广东省惠州市2025-2026学年初中九年级学业质量检测数学（试卷+解析）

惠州市2025-2026学年初中九年级学业质量检测

数学

本试卷共23小题，满分120分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场

号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考

场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求的.

1.-2026的相反数是（）

11

A.2026B.-------C.-2026

20262026

3.我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”.为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地

球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”.数据“5.23亿”用科学记数法表示为（)

A.5.23xl08B.5.23xlO9C.52.3xl07D.523()0000()

4.下列各式中，计算结果等于/的是（）

A./+/B.C八.a10-aD.“心/

5.将一副三角尺按如图摆放，使芍刻度的两条边互相平行，则图中N1的度数为（）

A.75°B.105°C.115°D.120°

6.已知一组数据26,36,36,3・，41,42,其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计

量是（）

A.平均数B.方差C.中位数D.众数

x+1<5

7.不等式组<的整数解是（）

2x-l>5

A.3B.4C.5D.6

8.由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时

间比原来少用了3小时.设原来平均每小时送x件外卖,依题意，可列方程为（）

404040r40

A.—B.------3=-------

xx-3xx+3

C•竺+3二工40、40

D.

xx+3xx-3

9.如图，V4"?位于第二象限，已知=NC=90。，点力的坐标为（-4,1）,点C的坐标为

（-U）.若直线y=-X+b与V4BC有交点、,则6的取值范围是（）

A.-5<h<5B.-5<b<5

C.-3<b<3D.-3<b<3

10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形4BCD与正方形EFGH,连接。H,若

EH

DE平分/CDH,则一=（）

HA

D

A百2

D.

23

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.因式分解：X2-9=

12.李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近

窗户的概率是.

窗回过道阿ft}窗

13.如图，将面积为7的正方形0/3C和面积为9的正方形ODE厂分别绕原点0顺时针旋转，使04,

0Z）落在数轴上，点4。在数轴上对应的数字分别为。，b,则力-。=

14.“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数y=/+2x+机的图象在平面直角坐标系中只

经过两个象限，则〃，的值可以是.（写出满足条件的一个值即可）

15.如图，力3为半圆。的直径，C为半圆。上一点，且北二蕊，连结8C,以点3为圆心8c为半径

画弧交43于点。.若AB=2,则①的长为

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.先化简后求值：（x—lf+Ml—x）,其中x=sin30。.

17.罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物线.如图，以喷口为原点,

水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，已知水柱的最大高度为16米，落地点与喷口的水

平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式.

yniA

18.如图，是的中线.

（1）尺规作图：过点。作4c的平行线交力4于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）

<2）在（1）的条件下，苔△68面积为36,则V/。石面积为.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.CCTV《新闻联播》已连续三年关注并报道了惠州西湖新春灯会（图1）,向全国观众展现忠州西湖的

璀璨夜景与浓郁年味.为了解游客对2026年新春灯会的满意度，某研学小组在西湖景区随机抽取部分游客

按“非常满意（4）”“比较满意（8）”“基本满意（C）”“不满意（。）”四个等级进行满意度调

查.根据调查数据绘制了不完整的条形统计图（图2）和扇形统计图（图3）.

图1

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名游客？

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中4等级的圆心角度数：

（3）据相关部门统计，本届惠州西湖灯会期间累计接待游客近99万人次，试估计表示满意（含力、4、C

三个等级）的游客大约有多少？

20.如图，四边形48CO内接于。O,8。为直径，点E在8。的延长线上，且。E是。。的切线.

A

(1)求证：/DEC=/BAC；

⑵若AC〃DE,44=8,0。的半径为5,求DE的氏.

21.日轻、圭表是我国古代先民的智慧结晶：FI轻利用光影与刻度计量时辰(如图1),圭表凭借正午表杆

影长测算节气(如图2).某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的占代计时工具”为主题开展项目式学习，

请结合数学与地理知识解决以下问题.

图1

(1)【探究】图3是该小组制作的忠州日居放置于地面的示意图，唇面与赤道平面平行，唇针与地轴平

行.已知惠州位于北纬23。，则号面与地平面的夹角a为

(2)【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺,表为垂直立竿04.已知

0/为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长。3为0.044米，冬至正午时表的影长OC为0.5米，

请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角.(测量误差忽略不计)

(3)【实践】小组观察发现：如图5,冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶E射入，恰好射到大

楼北侧一棵木棉树的顶部尸；春分正午时，阳光从该楼顶E射入，恰好照射到树的根部G.已知春分日

光线与客面平行，若大楼与树干距离。G为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度G尸.（假设

树的高度变化忽略不计）【参考数据：tan23°0.4,tan67°«2.4,tan84°«9.5,tan85°^11.4,

tan86°«14.3]

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”.数学兴趣小组在

研究“黑洞数字”时，在（）到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数,

再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”;

将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作.

