江苏苏州市2025-2026学年高一年级下册期中调研数学试卷（试卷+解析）

高一期中调研试卷

数学

2026.04

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题〜第11题）、填空

题（第12题~第14题）、解答题（第15题〜第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分

钟,答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效,作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2sin—cos—

1.66的值为（）

A.JB.立C.BD.1

222

3

2.在VA3C,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若〃=3,c=2,cosA=—，则。=（）

4

A.2B.3C.2GD.V22

4，兀、

3.已知sina=y,。为第二象限角，则-的值为（）

A-4-37304+3>/3r-4+373n4-38

101（）1（）10

4.设。，力是两个非零向量，则下列说法正确的是（）

A.若同>人，且。与人同向，则

B.若db=a-e，则方

C.若。是两个单位向量，则°多=1

D.若a+b=a-b,则〃工

■.uuu

5.在VABC中，点。是BC中点，iiiAB=nt»AD='n»贝UAC=()

A.-m+2nB.m-2HC.-2m+nD.2m-n

6.已知cos(a+夕)=Ltanalan〃=，,则cos(a-/?)=()

5

4

D.

5

7.飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速

（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.己知某飞行器逆风飞行，在某时

刻测得风速对应向最为（45,25）,地速对应的向显为（315,245）,则飞行器在该时刻的空速大小约为（单

位：kin/h）（）

A.400B.450C.560D.630

1,X>（）,

8.已知函数/（x）=<0,x=0,〃，b,c•是平面内三个不同的单位向量，若f（d.b）=0,且

f（ca）+f（cb）=0,则,+6-2d的取值范围是（）

A.（1,75）B.（V2,V5）C.（1,3）D.（V2,VT0l

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.对于函数/（另=3。21与8（工）=$山（2龙一3），下列说法正确的有（）

A.〃力与g（x）有相同的最小正周期B./（力与g（x）有相同的对称轴

C./（人）与g（x）有相同的最值D./（八）与8（大）有相同的零点

10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2026年马年新春，有人设计了

一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCZ）的边长为

2,四个半圆的圆心均为正方形48CQ各边的中点（如图2）,若E,尸分别为弧BC,弧CD的中点，则

)

(ai)(图2)

A.AE+AF=2ACB.4E与4户的夹角为45°

C.人七在人尸方向上的投影向量为1A/7D.(ED+EB)EF=8

11.在VA8C中，角A,B,C的对■边分别是小h,c,siivlsinfisinC=-,且VA8C的面积为1,则下

2

列命题正确的是（）

A.VA3c的外接圆半径为1B.abc=4

C.b2+c2^4D.V48C可能为钝角三角形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=（2j）,〃=（1,2）,且。//〃，则,=

l+sin263

13.已知则tan20=

2cos2夕+sin2。2

14.如图，在平行四边形ABC。中，点£,尸分别是边A。，OC边的中点，BE,4厂分别与AC交于R,T

AB

两点.若2AA•AD+97）/?•AT=0，则k的值是________-

AD

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量q,是夹角为60。的单位向量，+«,b=-3e^2e2.

（1）求格•&及同的值;

（2）求。与。的夹角的大小.

仄.COX5、cos皇CDX,())，设函数/(x)=〃♦(/〃一〃)+g(s>0)

16.已知向量〃2=V3sin——,cos——1,且

7.

的图象相邻两条对称轴之间的距离为g.

（1）求&的值,并直接写出了（可在［0,加上的单调增区间;

7

cos^=--V2,且a,£e（O,元）,求a+/的值.

17.记锐角VA3c内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知/+c,2—/=2COSA.

（1）求反的值；

（2）若VABC的面积为立，求竺2士竺+”勺值.

4acosB+bcosAc

18.如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点4B,它们到河岸线/的距离都为3百米.为了铺设管道取

水，计划在河岸线/上找一点Q修建抽水点，在与/之间修建中转接水点P,设计铺设三条直线管道

27r

M,PB,PQ,其中A8=26百米，PQ上I，ZAPB=—.记铺设管道的总长度为y百米.

力苴B罩

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设NRW=9（rad）,将y表示成。的函数；

（ii）设PQ=x百米，将•）表示成x的函数；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值.

19.已知a,〃，c分别为VA8C三个内角A,B,。的对边，且qcosC+J^asinC=8+c.

