)=1,故D正确.

故选：ABD.

11.己知在四棱锥中，底面A3c。是边长为2的正方形，依_1_平面A8C。，以=2,

且以A为圆心、/■为半径的圆分别交A8,A。于E,/两点，点M是劣孤淳上的动点，其中

0</<2,则()

A.存在点M,使得P。与4M所成的角为方

B.存在点M,使得8。〃平面附M

C.当厂=1时，动线段PW形成的曲面的面积为季

D.当r=也时，以点P为球心，PM为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为华

答案ACD

解析以A为原点，以A8,AD,A尸所在直线分别为x,)，，z轴建立空间直角坐标系，如图

所示，

对于A,设于E4M=6时满足条件，所以M(nx)s。,rsin仇0),4(0,0,0),尸(0,0,2),0(0,2。),

所以俞=(/vos。，rsin仇0),而=(02,-2),

甑M京而2rsin8蛆.」

所以cos\AMPD)——rr—osin0—

9\AM\\PD\rX2v29

7T

所以夕=不即”为EF的3点时满足条件，故A正确：

对于B,在平面/WCQ中，人M的延长线始终与8。相交，由此可知8力〃平面例"一定不

成立，故B错误；

对于C,由题意可知，动线段PM形成的曲面为以以为轴，PM为母线的圆锥侧面的;，

因为PM=QE=#必2+4七2=422+]2=小,

所以曲面的面积为(X兀义1父小=字，故C正确；

对于D,将四棱锥的侧面展开，设球与48,AD的交点、为G,H,连接CG,CH,如图所示,

因为球的半径/?一尸一加,所以PG-R一加，

所以AG=r=啦，所以G8=A8—AG=2一啦，

又因为NABC=NABP+苧，

所以CG2=GB2+BC2-2GBBCCOSy=6,所以CG=m,

又因为PG=#,PC=25所以CG2+PG2=PC2,

所以PG_LCG,所以△PGC为等腰直角三角形，

由对称性可知NGPC=NHPC=T，所以NGP”=],

所以以PM为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为右义方=华，故D正确.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上)

12.某中学从800名应届毕业生中，抽取60名学生进行身体素质测试，应采用抽样,

每个个体被抽到的可能性是.

【答案】随机数法工/0.075

40

3

【解析】数据较少，编号简单，数据具有代表性，可用随机数法•等可能事件，则概率为3；.

40

3

故答案为：随机数法，

40

13.已知A,B相互独立，且0<P(/3)<l,P(4|8)=0.6,则P(4)=.

【答案】0.6弓

【解析】因为A,8相互独立，O<P（B）<1,所以P（AB）=P（A）P（5）,

所以尸（川8）=今需=尸（力=0.6.

故答案为:0.6.

14.设随机变量J服从正态分布N（0,l）,则下列结论正确的是.（填序号）

①P（图<a）二<"）+?（5>-a）（a>0）:

②P（周va）=2P（“〃）-l（a>0）；

③P（团<a）=「2P（兴a）（a>0）；

④P（团<a）=l-P（用>〃）（a>0）.

【答案】②④/④②

【解析】因为P（团<。）=网-〃<《<〃），所以①不正确；

因为P（周<。）=夕（一。<4<。）

=P^<a）-P^<-a）=P^<a）-P^>a）

所以②正确，③不正确；

因为P（冏va）+P（忸>力=1,所以P（.va）=l-P（周>a）（a>0）,所以④正确.

故答案为：②④.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.（本小题满分13分）

如图，E,F,G,〃分别是空间四边形A3。。的边A3,BC,CD,D4的中点，求证：

A

(1)四点&F,G,〃共面；

平面EFGH,47//平面七7?”.

【解】(1)证明：因为七，F,G,H分别是空间四边形448的边48,BC,CD,DA的中

点，

所以EH门BD,FG//BD,

所以EH〃FG,

所以四点E,F,G,H共面.

(2)证明：因为E,F,G,”分别是空间四边形ABCO的边43,BC,CD,D4的中点，

所以EH//BD,HG//AC,

因为E”u平面BD。平面EFGH,HGu平面EFG",ACa平面EPG〃，

所以8。//平面EFGH,4C〃平面EFGH

16.(本小题满分15分)

在△48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=〃cosC+csinA,b=2.