例如：取三个数字：0,1,2,进行如下操作：

第I次：数字次1,2,则210-12=198；

第2次:数字1,9,8,则981-189=792；

第3次：数字7,9,2,则972—279=693；

第4次：数字6,9,3,则.

（I）【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为；

（2）【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终

会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是；

②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除.你认为他发现的结

论是否正确？若正确，请给予证明：若不正确，请举出反例.

（3）【探究应用】已知P、9是。到9之间的整数（。<夕），满足〃+^=7,且P、q是关于x的一元二

次方程x2—〃?x+]2=o的两个实数根，将P、q、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第〃次结

果就得到“黑洞数字”，请求出〃的值.

23.如图1,点。为反比例函数y=L（x>o）图象上的一个动点，过点。作射线。4,点8在工轴的正半轴

X

上，以点尸为圆心，20〃为半径作弧交反比例函数图象于点后，连接尸分别过点P和点E作〉'轴和x

轴的平行线形成矩形POET7,该矩形对角线交于点C,连接。F.

（1）设求直线O尸的函数解析式（用含〃，6的代数式表示），并判断点Q是否在

直线OF上；

（2）猜想NR98与/4。8的数量关系，并说明理由；

（3）如图2,当点尸的坐标为（1,1）时，求△OPO与矩形尸QE/的面积比.

惠州市2025-2026学年初中九年级学业质量检测

数学

本试卷共23小题，满分120分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场

号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考

场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求的.

1.-2026的相反数是（）

11

A.2026B.-------C.-2026D.

20262026

【答案】A

【解析】

【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数,-2026的相反数是2026.

2.下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做岫对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折挣，直线两旁的部分能够互相重合，所以是

轴对称图形.

3.我国著名科学家钱学森被誉为“中国航天之父”.为了纪念钱学森，中国科学院紫金山天文台将一颗距地

球约5.23亿公里的行星命名为“钱学森星”.数据“5.23亿”用科学记数法表示为（）

A.5.23xl08B.5.23xlO9C.52.3xl07D.523（）0000（）

【答案】A

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为ax10",其中1二同＜1°，〃为整数，确定。和〃的值即可求解.

【详解】解:“5.23亿”用科学记数法表示为5.23x108.

4.下列各式中，计算结果等于/的是（）

]Q

A.B.//C.a-aD./+/

【答案】B

【解析】

【分析】利用整式加减运算和哥的运算对每个选项计算即可.

【详解】A./+〃6,不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；

B./•〃6=Q3+6=Q9,符合题意；

C.片°一〃，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意：

D.不符合题意，

故选B

本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键.

5.将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中N1的度数为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得8cliQ£N力。8=45。,/££尸=30。，再根据平行线的性质得

/BCD=/EDF=30°,再根据N8C。+ZACB+/ACE=180°可得答案.

【详解】解：由题意，得8C||OF,N4C8=45°,N£7>F=30c,

2BCD=/EDF=30°,

•・•乙BCD+N4C3+/ACE=180°,

30°+45°+ZJCE=180°,

NACE=105。，

Zl=105°.

6.已知一组数据26,36,36,3・，41,42,其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计

量是（）

A,平均数B.方差C,中位数D.众数

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数、方差、中位数、众数的概念，判断哪个统计展的结果与被涂污数字无关，即可得到

答案.

【详解】解：••・平均数、方差的计算都需要用到被涂污数字的具体值，结果随被涂污数字改变，

因此A、B无法准确计算，排除A、B；

•・•被涂污的数为3口，取值范围是30«3口《39,这组数据共6个，中位数为从小到大排序后第3个和第

4个数的平均数，

分情况讨论：

若3口<36,排序为26,3口,36,36,41,42,第3、4个数都是36；中位数是36；众数是36；

若3口=36,排序为26,36,36,36,41,42,笫3、4个数都是36；中位数是36；众数是36；

若3口>36,排序为26,36,36,3口,41,42,第3、4个数是36,3口；中位数是史拦；众数是36；

2

故仍能准确计算的统计量是众数.

x+1<5

7.不等式组।u的整数解是（）

2x-l>5

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得

到答案.