（1）求角A的大小；

（2）当a=2jj时，

（i）设8C,AC边上的两条中线人。，8E相交于点G,求G8-GC的最大值;

cosBA门cosC,人

（五）求----A8+-----AC值.

sinCsinB

高一期中调研试卷

数学

2026.04

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题〜第11题）、填空

题（第12题~第14题）、解答题（第15题〜第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分

钟,答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效,作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2sin—cos—

1.66的值为（）

A.JB.立C.BD.1

222

【答案】C

【解析】

【详解】2sin—cos—=sin（2?­）=sin—=—.

66632

3

2.在VA8C,角4,&C的对边分别是小b,c,若b=3,c=2,cosA=—，则。=（）

4

A.2B.3C.26D.V22

【答案】A

【解析】

【详解】在VA8C,b=3,c=2,cosA=-,

4

3

则a2=b2+c2-2Z?ccosA=9+4-2x3x2x—=4,

4

所以4—2.

4/TT

3.已知sincr=a为第二象限角，则sin[a-1J的值为（）

5

A-4-3>/3R4+36「-4+3V3

A.-----------r>.------

101010D中

【答案】B

【解析】

43

【详解】因sina='a为第二象限角，则cosa=-Jl-siifa=

5

兀兀413B=4+36

于•是sina—二=sinacos——cosasin—=-x——(——)x

I333525210

4.设。，。是两个非零向量，则下列说法正确的是（）

A.若同>方，且4与人同向，则〃>方

B.若a・b=ac，则Z?=c

C.若a,8是两个单位向量，则°.。=1

D.若a+b=a-b,则〃工匕

【答案】D

【解析】

【详解】对于A,因向量有方向，不能比较大小，故A错误；

对于B,不妨取〃=（1,0）/=（0』）,「=（（）,2）,则46=〃七=0,但乩。不是相等向量，故B错误;

对干C,由〃，。是两个单位向量，可得4勿=同|“85（。,〃）二85（4力），

因,力）的大小未知，故得不到〃乃=1，即C错误：

对于D,由卜+。卜,一〃两边取平方，可得。2+2”!?+〃2=〃2-24七+//，

整理得4方=0，故〃_1/八即D正确.

HUM

5.在VA3c中，点。是BC中点，记=〃2，AD=n）贝UAC=（）

A.-m+2nB.m-2nC.-2m+nD.2m-n

【答案】A

【解析】

【详解】点Q是8c中点,

:.AD=^AB+^AC,.-.2AD=AB+AC^

AB=m»AD=n»/.2n=tn+AC»AC=—m+2n♦改选项A正确.

6.已知(：05(0十/?)=-,1211。1211夕=一,贝"os(a-p)=()

52

24

AB.-D.-

455

【答案】c

【解析】

【分析】应用两角和余弦公式结合同角三角函数关系计算cosacos从sinasin/,最后应用两角差余弦公

式求解.

【详解】因为cos(a+/)=L所以cosacos6一sinasin/?=!,

C1,sinasm万1,八、..八

又因为lanatan/?=-,则-----------=即得cosacos/=2sinasin/7,

2cosacos/i2

]2

所以2sinasin/y-sinasin尸=sin^sin/?=—,且cosacos分=-,

^55

213

则cos(a-/?)=cosacos0+sinasin夕=-+-=

7.飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速

（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风K行，在某时

刻测得风速对应向量为（45,25）,地速对应的向量为（315,245）,则飞行器在该时刻的空速大小约为（单

位：km/h)()

A.400B.450C.560D.630

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意设出方，匕,彩，得到》=匕一岭，代入向量坐标，求得匕=（360,270）,利用向量的模

的公式计算即得.

【详解】设飞行器飞行中的地速向量为0,飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为/，彩，

由已知可得”二匕一彩，且u=(315,245),v2=(45,25),

所以匕=^+为=(360,270),

故卜二V3602+2702=J202500=450.

l,x>0,

8.已知函数/(x)=<0,x=0,a，b，。是平面内三个不同的单位向量，若•h=0,且

—1,x<0,

/(c«)+/(c/?)=0,则a+b—2c的取值范围是()

A.(1,75)B.(>/2,V5)C.(1,3)D.(V2,V10l

【答案】D

【解析】

【分析】根据题目条件平面建系设出。(0,1)、伙1.0)、c(cos0,sin0)并判断。所在象限，再用辅助角公式

化简卜+〃-2d并结合8所在象限求解即可.