(1)若4=个，求△48C的面积；

(2)若。=25，点。为A5的中点，求CO的长.

解(1)因为〃=%cosC+c$in4,由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinA,

即sin(8+C)=sin8cosC+sinCsinA=sin8cosC+sinCeosB.

整理得sinC(sinA—cos8)=0,

又C£(0,it),故sinC#0,即sinA=cosB.

若A=；,贝i]sinA=cos8=乎.

又BG(0,H),所以此时C=：

所以△48C为等腰直角三角形，即SMBC=^=2.

Q）若。=2小，则圻黑=吃1=六=遮所以tanB=^.

由8£（0,71）,所以

所以sinA=cos由A£（0,n）,

所以A=1或人=今.

JJ

①当A=飘，C=j,此时△/WC为直角三角形，且A8=d22+（2小）2=4.

所以CD=%R=2.

②当A=平时，。=5，此时△48C为等腰三角形.AO=；AB=%C=1,

/>

22222

itAACD中，由余弦定理得CD=AC-l-AD-2ACADcosA=2+1-2X2X1XCOSy=5

一4义（一；）=7,所以。。=干.

综上，CD=2或木.

17.（本小题满分15分）

新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新

能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生

产的零件，该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝

对值）的样本数据统计如表所示.

质最差（单位:mg)5667707886

件数（单位：件）102048193

（1）根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X

近似服从正态分布M〃，/），其中『的近似值为36,用样本平均数；作为/，的近似值，求

P（64WXW82）的值；

（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两

倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015,第2条生产线出现废品的概率约为0.018,

将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该

企业生产的该零件中随机抽取一件.

①求该零件为废品的概率；

②若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量X服从正态分布M”,/)，则P(〃一<7WXW4+QQ0.6827,P(〃一

2oWXW"+2o)%0.9545,P(〃-3oWXW〃+3o)%0.9973.

_56X104-67X20+70X48+78X19+86X3

解(1)4=----------------------------77^---------------------------=70,

由X〜N3,/)，4=70,『=36得，

P(64WXW82)=P(70-6WXW70+2X6)

oWXW"+<7)尸(u-2oWXW〃+2。)

=2+2

0.68270.9545

—2—十一2―=0.8186.

⑵①设A=”随机抽取一件该企业生产的零件，该零件为废品”，

«.=”随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，

Bi="随机抽取一件零件为第2条生产线生产”,

2।

则由题意可知P(8|)=§,P(Bi)=y

又P(A|B|)=O.O15,P(A|B2)=0.018,

于是P(A)=P(8i)尸(A|BI)+P(B2)尸(A|%)

=1xo.O15+|xO.O18=0.016.

②0出

X0015

_P(gl)P(/t|fil)_3-_5

尸(A)—0.016-8,

18.（本小题满分17分）下面给出了根据我国2016年一2022年水果人均占有量），（单位：kg）

和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2016年—2022年的年份代码x分别为

1-7).

我国2016年-2022年水果人均占有量的散点图

人均占有量Mkg)|

!获卜Hr十十4十一

180H-十十十七-”-空・・

170

160rT-T-v'r'l""rT-'"

150-r-T-r-1-i-r-r-

140

130卜—十十……

01234567年份代码工

我国2016年-2022年水果人均占有量的残差图

2

1

残差(kg)0

-1

-2

1234567

年份代码x

(1)根据散点图分析)'与工之间的相关关系：

(2)根据散点图相应数据计算得£y=1074,£、/=4517,求)，美于％的线性回归方程(数

i-lM

据精确到0.01)：

(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.

附：回归方程§，=八+2中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

»一)(一)

b=上f-----------石=y-bx.

i-l

(1)解：根据散点图可•知，散点均匀的分布在•条直线附近，且随着X的增大，y增大，故

了与x成线性相关，且为正相关；

(2)解：依题意，元=：(l+2+3+4+5+6+7)=4,7==竽,