<+1<5①

【详解】解：

2125②'

解不等式①，得x<4,

解不等式②，得1之3,

「•不等式组的解集为3Wxv4,其中整数解为3.

8.由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时

间比原来少用了3小时.设原来平均每小时送x件外卖,依题意，可列方程为（）

404040.40

B.-------3=--------

AT~xx+3

竺4040.40

C,+3D.—+3=------

xx+3xx-3

【答案】B

【解析】

【分析】设原来每小时送x件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数最，再根据“时间=总件数+每小时

送件数”分别表示出原来和现在送40件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可.

【详解】解：•・•原来平均每小时送x件外卖，现在每小时比原来多送3件,

・•・现在平均每小时送（X+3）件，

4040

・•・原来送40件外卖所用时间为一小时，现在送40件外卖所用时间为一；■小时,

xx+3

•・•现在送40件的时间比原来少用3小时，

・•・原来所用时间-3=现在所用时间，

4040

即列方程得一一3=-

xx+3

9.如图，V48C位于第二象限，已知4C=BC,NC=90。，点力的坐标为（-4,1）,点C的坐标为

（-U）.若直线歹=-工+方与V/8C有交点，则b的取值范围是（）

V

A.-5<h<5B.-5<h<5

C.-3<b<3D.-3<Z?<3

【答案】D

【解析】

【分析］先根据已知求出点8的坐标，再将力、〃的坐标代入直线y=-x+g分别求出对应的b的值，即

可得解.

【详解】解：•••点力的坐标为（-4』），点C的坐标为（-1,1）,

*'.AC—3，

•：4C=BC,NC=90。，点。的坐标为（T,l）,

・••点8的坐标为（一1,4）,

分别将点/（-4.1）和点8（-1,4）的坐标代入直线y=-x+b,得到6二一3和6=3,

则方的取值范围为一3W6W3.

故选：D.

10.如图，四个全等的直角二角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形4BCD与正方形EFGH,连接。〃，若

EH

。后平分NCQH,则一=（）

HA

A.—B.-C.叵D.-

2623

【答案】C

【解析】

［分析】证明△DEIIsADFC,求得/DCF-/DIIE,再也明，设。E-AH-a，

AE="利用相似三角形的性质得到手弋，设*,即41=0,求得户存1.据此求解即

【详解】解：・・・。后平分NCO”,

・•・/CDF=ZEDH,

,//CFD=NDEH=90。,

，4DEHS4DFC,

:.4DCF=NDHE,

•・,ZDCF=NADE,

二乙DHE=^ADE,

•・,4DEH=/AED=900,

/.ADHEsAADE,

•EH一DE

DEAE

设DE=%"=。，AE=b,

则£"二力一。，则j=

ab

设合X，

__1=X,即入.2十彳_]_0,

X

解得“且二i或x=Mi二1（舍）,

22

经检验x=正二1是原方程的解，

2

V5-1

-----------------------------------------1———A----

HAaah2

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.因式分解：/-9二.

【答案】（工+3）（工一3）

【解析】

【详解】解：X2-9=X2-32=（X+3）（X-3）.

12.李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择I个，则李明购买的车票座位刚好靠近

窗户的概率是.

窗O阿但人过道阿r0窗

【答案】I

【解析】

【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种L列式计算，即可作答.

【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，

则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是2.

5

13.如图，将面枳为7的正方形0/5。和面积为9的正方形OOEE分别绕原点。顺时针旋转，使04,

。。落在数轴上，点、A,。在数轴上对应的数字分别为“，b,则/?一。=.

【答案】3-不

【解析】

【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到。，/）的值，代入计算即可;

【详解】•・•正方形。48c的面积为7,正方形OOEb的面积为9

：.0A=布，OD=y/9=3

即a="b=3

工b-a=3-近

故答案为：3-J7

本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键.

14.“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数y=/+2x+,〃的图象在平面直角坐标系中只

经过两个象限，则机的值可以是.（写出满足条件的一个值即可）

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】首先判断出顶点为（-1,阳-1）,开口向上，然后根据题意得到顶点落在X轴及以上，进而求解即

可.