【详解】由题意可知“3=0,且by和c,〃中，一个大于。，另一个小于0，

l,x>0,

不妨设=由函数f(x)=<0,X=0,可知/?.(?>(),c.4<0.

不妨设。=(0,1),b=(1,0),c=(8s6,sin0),6c(一加㈤,

所以〃.c=cos。>0，ca=sin9<0»所以夕£(一],°

所以。+/?—2。=(1-2(：05/1一2318),

则有卜+〃-2c]=7(l-2cos<9)2+(l-2sin<9)2=卜一4>/2sin(°+：)，

因为所以

I2)4I44)

(兀、«4),可得6-4任in8+扑(2,10),

所以sin0+—G(也,4小什+个、

I4j2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于函数/(x)=sin2x与g")=sin(2x-方，下列说法正确的有()

A./(力与g(x)有相同的最小正周期B./(M与g(x)有相同的对称轴

C./(x)与g(x)有相同的最值D."可与g(x)有相同的零点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正弦型函数的周期、对称轴与零点，最值计算逐一判断即得.

【详解】对•于A,由正弦型函数的周期公式，易得两函数的周期都是幺=兀，故A正确；

2

对千B,对于/(x)=sin2x,由2x=]+E,k£Z可得其对称轴为x=次？Z；

对于g(x)=sin(2x一乙,由2工-'=二+〃?兀,"2?Z可得其对称轴为x=2+Lm,〃2?Z,

I3J32122

由:可得"'〃=g，该方程显然无整数解，故"X)与g(“没有相同的对称轴，即

B错误；

对于C,由正弦型函数的性质可知两函数的最大值为1,最小值为一1,故C正确；

对干D,由/(x)=sin2x=0,可得2x=E,A$Z,即X

而由g(x)=sin(2x-，)=0可得2x・色=〃加,〃?？Z,即工二二+L恤加Z,

k37362

由;E=2+g〃讥，可得&-"?=:，显然该方程无整数解，故/(x)与g(x)没有相同的零点，故D错

误.

10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2026年马年新春，有人设计了

一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形A3c。的边长为

2,四个半圆的圆心均为正方形/WCQ各边的中点(如图2),若E,F分别为弧BC,弧C。的中点，则

A.AE+AF=2ACB.AE与4户的夹角为45°

C.人七在人尸方向上的投影向量为1A/7D.（ED+EB）EF=8

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用图形对称性易得点。为E/的中点，即可判断A；建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，利

用向量夹角的坐标公式计算判断B；根据投影向量定义列式计算判断C；利用向量数量积的运算律计算判断

D.

对干A,如图连接族，由图形对称性可得行经过点C,且被点C平分,

故有AC=;(4E+A/7),即得AE+Ab=2AC，故A正确；

对干B,如图，以正方形A8CQ的中心。为坐标原点，分别以。瓦所在直线为乂丁轴建立平面直角坐

标系.

则A(-1,-1),E(2,0),F(0,2),则AE=(3,1),AF=(1,3),

尸6

因co确E,AT7=二则〈4E,力广〉045。故B错误;

\AE\x\AF\阿Vio

AF^AF63

对于C，A后在A尸方向上的投影向量为1而-AF=讪AF=]AF，故C正确；

对于D，因。(-1,1),8(1,-1),£7)=(-3,1),=(-1,-1),FF=(-2,2)，

则瓯+丽)•丽=(-4,0)•(-2,2)=8,故D正确.

11.在VA8C中，角A,B,C的对边分别是a,b,asiny4sinBsinC=-,且VABC的面积为1,则下

2

列命题正确的是()

A.VABC的外接圆半径为1B.abc=4

C.b2+c2>4D.VA3C可能为钝角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦定理有2R=,结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合si!L4sin3sinC=L判断

sin/2

B；由面枳公式及基本不等式判断C利用余弦定理及正弦定理判断D.

