中考九年级数学 专题训练-二次函数的最值

中考九年级数学专题训练--二次函数的最值一、单选题1．二次函数y＝(x－1)2+2的最小值是（）A．－2 B．2 C．－1 D．12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④4．已知二次函数y1＝mx2+nx﹣3（m≠0）经过点(2，﹣3).不论m取何实数，若直线y2＝m2x+k总经过y1的顶点，则k的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．25．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（米）的函数解析式是s=60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下列，滑行的距离为（）A．500米 B．600米 C．700米 D．800米6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t≤0 B．﹣1≤t≤−C．−127．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．5−12 B．5+128．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中-3≤x1<x2≤0，则下列结论正确的是()

A．y1<y2 B．y1＞y2C．函数y的最小值是-3 D．函数y的最小值是-49．数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2，与x轴的一个交点在(−3,0)小涛得到了如下结论：①c>0；②4a−b=0；③−3a+c>0；④4a−2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点(−3，y1)，A．100分 B．70分 C．40分 D．10分10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a−b+c＞0；⑤若ax12A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．-74 B．3或-3 C．2或-3 D．2或3或-12．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移A．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2+1二、填空题13．已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是．14．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．15．对于二次函数y=3x2+2，下列说法：①最小值为2；②图象的顶点是（3，2）；③图象与x轴没有交点；④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中正确的是．16．已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽三、解答题17．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．

若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．20．如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，求出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】1014．【答案】m＞115．【答案】①③16．【答案】−1−17．【答案】解：（1）根据题意得65k+b=5575k+b=45，解得k=-1，b=120．

∴所求一次函数的表达式为y=-x+120（60≤x≤87）；

（2）每一件的获利为x-60，

则获得利润W=（x-60）•（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，

∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，

∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891，

∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；

（3）由-x2+180x-7200≥500，

整理得，x2-180x+7700≤0，解得，70≤x≤110，

∴要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，

∴18．【答案】解：⑴将B、C两点坐标代入得3b+c=−9c=−3

解得：b=−2c=−3.所以二次函数的表示式为：y=x2-2x-3

⑵存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E，

若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO，连结PP′，则PE⊥OC于E，

∴OE＝EC＝32，

∴y=−32

∴x2-2x-3=−32，

解得x1=2+102，x2=2−102，（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（2+102，−32）.

⑶过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3，则Q点的坐标为（x，x-3）

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB·OC+12QP·OF+12QP·FB

=12AB·OC+12QP·(OF+FB)

12AB·OC+19．【答案】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，

∴OP=t，而OC=2，

∴P（t，0），

设CP的中点为F，则F点的坐标为（t2，1），

∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，t2）；

（2）S=12PA·DE=124−t·t2=−14t2+t=−14t−22+1

∴当t=2时，S最大，最大值为1

（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下两种情况：

①当∠PDA=900时，由勾股定理得PD2+DA2=PA2，

又PD2=PE2+D20．【答案】（1）根据题意，易得Q（1，0），

点P运动速度每秒钟1个单位长度．

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=B