【详解】解：•.•抛物线了=/+2]+〃7=（%+1『+小-1,

••・顶点为（-1,加一1）,开口向上，

•••抛物线只经过两个象限，

・•・顶点落在X轴及以上，

/w-1>0,BPm>\,

・•・阳的值可以是1（答案不唯一）.

15.如图，44为半圆。的直径，C为半圆。上一点，且1己=蓝，连结8C,以点8为圆心8c为半径

画弧交月B于点O.若AB=2,则①的长为.

【解析】

【分析】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，连接。C,根据弧、弦、圆心角的关

系求出/80C,由等腰三角形的判定与性质求出N08C的度数，由勾股定理求出8C,从而根据弧长公

式求出质的长即可.

【详解】解：如图，连接OC.

•・,BC=dOB2+OC2=五'

A®=—x2^xV2=—

3604

故答案为：叵

4

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.先化简后求值：（x——其中x=sin30。.

【答案】31,y

【解析】

［详解］解：原式=/一2x+1+x—x

=-A4-1

vsin30°=-,即x=1

22

•二原式=-x+1=--+1

2

=­1

2

17.罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物线.如图，以喷口为原点,

水平方向为x轴，竖直方向为，轴建立平面直角坐标系，已知水柱的最大高度为16米，落地点与喷口的水

平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式.

y

O\32xin

【答案】y二—」/+2x（O4x«32）

16

【解析】

【分析】依题意得抛物线顶点坐标为。6/6）,可设解析式为歹=。（工-16『+16（。=0）,求出。的值即

可.

【详解】解：依题意得抛物线顶点坐标为（16,16）,可设解析式为卜二。（工一16）2+16（。工0）

将点（0,0）代入解析式,得

0=tz（0-16）2+16

解得。=-77

16

•••抛物线的解析式为：y=-16）2+16（0<x<32）

18.如图，是V48c的中线.

（1）尺规作图：过点。作8c的平行线交44于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，若△8CQ面积为36,则V4DE面积为.

【答案】（1）见解析（2）18

【解析】

【分析】（1）作NBO£=NC8。，直线。E交力8于点E,宜线。E为所求的平行线；

（2）根据题意得到S-M=2S.8S=2X36=72,证明△XDEsaxcB,利用相似三角形的性质计算即可

得到答案.

【小问1详解】

解：如图所示，直线QE为所求的平行线,

【小问2详解】

解：•••30是V/8C的中线，S,D=36,

••S&ABC=2sAye。=2x36=72,

由（1）知ED/IBC、

;."DEs"CB,

AD^<J_Yj_

•.•Q&ADE一.=

s~AC）-UJ~4

S.ADE=-^S.ACB=-X72=18.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.CCTV《新闻联播》已连续三年关注并报道了惠州西湖新春灯会（图1）,向全国观众展现惠州西湖的

璀璨夜景与浓郁年味.为了解游客对2026年新春灯会的满意度，某研学小组在西湖景区随机抽取部分游客

按“非常满意（/）”“比较满意（8）”“基本满意（C）”“不满意（。）”四个等级进行满意度调

查.根据调查数据绘制了不完整的条形统计图（图2）和扇形统计图（图3）.

请根据以上信息，回答卜.列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名游客？

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中/等级的圆心角度数；

（3）据相关部门统计，本届惠州西湖灯会期间累计接待游客近99万人次，试估计表示满意（含力、仄C

三个等级）的游客大约有多少？

【答案】（1）本次调查共抽取了500名游客

（2）见解析，力等级的圆心角度数为72。

（3）满意的游客大约有95.04万人次

【解析】

【分析】（1）运用6等级的人数除以占比，得出抽取的游客总人数，即可作答.

（2）运用总人数分别减去/，民。等级的人数，得出C等级的人数，再列式计算求出扇形统计图中4等级

的圆心角度数，即可作答.

（3）运用样本估计总体列式计算，即可作答.

【小问1详解】

240

解：依题意，-——=500（名），

48%

・•・本次调查共抽取了500名游客；

【小问2详解】

解：依题意，。等级的人数为500-100-240-20-140（名）,

【小问3详解】

M100+240+140

解：依题意,99x-------------=95.04（万人）,

500

答：满意的游客大约有95.04万人次.

20.如图，四边形内接于。O,8。为直径，点E在3C的延长线上，且。七是的切线.

（1）求证：ADEC=ABAC：

0）若AC〃DE,43=8,。。的半径为5,求。"的长.