【详解】A：设VA8C的外接圆半径为

因为VA3c的面积为SAAc=g4CsinB=gsirL4sinBsinCx(2R)2=gxgx4R2=l,

所以R=l,故A正确；

B：由a=b——£——2,[ipabc=23sinAsinBsinC=8x—=4,B选项正确；

siaAsinBsinC2

C：由SA/?c='机7s=1人c，则Z?cN2,当siri/4=1时取Z?c=2,

所以从+。222反之4,当且仅当％=c=及且sinA=l时取等号，C选项正确；

D：若VABC为钝角三角形，设A为钝角，cosA」+>_"’<0,即得

2bc

由C选项知〃+。224,所以/〉4，即。>2,

又因为;=2,所以。=2sinAK2,所以与。>2矛盾,假设不成立，

s\nA

同理8,C也不可能为钝角，D选项错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(2j),Z?=(l,2),且a//b，则>'=.

【答案】4

【解析】

【分析】应用向量平行坐标关系计算求解.

【详解】因为向量％=(2,y),b=(l,2),且@/小,

则2x2=1x)

则y=4.

1+sin283

13.已知=—，则tan2,=

2cos*+sin282

41

【答案】一一##-1-

33

【解析】

【分析】先应用二倍角正弦公式计算化简得出tan6=2,再应月二倍角正切公式计算求解.

1+sin263

【详解】因为

2cos2〃+sin2O19

f\

(sinO+cosO)~(sinO+cosdysind+cos。3—八八”一

所以-TT-----------1~-=——^-―：--------/-、=-----------二—,所以sin8=2cos0,所以

2cosP+2sinOcosO2cos。(sin0+cos。)2cos02

tan8=2,

八八2tan。44

则nltan26?=---------=-----=——

l-tan2<91-43

14.如图，在平行四边形人8CQ中，点E,尸分别是边人。，OC边的中点，BE,85分别与AC交于R,T

AB

两点.若2A8・AZ)+9OR・AT=0，则f的值是

AD

【答案】V2

【解析】

一一一一・・—•2一

【分析】设Cr=〃C4,得到=4c4,根据8,T,尸三点共线，得到A7二,AC,再用

AB,A。表示向量，最后应用数量枳运算律计算得出482_2人02=0,结合模长公式求解•；

【详解】设CT=〃C4=〃CO+〃C8=2〃C/+〃C8,且B,T,尸三点共线，

1-1一—«2—一1----

/.2//+//=1,解得〃=C7=—C4,.•.八7=—4C；同理AR=—AC；

3333

由E，〃分别是边和0c上的中点，由三角形相似可得心7分别是线段8从8产上的三等分点，

又BT=^B户,所以DR=--BF=--（CF-CB）=--（--AB+AD）=-AB-'-AD^

又因为2A8.A£>+9£）R.A7=0,所以2万.而=-9万R.前=-9x丽一,而）•（荏+而）

T-♦T•«TT

即得24B♦力。=-2（AB2-AB-AD-2AD2y所以AB?-2Alf=0，

所以A5=J5A。，即得空=五.

AD

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量q,6是夹角为60°的单位向量，。=26]+/,b=-3e1+2e2.

（1）求召©及同的值;

（2）求〃与〃的夹角的大小.

【答案】（1）4・4=g；|d|=S

⑵久

3

【解析】

【分析】（I）利用向品数最积的定义易得再由向最数最积的运算律即可求得Id；

（2）利用向量夹角的计算公式计算即可.

【小问1详解】

依题意，«e2=\e}\-\e2|cos〈4，&〉二g,

由〃=2q+4可得14|=J(26+匈］=+4q.备+£=^4+4xg+l=近；

【小问2详解】

-2-217

因•/?=(2q+6)•(-3q+26)=-6‘+•£?2+2e2=-6+—+2=-—,

222

|止近,|b|=7(-3^,+2e2)=796,-12e,-e2+4e2=^9-12x1+4=>/7,

_7

则cos〈G/〉=9=厂2「=一！，因0”人小《兀，故〈。小〉=一，

\a\^\b\V7xV723

即〃与〃的夹角为

(OXCOX

16.已知向量〃?cos—,0,设函数/(x)=拉•(加一〃)+0)且

T,COST；2)

f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为叁.

(1)求)的值,并直接写出/(力在［0,兀］上的单调增区间;

o7

-,cos/?=J5,且a,4£(0,兀)，求a+4的值.

