苏科版七年级数学下册第十章《二元一次方程组》每课时 教学设计汇编（含6个教学设计）

10.1二元一次方程

一、教材分析.■矗

本节课《二元一次方程》是苏科版初中数学七年级下册第十章第一节，主要包括二元一次方程

的概念，二元一次方程解的概念和会求简单二元一次方程的一些特殊解.教材从实际问题引入，帮

助学生理解二元一次方程的定义.本课注重知识的生成过程，通过创设丰富的情境，如篮球比赛积

分、购分，环保知识竞赛答题得分问题等，学生在实际情境中感受二元一次方程的必要性和实用性

实用性.这种设计不仅激发了学生的学习兴趣，还帮助他们更好地理解数学知识的来源和应用.同

时，鼓励学生自主探索和合作交流，培养学生的创新思维和合作能力.通过学习二元一次方程，学

生能够进一步提升数学思维能力，为后续学习更复杂的方程、不等式和函数奠定坚实基础.

二、学情分析

在《二元一次方程》的教学中，学生已具备一定的数学基础，如一元一次方程的解法和简单的

代数运算能力，但对二元次方程的概念还较为陌生.学生在学习过程中，可能会对二元次方程

的解的不唯•性感到困惑，且在实际问题中列二元一次方程时，可能会因缺乏经验而出现困难.此

外，学生的学习能力存在差异，部分学生可能需要更多的引导和练习来掌握知识.因此，教学中应

注重类比一元一次方程进行引导，通过具体情境帮助学生理解概念，同时加强对实际问题的分析和

建模训练，以提高学生的学习兴趣和应用能力.

三、学习目标

1.了解二元一次方程及二元一次方程的解的概念，会判断一对未知数的值是否是二元一次方程

的解.

2.会求简单二元一次方程的一些特殊解，提高运算能力和解决实际问题的能力.

3.通过对实际问题中数最关系的分析，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.

四、教学重难点

重点：了解二元一次方程及二元一次方程的解的概念，会判断一对未知数的值是否是二元一次

方程的解

难点：解会求简单二元一次方程的一些特殊解.

五、教学过程Q■•蕊■■卷

■本章引入

师：我们已经学习过一元一次方程的概念、解法与应用，本章将学习二元一次方程组的概念、

解法与应用.

解一元•次方程组的基本思路是通过消元将其转化为一元一次方程.应用一元一次方程组解决

实际问题的关键是借助表格或示意图才找等量关系.

二元一次方程组是解决问题的常用工具，许多含有两个未知量的实际问题可以通过建立二元一

次方程组求解.

问题：乙两列车相距200km,同时出发、相向而行，甲车的速度是220km/h,乙车的速度是

180km/h,相遇时甲车行驶了多少千米?乙车行驶了多少千米？

如果设相遇时甲车行驶了1千米，乙车行驶了），千米.

项目甲车乙车等量关系

路程

时间

在学习一元一次方程时，我们曾列一元一次方程解决了''鸡兔同笼''问题.

拳

河

下

上

有

叨

有

有

吗

三

兔

九

免

十

分

十

五

几BA

次

何

足X,

解：设鸡有x只，则兔有（35—幻只.

根据题意，得Zt+4（35—Q=94.

解得x=23,

35~x=\2.

答：鸡有23只，兔有12只.

师追问：你还有其他方法解决“鸡兔同笼”问题吗？（学生自由回答，只要合理即可）

师继续追问：I.填写下表，你可以发现哪些等量关系？

你能列出几个关于-y的方程？你能根据所列方程求出x,1y的值吗？

答：

项目只数足a

码J2x

免y4y

合计3594

1.

鸡的只数+兔的只数=35；

鸡的足数+兔的足数=94.

2/+y=35

2x+4y=94

师生活动：学生独巾思考，指定学生回答.

设计意困：让学生对本章有一个初步的感知，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立

全章的思维导图.

■情境导入

某市中学生篮球联赛积分规则规定：嬴一场得2分，输一场得I分.某球队本次联赛的目标是

积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系？

答：赢的场数x2+输的场数x1=20（分）

师即系追问：如果设该球队赢x场，输），场，你能用方程把等量关系表示出来吗？怎样描述该

球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系？

答：2x+y=20.

