北师大版七年级数学下册 第三章 第2节《 频率的稳定性》每课时导学案汇编（含两个导学案）

3.2频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性）

（导学案）

01学习目标

（I）理解频率的概念，知道频率的计算方法；通过试验感受在试验次数很大时，随机事件发

生的频率具有稳定性；能用频率估计事件发生的可能性大小.

（2）经历“猜测一试验一收集数据一分析结果一得出结论”的完整探究过程，体会统计思想;

通过绘制折线统计图，培养数据分析能力.

（3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过数学史介绍（伯努利），

感受数学文化的魅力；树立用数据说话的理性精神.

重点：通过试验理解当试验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性.

难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，以及对频率与概率关系的初步感知.

第一环节自主学习

温故知新：

情境创设：小明和小丽想用邳图钉来决定谁去参加夏令营。小明说：“掷一枚图钉，落地后

如果是钉尖朝上，我就去；如果是钉尖朝下，小丽就去。”小丽认为这个办法不公平。你同意

谁的观点？为什么？

学生猜测：学生可能凭直觉认为两种结果可能性不同，也可能认为各占一半.

追问：直觉不一定可靠，我们怎样才能验证自己的猜测？

引导学生想到做试验.

新知探窕

【学法指导】

新知白研：白研课本第64・65页的内容

【学法指导】自研课本P64-65页内容

（一）分组试验，获取数据

介绍频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生

的频率。

任务1——小组试验

两人一组，一人掷图钉，一人记录.

每组做20次掷图钉游戏，记录钉尖朝上、朝下的次数.

计算钉尖朝上的频率（钉尖朝上次数/试验总次数）.

填入教材P140表格.

任务2一一全班汇总.

各组汇报试验结果.

教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、80、120……400）

引导学生观察：各组数据是否一致？为什么有差异？

教师点拨：试验次数较少时，频率波动较大，甚至与猜测有矛盾，这是正常现象。要得到可靠

结论，需要增加试验次数.

（二）绘制图表，探究规律

任务3一—绘制折线统计图

根据全班汇总数据，在教材P141的坐标系中描点

画出钉尖朝上频率随试验次数变化的折线统计图

观察思考：

随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率有什么变化趋势？

频率是在一个常数附近摆动，还是亳无规律？

搜动幅度有什么变化？

小组讨论：学生交流观察结果.

归纳结论：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率

具有稳定性.

（三）数学史话，深化认识

介绍数学家试验：出示历史上数学家掷硬币的试验数据（如布丰、皮尔逊等）

试验者投掷次数正面出现次数正面频率

布丰404020480.5069

皮尔逊1200060190.5016

思考：这些数据支持我们发现的规律吗？

介绍伯努利：频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布•伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定

律”，这是概率论的重要基石.

【自研自探】

自研课本P64・65页内容

典型例题

1.问题：某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表:

射击总次数n1020501002005001000

击中靶心次数m9164188168429861

击中靶心频率m/n

（1）完成上表

（2）观察频率变化，有什么规律？

（3）估计该运动员击中靶心的可能性有多大？

学生独立完成，教师巡视指导.

第二环节合作探究

讨论频率的稳定性？

拓展提升：

问题1：小凡做了5次掷图钉试验，其中有3次钉尖朝上。据此他认为钉尖朝上的可能性比钉

尖朝下的可能性大。你同意他的说法吗？

学生讨论：5次试验次数太少，频率不稳定，不能代表普遍规律.

问题2：小明和小丽一起做了1000次掷图钉试验，其中有640次钉尖朝上。据此他们认为钉

尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意吗？

学生讨论：1（）00次试验次数较大，频率相对稳定，可以作为估计依据.

国巩固练习

课堂练习：课本随堂练习

参考答案：目的是让学生利用已收集到的数据，再次经历汇总数据、绘制折线统计图、分析试

验结果的过程，最后得到类似的结论：在试验次数很大时，盖口向下的频率也会在一个常数附

近摆动，即盖口向卜.的频率也一样具有稳定性.

E真题感知

1.（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全

相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片,

每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.

（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是;

A.必然事件

B.随机事件

C.不可能事件

【解答】解：（1）由题意可得，

若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，

故答案为：B.

2.（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（）

A.投掷一枚硬币，正面向上

R.从只有纤球的袋子中摸出黄球

C.任意画一个圆，它是轴对称图形

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【解答】解：A.投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意；

B.从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意；

C.任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意；

D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意；

故选:B.

05随堂笔记

知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆

动.（2）重要结论：试验次数越多，频率越稳定，越能反映事件发生的旦能性大小.

方法总结：（1）探究路径：猜测一试验一收集数据一分析数据一得出结论.（2）统计思想：用

数据说话,用频率估计可能性.

易错提醒：（1）不能用少量试验的频率代表普遍规律,试验次数太少时结论不可靠.（2）忽略

条件：频率的稳定性是在“大量重复试验”的条件下成立的.