510

【答案】(1)。=2；［。与和［二-，兀］；

36

(2)停

4

【解析】

7T

【分析】(1)利用向量数量积的运算律与三角恒等变换得到/a)=sin(s--),结合函数周期求出。的

6

值，再由正弦函数的单调递增区间与给定区间求交即得；

(2)由条件和诱导公式求出cosa,再由角的范围求出sina,sin//,根据和角的正弦公式计算即得.

【小问1详解】

_1a)x(-a)xo)xa)x1

f。)=n-(m-n)+-=(cos—0)-(V3sin--cos7cosf)+］

息；5…sj1G.1+cos51

=V3sin——cos----cos—+-=—sin^yx-----------+-

2222222

Q.1,/兀、

=——sins——COS69X=Sin(69J——)，

226

因f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为则解得3=2,

/(x)=sin(2^-^),

6

由—+2攵兀V2x—«—I-2klI、k,GZ可得---FkitWxW—Fku、ksZ,

26263

因X£［0,7t］,故在［O,7C］上的单调增区间为［。与和群,兀］;

36

【小问2详解】

a兀、.—a兀、兀,兀、3

/r(/-+-)=sin［2(—+-)--］=sin(a+-)=cosa=-,

2323625

*-7

又cos/?=-而拒，a,pe(0>K),则得ae(O,2),/7e(5,7t),

于是sina=J］一(|)2=《,sin/?='］一(一，及/=*'

则sin(a+/3)=sinacos+cos«sinP=yx(--j^>/2)4-^x^-=-^-

因”吗考），故一弋.

17.记锐角VA3C内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知〃+片一/=2cosA.

（1）求be的值；

（2）若VA8C的面积为立，求竺金生过的值.

4acosB+bcosAc

【答案】（1）1（2）1

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理结合条件推得〃2+^-/=0或左=1,再由锐角三角形即可确定答案;

（2）先推得8=］兀-C,根据E弦定理化简待求式，并统一为角C的三角函数，利用差角公式化简即得.

3

【小问1详解】

由/+/-4=2cosA和余弦定理，可得cosA=b+。———="十。

2bc2

则有〃2+。2—〃=0或/?。=1，

由/=0可得cosA=0,即4=色，这与锐角VA3C矛盾，故bc=l；

2

【小问2详解】

由（1）知故历=1,则SA8。=,/?csinA='sinA=正，可得sinA=理，

ABC2242

ITTT

因0<A<一»故4=—»

23

2

因A+A+C=7C,则8=一兀一。.

3

「十〜一一«cosB-bcosAsinBsin/4cos^-sinBcosAsinB

由止弦定理，--------------+-----=----------------------+-----

acosB4-bcosAsinCsinAcostB+sinBcosAsinC

_sin(A-B)+sinB_sin(4-8)+sin6_sin(C-§)+sm(§，-C)

sin(/4+B)sinCsinCsinC

1.「^36\f3c1.

—sinC----cosCH---cosCH—sinC

=2________2_________22

sinC

18.如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点A,B,它们到河岸线/的距离都为3百米.为了铺设管道取

水，计划在河岸线/上找一点Q修建抽水点，在AB与/之间修建中转接水点P,设计铺设三条直线管道

2兀

PA,PB,PQ,其中八8=2>/5百米，PQtI，ZAPB=—.记铺设管道的总长度为），百米.

（1）按下列要求建立函数关系式:

（i）设N/%8=〃（rad）,将y表示成〃的函数;

（ii）设PQ=x百米，将y表示成x的函数；

（2）请你选用（I）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值.

【答案】（1）

（i）y=4sin（夕+二］一2sin［29+色］+4,0<0<-.

I3jI6；3

（ii）y=206-工+x,2<x<3.

（2）选用（i）,最小值为600米；选用（ii）,最小值为600米

【解析】

【分析】（1）（i）求出NP84,利用正弦定理求出尸AP8,求出。到直线4笈的距离为〃=B4sin夕，从

而求出产。，于是铺设管道的总长度为y=PA+PB+PQ,利用两角和差的正弦公式和二倍角的正余弦公

式求解即可；

（ii）设PQ=x百米，则尸到直线A3的距离为3—工百米，利用三角形面积求出S,APB=；»8-（3-X）,

I27r

5“8=亍%"8。出7从而得到P4尸3=4（3一司.利用余弦定理求出AB"从而得到如・依，继而

JJ

得到％2+必2,从而求出（PA+尸3）2,即可得到/%+尸8,求出y=E4+PB+PQ即可得解.