师生活动：教师投影问题，带领学生共同分析，学生独M思考后，学生代表回答.

设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的

独立思考能力，为得到二元一次方程的概念作铺垫.

■探究新知

活动一：二元一次方程的概念

问题：观察左、右两边的方程，它们分别有什么特征？

2r+4（35-x）=94.x+y=35：2叶产20.

2.v+4y=94.

答：左边方程的特征：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数都是1；（3）等号两边都是整

式.

右边方程的特征：（I）含有两个未知数；（2）含有未知数的次数都是I；（3）等号两边都是整

式.

思考：类比一元次方程，右边方程叫什么方程呢？

答：二元一次方程.

师继续追问：类比一元一次方程的概念，谁能说说二元一次方程的概念呢？

答：等号两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫作二元一次

方程.

师继续追问：xy=\是二元一次方程吗？（）

答：不是，它是二元二次方程了.

师：定义不准确.

未知数的

次数都是1

师小结：含有两个未知数.并且含有未知数的项的次数都是I的方程叫作二元•次方程.

注意：1.二元一次方程中有且只有两个未知数；

2”含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1：

3.二元一次方程的左边和右边都是整式.

问题：下列各式中，哪些是二元一次方程？哪些不是二元一次方程？

（1）3〃+4力=5；（2）2X+X2=0；（3）4x+y=7+4x；

（4）—4"?—2〃=1；（5）3x+：=l；（6）ab=3h-\.

答：（1）、（4）是二元一次方程，（2）、（3）、（5）、（6）不是二元一次方程.

师总结判断一个方程是不是二元一次方程要“三看：一看原方程是不是整式方程：二看化简后

的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1.

师生活动：师生一问一答，互动交流.

设计意图：通过类比一元一次方程的概念得到二元一次方程的概念，这里尤其要注意：二元一

次方程强调“含有未知数的项的次数都是1”.

活动二：二元一次方程的解

某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分.某球队本次联赛的目标是

积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系？

解：设该球队扁x场，输），场，则有2叶产20.

问题：你能列出该球队输赢场数的所有可能情况吗？

师引导学生:可以通过列表，列出该球队输赢的情况.

师小结：

二元一次方程的解：满足二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.

如x=5,尸10就是方程2r+y=20的一个解，记作：

师提示：1,二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示.

2.一个二元一次方程通常有很多个解.

师生活动：教师投影，学生独立思考后口答，师生互动交流，共同归纳二元一次方程的解的概

念.

设计意图：通过填表具体感受x,y的对应值与方程2x+y=20的关系，为归纳二元一次方程的

解的概念提供实例，让学生在操作活动中感悟二元一次方程的解的本质属性.

■应用新知

例1把方程力+2产12写成用含x的代数式表示），的形式，并写出方程的四个解.

答：由方程3x+2y=12,得y=6—*

当尸0,1,2,3时，将这四个值代入y=6-%,得），的值分别为6,（3,所以

（x=0

ly=6，

x=1（x=2俨=3

y=i=[y=^'

师生活动：学生先独立思考，指定学生问答.

设计意图：进一步加深学生对“一个二元一次方程有无数个解”的理解.先要求学生用一个未知数

。）去表示另一个未知数°，），给X赋值后方便回代''快速求出），的值，此题可为用代入消元法解二元

一次方程组做铺垫.

例2在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，

答错不扣分.小明抢答题答对x道，必答题答对），道，得了20分.请列出关于x,y的二元一次方

程，并写出这个方程符合实际意义的解.

解：根据题意，得5x+3v=20.

列表讨论方程解的可能情况：

X01234

20105.0

y35T3

答：因为x,y都是自然数，所以符合实际意义的解是二:.

师追问：除列表法外，你还有其他方法吗？

解：根据题意,得5%+3产20.

所以产等，

因为x,y都是自然数，

所以20—5工是3的倍数.

所以户1或4,

答:符合实际意义的解是忧：.

师总结：1.求二元一次方程的解时，先把方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数

的形式，这样求解更容易.

2.考虑到本题的实际意义，在写出解时，应注意解都应该为自然数，所以本题的二元一次方程

的解的个数是有限的.