【答案】（1）见解析（2）DE=—

2

【蟀析】

【分析】（1）方法一:根据：“直径所对的圆周角等于90。”可得/5。。=90。,则可得

/DEC+/CDE=90。,再根据切线的性质可得N8OC+NCDE=90。，进而可得/。EC=N8QC,

根据圆周角定理可得ZBDC=ZBAC,进而可得/DEC=/BAC.

方法二：先证明△8C。〜则可得N8OC=N8£O,根据圆周角定理可得/8QC=NA4C,进

而可得NOEC=NA4C.

BAAD

（2）方法一：先由勾股定理得=6,再证血Os/。？，则可得一=一，进而可得求得。石的

BDDE

长;

方法二：由垂径定理得8C=46=8,再由勾股定理得OC=6,再证ABCD〜ADCE

则可得空=丝，进而可得求得OK的长.

CDDE

【小问1详解】

(1)方法一：

QB。是。。的直径，

/./BCD=90。,

ZDEC+ZCDE=90°,

•.。舌是。0的切线，ODJ.DE,即：NODE=91,

:.NBDC+NCDE=90。,

:.(DEC=4BDC,

由圆周角定理得NB4c=N8OC,

/.tDEC=ZBAC；

方法二：

Q5。是。。的直径，

NBCD=90。,

•・•0七是。。的切线，

/.CBDE=90°,

Z.DBC为RtA5CD和R3BDE的公共角，

;ABCD~&BDE»

:.乙BDC=4BED,

由圆周角定理得N8OC=N84C,

ZDEC=ZBAC；

【小问2详解】

方法一：

在RtA/M。中，由勾股定理得：AD=ylBD2-BA2=71O2-82=6-

'：AC//DE.

/BED=4BCA,

由圆周角定理得ABDA=ABCA,

，ABDA=/BED,

又；ZBAD=/BDE=90°,

:.^BADs^BDE,

BAAD86

---=----,即niI—=----,

3DDE10DE

解得。上=?.

2

方法二：

-AC//DE,BDA.DE,

.\BD1AC,

「•直径80垂直平分4C,

：・前=凝

BC=AB=S,

在RtZ\BCO中，由勾股定理得：DC=^BD2-BC2=A/102-82=6»

■/NDEC=NBDC,/DCE=ZBCD=90°,

:4BCDFDCE,

BCBD810

/.——=---,即niI一=----,

CDDE6DE

解得。E=".

2

本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理.，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的

判定，三角形相似的判定，活用勾股定理是解题的关键.

21.H辱、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日展利用光影与刻度计量时辰（如图1）,圭表凭借正午表杆

影长测算节气（如图2）.某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，

请结合数学与地理知识解决以下问题.

图1图2图3

夏至冬至DG

图4图5

（1）【探究】图3是该小组制作的惠州FI皆放置于地面的示意图，属面与赤道平面平行，辱针与地轴平

行.已知惠州位于北纬23。，则辱面与地平面的夹角a为

（2）【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺。W,表为垂直立竿ON.已知

为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长。8为0.044米，冬至正午时表的影长OC为0.5米，

请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角.（测量误差忽略不计）

（3）【实践】小组观察发现：如图5,冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶E射入，恰好射到大

楼北侧一棵木棉树的顶部尸；春分正午时，阳光从该楼顶E射入，恰好照射到树的根部G.已知春分日

光线与晶面平行，若大楼与树干距离。G为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度G尸.（假设

树的高度变化忽略不计）【参考数据：tan23°0.4,tan67°«2.4,tan84°«9.5,tan85°^11.4,

tan86°«14.3]

【答案】（l）67（2）夏至时测量时光线与地平面夹角//SO=85。；冬至时测量时光饯与地平面夹角

480=45。

（3）树的高度/G为14米

【解析】

【分析】（1）根据唇面与地平面的夹角。为90。-当地纬度，计算即可得出结果；

（2）分别求出tanN43O,tan/力CO的值，结合题意分析即可得出结果；

（3）过F作FH工ED于H,由（1）可知春分光线与地平面夹角为-67。，分别解直角二角形得

出DE=24米，HF=HE=10米,最后结合矩形的性质计算即可得出结果.