7T71

（2）若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式，设/=。+—，则6=/—-，求出，的范围，则函数

33

y=4sin：-2sin2。+57T|+4转化为y=-4sin"+4sinz+6,设/%=sinf,则

V3；16J

y=—4sin2/+4sin/+6转化为y=—4加2+46+6,利用二次函数的图像和性质求出最小值：若选用第

（1）问中的第（ii）个函数关系式，利用换元法，结合二次函数的单调性求出）'的最小值.

【小问1详解】

27rjr

在△APB中，NPBA=7t-----3=一一0.

33

PAPB_AB_2>/3_4

由正弦定理,sin1］一。sin。7@百

32

jr

所以PA=4sin一一9,PB=4sin夕

、3)

又因为ABHh且AB到河岸线/的距离都为3百米,

所以A3与/的距离为3百米,

P到直线AB的距离为万=PAsinO=4sin6sin:一夕，

IJ7

故P。=3-4sin0sin--0,

、3)

于是铺设管道的总长度为

y=PA+PB+PQ=4siny兀-^4-4sin6>+3-4sin<9sinm一。)

所以y=4sin--0+4sine+3-4sin6sin-JI-0|,0<^<—71>

、3Jk133)3

兀TC

y=4sin—cos0-cos—sin0-i-4sin62+3-4sinsin—cos0-cos—sin0

“I33JI33

=26COS0-2sin0+4sin0+3-2>/3sinOcos0+2sin'0

=2\/3cos0+2sin0+3-6sin29+1-cos29

=4sin（0+——2sin[20+—j+4,0<^<—.

I3；I6；3

（ii）设PQ=x百米，

则P到直线AB的距离为3-x百米，

在△AP8中，S.APB~—•A8•（3—x）=/x2"\/^x（3—x）=>/^（3—工）.

又因为S,=--PAPBsin—=—PA^PB,

Afl）234

所以A4/B=4（3—x）.

由余弦定理，AB2=PA1+PB2-2PA-PBcos—=PA2+PB1+PAPB.

3

因为A3=2G，所以12=242+7^2+P4PA

代人批"=4（3—x）,^E42+ra2=12-4（3-%）=4x

从而（％+28）2=期2+相2+2%.〜8=4戈+24（3—/）=4（6—%），

所以尸A+尸8=2j6—x.

于是y=PA+PB+PQ=2y/6-x+x.

又因为（巳4一。3）220,

所以（PA+PB）2-4PAPB>0.

BP4（6-x）-16（3-x）>0,

解得xN2.

又由于点〃在A8与/之间，所以x<3.

故自变显的取值范围为2Kx<3.

所以y=2\j6-x+x,2<x<3.

【小问2详解】

若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式：

/\/\

y=4sin0+--2sin2。+—+4,0<^<—.

I3；I6j3

TT7T

设1二夕+一，则夕=1一一,

33

八八八兀八兀7CTt2兀

Q0<^<—,0<r——<—,:.—<t<一

33333

TTTT

y=4sin6+--2sin2。+—+4转化为

k3Jk6J

2兀71

y=4sinr-2sin2t—+—+4=4sinZ-2sin2t一+—+4

I3>6I36

=4sinr-2smIt——+4=4sinr+2cos2r+4=4sinr+2（l-2sin2r）+4

I2J

=4sinr-4sin2r+6=-4sin2r-4sinr+6

即y=-4sin2r+4sinr+6

、儿.冗，27r.

设掰=sinf,'：—<t<—，——<m<1，

332

y=一4sin?f+4sin/+6转化为y=-4/?r+4m+6,

..对称轴为=开口向下，

2

.•.），=-4m2+46+6在（等,1］上是单调递减函数，

当〃z=l时，），=~4〃/+4〃?+6取最小值，且最小值为Nmin=-4+4+6=6.

故铺设管道总长度的最小值为6百米，即600米.

若选用第（1）问中的第（ii）个函数关系式：

y-246-x+x,2<x<3»

设〃=j6-x，则x=6-，n>0,

*/2<x<3»2<6-/?2<3»-4<-A?2<-3»

3<W4，,/H>0,/.V3</?<2»

/.v=2丁6-x+x,2<x<3转化