师生活动：教师板演示范完整的解题过程，学生模仿.

设计意图：此题是实际问题，列出的二元一次方程的解须符合实际意义，方程的解有取值范围

限制——必须为自然数，因此解的个数是有限的，结合方程解的实际意义可以通过枚举写出所有符

合实际意义的解，具体如何枚举，可以引导学生先独立尝试，再汇报交流.

■课堂练习

1.下面三对数值，哪几对是二元一次方程2r+），=3的解?哪几对是二元一次方程3x=2—4），的解？

[x=-2（x=2（x=l

ly=2*ly=-r[y=2

2.把下列方程写成用含），的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解：

（1»+3），=7；（2）32—4尸3y.

3.小亮在一场篮球比赛中共得21分，其中罚球得3分，怎样用二元一次方程描述他投中的两

分球、三分球个数与得分之间的等量关系?他分别投中了几个两分球和三分球？

答：1.由方程2x+y=3,得y=3-2x.分别m-2,2,[分别弋入y=3-2x,得y分别为7,-I,

21

-

和-二元一次方程2计产3的解，同理可得｛；[,，｛yj-r是二元一次方程

2.2

-1-2

3x=2—4y的解.

2.（1）由方程x+3y=7,得广.，

因为x,y都是正整数，

卜d曾

（2）由方程32-4后3打得尸三把，

因为X,y都是正整数，

所以一«:"

3.解：设投中两分球x个、三分球y个.

根据题意，得2x-3y+3=21.

因为x,y都是自然数，

所以符合实际意义的解畴鼠.g：4-g：rg：o-

答：他分别投中。个两分球，6个三分球；或3个两分球，4个三分球；或6个两分球，2个

三分球；或9个两分球，0个三分球.

■限时训练

1.下列各组数值中，是二元一次方程x-3y=4的解的是（）.

式二B.四瑞：二；喏二

2.（〃?一2026）冽一2025+（"+4川|-3=2025是关于x、y的二元一次方程，则（）

A.〃?=±2026,〃=+4B.加=2026，〃=4

C./〃=-2026,//=—4D./zz=—2026,n=4.

3.学校计划购买A,B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75

元.学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），则该学校的购买方案共有多少

种？

答：I.A.

2.解：因为。〃一2026）;1H—2025+（〃+4）y四一3=2025是关于x、y的二元一次方程，

所以，〃一2026押，“+4翔，|/川一2025=1,同一3二1,

解得："『一2026,n=4＞故选D.

3.解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球），个.

根据题意，得

60A+75y=1500,

所以y=20—点.

因为x，），均为正整数，并且x是5的倍数，

所以］y=16Ty=12Ty=8,已=4.

答：该学校共有4种购买方案.

师生活动：学生独立完成，教师批阅.

设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.

■归纳总结

含有两个木知数，并且言有木知政

定义次工工；的方程，叫作

二元一次方程.

二元一

次方程由。满足二元一次方程的一对未知数的值，

7H乂叫作这个二元一次方程的一个解.

」解

一个二元一次方程通常有很多个解•

解的

个数如果未知数的取值附加某些限制条件，

那么也可能有有限个解.

设计意图：通过归纳让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

六、板书设计

七、教学反思

在教学过程中，教师应充分利用教材中的实际问题情境，引导学生从具体问题中抽象出数学模

型，帮助学生理解二元一次方程的定义和二元一次方程的解的定义.可以通过小组合作、课堂讨论

等方式，让学生在交流中加深对知识的理解.同时，教师应注重培养学生解决实际问题的能力，引

导学生将所学知识应用于生活中的实际问题，提高学生的数学应用意识.此外，教师还可以结合多

媒体教学资源，如课件，帮助学生更直观地理解二元一次方程和二元一次方程的解，提高教学效

果.

通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学

生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理

解二元一次方程的概念和二元一次方程的解的概念，会求简单二元一次方程的一些特殊解.