【小问1详解】

解:暑面与地平面的夹角a为90。-23。=67。；

【小问2详解】

解：据题意可知：在中，tan^ABO=^-=«11.4,

BO0.044

故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角/ABO=85。，

在Rl△力OC中，tan—407=段=丝=1,

CO0.5

故冬至时测量时光线与地平面夹角AABO=45°；

【小问3详解】

解：过F作FH工ED于H,如图所示:

DG

rtl（1）可知春分光线与地平面夹角为NEGO=67。，

DF

在RtaEGO中，vtan^£GD=—,且Z）G=10米,

故。/二24（米）

由（2）可知冬至光线与地平面夹角为45。,

/.AEFH=45°,

；.HF=HE=10米,

由条件可知，四边形Q//FG为矩形,

:.HD=FG,

；・FG=HD=DE-HE=24-10=14（米）

故树的高度产G为14米.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”.数学兴趣小组在

研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数,

再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”;

将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作.

例如：取三个数字：0,1，2,进行如下操作:

第I次：数字0,1,2,则210-12=198：

第2次：数字1,9,8,则981-189=792；

第3次：数字7,9,2,则972-279=693：

第4次：数字6,9,3,则.

(1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为：

(2)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终

会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是；

②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除.你认为他发现的结

论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例.

(3)【探究应用】已知P、9是。到9之间的整数(。＜夕)，满足〃+夕=7,且P、9是关于x的一元二

次方程f一〃优+]2=0的两个实数根，将P、夕、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第〃次结

果就得到“黑洞数字”，请求出〃的值.

【答案】(I)963-369=594

(2)①495；②成员乙发现的结论是正确的，见解析

(3)〃=3

【解析】

【分析】(1)根据题中方法计算求解•：

(2)①继续计算，找出规律：

②根据整式的运算法则列式计算:、

(3)先根据根与系数的关系得p+q=-(-TH)=7,即可求出阳，再解方程求出〃、,/,再对三位数字进行

“重排求差”操作，即可求解.

【小问I详解】

解：第4组：数字6,9,3,则963-369=594：

【小问2详解】

解：①第5组为：954-459=495,

第6组为：954-459=495,

・•・这个“黑洞数字”是495；

②成员乙发现的结论是正确的，理由如卜•：

设在。到9之间任取的三个整数分别为。、b、c,其中。最大，。最小

则“重排”得到的最大数为100a+10b+c,最小数为100c+10b+a,

“求差”为：(100Q+10b+c)-(100c+10b+a)=99a—99c=99(a-c),

、。为0到9之间的整数，且

•••Q-C为正整数，

则99(。-。)为99的倍数，所以最大数和最小数的差总能被99整除；

【小问3详解】

解：由已知得p+q=—(—m)=7,即〃7=7

二原方程为：犬-71+12=0，

解得：X]=3,x2=4,

•・•p<q,

p=3,q=4,

将三位数3、4、7进行“重排求差”：

第1次:743-347=396,

第2次：963-369=594,

第3次：954-459=495,

第4次：954-459=495,本次“重排求差”与上一次“重排求差”完全一致，

结合(2)的探究可知“黑洞数字”为495,且〃=3.

23.如图1,点尸为反比例函数y=g(x>0)图象上的一个动点，过点尸作射线04,点4在上轴的正半轴

上，以点。为圆心、2OP为半径作弧交反比例函数图象于点£,连接PE,分别过点产和点E作V轴和工

轴的平行线形成矩形〃力七/，该矩形对角线交于点C,连接。尸.

图I图2

（1）设尸（a，），求直线OF的函数解析式（用含a,人的代数式表示），并判断点。是否在

直线O/7上：

（2）猜想与的数量关系，并说明理由；

（3）如图2,当点P的坐标为（1』）时，求△<）「£）与矩形尸。£尸的面积比.

【答案】（1）y=lx,点O在直线OP上；

ab

（2）/AOB=3/FOB,见解析；

/7_i

（3）△OPO与矩形尸尸的面积比为

4

【解析】

【分析】（1）根据矩形的性质求出尸卜,：），0,3｝设直线09的函数解析式为歹二履（〃工0），代

（1>

入R仇一，即可求出直线OF的函数解析式，将。巴;代入直线。产的函数解析式即可判断点。是否

ka）\b）

在直线O尸上；

（2）先根据矩形性质得到尸产〃。以NFPC=/PFC,通过三角形外角和性质得到

ZPCO=2ZPFC,再通过等边对等角得到/尸OC=NPCO=2/尸R?,最后根据平行性质推出

ZFFC=/FOB,最后等量代换即可求解；

（3）先延长尸。交x轴于点〃，过点〃作PMJ.0产于点M,根据尸的坐标