3.2频率的稳定性（第2课时：等可能事件频率的稳定性）

（导学案）

01学习目标

（1）通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；理

解概率的定义，知道必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围；能根据问题的特点，

用频率来估计事件发生的概率.

（2）经历“猜测一试验一收集试验数据一分析试验结果一验证猜测”的完整探究过程，体会

数据的随机性；通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方

法.

（3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验,

感受数学文化的魅力；通过本实际问题的分析，体会数学的应用价值.

重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.

难点：理解频率与概率的区别与联系，建立概率的统计定义.

第一环节自主学习

温故知新：

问题回顾：上节课我们通过掷图钉试验，发现了什么规律？

学生回答：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即频率具有稳定性。

追问：这个规律是否具有普遍性？对于掷硬币这样的等可能事件，是否也有同样的规律？

新知探究

【学法指导】

新知白研：白研课本第64・65页的内容

【学法指导】自研课本P64-65页内容

（一）分组试验，获取数据

介绍试验背景:掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后会出现两种情况一一正面朝上或正面朝下。

你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？

任务1——小组试验：

两人一组，一人掷硬币，一人记录

每组做20次掷硬币游戏，记录正面朝上、朝下的次数

计算正面朝上的频率（正面朝上次数/试验总次数）

将数据填入教材P145表格

任务2一—全班汇总：

各组汇报试验结果

教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、60……200）

引导学生观察：随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？

（二）绘制图表，探究规律

任务3——绘制折线统计图：

根据全班汇总数据，在教材PI45的坐标系中描点.

画出正面朝上频率随试验次数变化的折线统计图.

观察思考：

随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？

频率是在一个常数附近摆动吗？这个常数大约是多少？

摆动幅度有什么变化？

小组讨论：学生交流观察结果.

初步结论：在试验次数很大时，正而朝上的频率都会在0.5附近搜动，即频率具有稳定性.

（三）数学史话，验证规律

介绍数学家试验数据：出示历史上数学家所做的掷硬币:式验数据：

试验者投掷次数n正面出现次数m正面出现的频率m/n

布丰404020480.5069

德-摩根409220480.5005

费勒1000()49790.4979

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005

维尼30000149940.4998

思考：这些数据支持你发现的规律吗？

总结归纳：无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时，事件发生的频率都会在

一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布•伯努利最早

阐明的，他还提出了“大数定律”.

(四)概念建立——概率的定义

教师讲解：由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁,

这就意味着事件A发生的可能性也越大.因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的

大小.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A).

明确关系：一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生

的概率.

想一想：

事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？

必然事件发生的概率是多少？

不可能事件发生的概率是多少？

归纳总结：必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;随机事件A发生的概率P(A)是

0与1之间的一个常数.

【自研自探】

自研课本P64・65页内容

典型例题

例1.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等

语言来描述下列事件的可能性.

(1)买20注七星彩票，获特等奖500万；

(2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球；

(3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上；

(4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品；

(5)早晨太阳从东方引起；

(6)小丽能跳5m局.

【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小，据此逐

一判断即可.

【详解】(1)解：买20注七星彩票，获特等奖5()0万，可能性极小；

(2)解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能；

（3）解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能；

（4）解：100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品，很可能;

（5）解：早晨太阳从东方升起，一定；

（6）解：小丽能跳5m高，不可能.

例22023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办.哥哥和弟弟都想去，但他们只有一

张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘而被分为面积相等且标有数字1,2,3,

4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观.规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的

数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表

或画树状图的方法说明理由.

【分析】本题考察的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相

等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有

等可能的情况数，算出指针两次所指数字和都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公

平.

【详解】解：该游戏公平.理由:

列表如下：

第一次

结果1234

第二次

12345

23456

34567

45678

由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同,

其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种，

8二色

所以，P（哥哥去）=I6,P（弟弟去）=16,

即P（哥哥去）=P（弟弟去）.

所以游戏公平.

第二环节合作探究

L讨论如何用图表频率规律？

2.讨论什么概率？三种事件的概率.

拓展提升：1.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的.将

它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下.由于棋子

的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如

下表：

试验次数〃20406080100120140160

“帅”字面朝上的频数机a18384752667788

m

“帅”字面朝上的频率70.70.450.630.590.520.550.55b

⑴求出上表中数据。和b的值；

⑵根据表格，请你估计将它从•定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保

留两位小数）

【详解】（1）解：0=20x0.7=14；匹爵=°$5

（2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是055.

巩固练习

课堂练习：课本随堂练习

参考答案：1.(1)从左到右依次填写：0.900,0.800,0.820,0.880,0.840,0.858,0.861;(2)8&;(3)概率

大约是0.861.

04真题感知

1.（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本

书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）

A.1B.1C.-D.\

2343

【解答】解：,・•某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本

书的长文本阅读活动，

・•・小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为:，

4

故选：C.

2.（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字）,

若向上一面出现数字1的概率为夕出现数字2的概率为%则该木块不可能是（：）

B.C.D.

【解答】解：,・,向上一面配现数字1的概率为g出现数字2的概率为%

・・.6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”,

・・・只能有一个面标有“