10.2二元一次方程组的概念

一、教材分析

本节课《二元一次方程组的概念》是苏科版初中数学七年级下册第十章第二节，具有承上启下

的重要作用.从知识体系上看，它是在学生学习了二元一次方程的概念的基础上进行的拓展，为后

续学习是初中代数方程知识体系的关键部分，承为后续学习多元高次方程组、函数等内容筑牢根

基.从实际应用角度，它是解决生活中多种数量关系问题的有力工具，体现数学与生活紧密联系.

本课教材通过创设学生篮球联赛积分的实际问题情境，引导学生从具体问题中抽象出数学模

型，进而引入二元一次方程组的概念.这种从实际到抽象的过渡，能让学生更好地理解二元一次方

程组的现实意义，激发他们的学习兴趣.在探索二元一次方程组的解的概念的过程中，学生将利用

表格寻找到两个二元一次方程的公共解，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，

不仅传授r重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升.

二、学情分析

学生在学习《二元一次方程组的概念》时，此前已学习一元一次方程，对方程的基本概念，这

为理解二元一次方程组的概念提供了类比基础，例如理解方程是表示等量关系的数学式子，有助于

迁移到二元一次方程中对两个未知数间等量关系的理解.但由于一元一次方程只有一个未知数，学

生在接受两个未知数同时存在于方程中的情况时，可能会对未知数之间如何相互关联、如何共同满

足方程条件产生困惑，尤其在将实际问题转化为二元一次方程时，准确找出两个等量关系会存在困

难.

三、学习目标

1.理解二元一次方程组和它的解的概念，并会判断一组数是不是二元一次方程组的解，提高学

生的运算能力.

2.经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是解决这一类问题的有效数学模型.

3.经历各式各样的生活情境，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问

题的能力.

四、教学重难点

重点：理解二元一次方程组和它的解的概念，并会判断一组数是不是二元一次方程组的解

难点：经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是解决这一类问题的有效数学

模型

五、教学过程

■情境导入

在某市中学生篮球联赛中，一球队赛了12场，积22分.根据“赢一场得2分，输一场得1分”的

积分规则，该球队赢了几场？输J'几场?

师：“篮球联赛”问题中的未知量有几个？有哪些相等关系？

生：未知量：斑的场数，输的场数.

相等关系(1)“一球队赛了12场”，即“赢的场数+输的场数=12”；

相等关系(2)“一球队枳22分”，即“嬴的得分+输的得分=22分”.

师：设该球队赢了1场，输了)，场，你能用含弟1y的式子表示题中的相等关系吗？

生：设该球队赢了x场，输了y场，可以得到关于元)，的两个方程：

x+y=12，

2x+y=22.

师：赢和输的场数x,y必须同时满足这两个方程，所以我们把这两个方程联立在一起,

写成定

(方程组)

12%4-y=22.(2)

师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考.

设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，俄炼学生的

独立思考能力，为归纳二元一次方程组的概念埋下伏笔..

■探究新知

活动一：二元一次方程组

问题：方程组即哪些特点？

生：有两个未知数，有两个二元一次方程.

师总结二元一次方程组的概念：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起，所组成的

方程组叫作二元一次方程组.

注意：二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数.

特别说明：例如产+1=°;也是二元一次方程组.

(x-2y=5

问题：下列方程组中，是二元一次方程组的是()

A(a-2h=8,(2a-3b=11,(3a-b=6,ba+^=1,

A.{B.C.sD.<b

(a+3b=12；(5a-4c=6；Iab=10：(.3a+4b=0.

答：A.

变式：若=是关于x,的二元一次方程组，求油的值.

（4%+DZ=y

解：因为［3”1+?y=2,是关于X,的二元一次方程组，

4x+bz=y

•,.4-1=1,Z?=O,

所以4=2;

所以帅=0.

师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，第（2）题，学生模仿，类比完成，师生互动交

流.

设计意图：通过观察实例，归纳总结出二元一次方程组的概念，在此过程中培养学生的表达能

力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达.

活动二：二元一次方程组的解

问题：上述问题中，你能找到同时满足卜+'=12'❷方程犬+尸12①，方程2A•+）=22②的

（2%+y=22.②

X、），的值吗？

师提示：为了找到同时满足方程①、方程②的x、1y的值，我们可以用表格讨论两个方程的解:

答:

师总结一元一次方程组的解的概念：一般地，一元一次方程组的两个方程的公共解，叫做一元

一次方程组的解.

注意：

（1）二元一次方程组的解要用大括号联立表示，如T=Q；的形式.

（y=b

（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2：+y=5：无

2x+y=6

解，而方程组的解有无数个.

师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，第（2）题，学生模仿，类比完成，师生互动交

流.

设计意图：借助二元一次方程解的概念，获得二元一次方程组的解的概念，在此过程中培养学

生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达.

■应用新知

例1：二元一次方程组解决“鸡先同笼”问题.

今有鸡、兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？

问题：“鸡兔同笼”问题有哪些相等关系？

生:“上有35头”，指鸡、兔共35只,即“鸡的只数+兔的只数=35（只），”“下有94足”，指

鸡的腿与兔的腿共有94条，即“鸡腿的条数+兔腿的条数=94（条）

答：解：设鸡有x只，兔有），只，则上+乙二35;

（2x+4y=94

\±v=35X01211122?24

y35343332242312110

21+4尸94X135171921232547

y23222115141312110

只存”=2?：同时满足两个方程，即卜=2：：是该方程组的解.

I7=12I7=12

答：鸡有23只，兔有12只.

师生活动：教师板演示范，学生模仿.

设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、枳极必考的习惯，提升学生计

算能力.让学生理解运用二元一次方程组解决实际问题.

E含的解Y=1,

例2：如果二元一次方程组求。、力的值.

答：解：把“=代入方程组2x—ay=6.

(y=-2bx+6y=-1

2—(—2)a=6»

得，解得a=2,b=\\.

力+6x(-2)=-1

师生活动：教帅板演小范，学生模仿.

设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计

算能力.让学生理解运用二元一次方程组的解来解决问题.

■课堂练习

1.足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，旦白皮块数是黑皮块数的|倍.设黑皮

块数为x,白皮块数为y,列出关于x,y的二元一次方程组.

、•/

2.苹果的单价为x元/kg,梨的单价为y元/kg,苹果的单价比梨的单价贵2元/kg,买5kg苹果和

4kg梨共花去100元.列出关于x,1y的二元一次方程组.

3.下列四对数值，哪儿对是二元一次方程x+.y=3的解？哪儿对是二元一次方程x-y=-l的解？哪

几对是二元一次方程卜+、=3，的解？

(X-y=-1

x+y=32,

Ls

y千•

2x-y=2,

•(Sx+4y=1UU.

3『=2,[x=l,是二元一次方程x+)=3的解

(y=1；ly=2；

2是二元一次方程xi的解

U=2；y=|

x=2,是二元一次方程卜+y=3，的解

(y=1；[x-y=-1

■限时训练

1.有3对数：①俨=2,②F=-1，③卜=3，在这3对数中，_________

是方程

(y=2；(y=-9；(y=T.

二A

3x+)=8的解：是方程2x-)=7的解；是二元一次方程组Z；的解.

2.写出一个以卜二°，为解的二元一次方程组.

y=2

3.如果["=2，是二元一次方程组「+丫"小’的解，求〃?、〃的值.

(y=-3；[2x-y=n

4.已知关于x、)，的二元一次方程组=r的解满足%+3)，=5,求。的值.

ax+2y=/

答：1.①③；②③；③.

2.答案不唯一，如卜+>=2,

(x-y=-2.

3.m=-\>n=l.

4.解：把产1代入x+3y=5,得x=2.

把”—2,代入公+2y=7,得a=-.

Iy=1.2

师生活动：学生独立完成，教师批阅.

设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.

■归纳总结

二元两个未知数

定义一次次数都是1

兀

方程组两个整式方程组成

次

方定义未知数的值使方程两边相等

程二元一次方程

组个数无数个

解

定义两个方程的公共解

二元一次方程组

个数一组

设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

六、板书设计

念

组的概

次方程

二元一

10.2

数

个未知

共有两

「

次

生二元一

一H

组的

方程

~~

都是1

活次数

I—

问定义

式方程

两个整

题

次方

二元一

I——

题

元一次

两个二

-

的解

程组

组）

方程

一次

（二元

公共解

方程的

间观

情境

实际

设计