选择题、填空题突破练-2026届高三数学三轮冲刺狂练小题（五）选择题、填空题突破（2026年模拟题共3组42题）

冲刺2026年高考数学分题型专项突破

狂练小题（五）

（题组1）

（限时时间：40分钟试卷满分：73分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.[2025•全国一卷•高考真题）己知集合。=卜,是小于9的正整数｝,A=｛1,3,5｝,则Q.A中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

2.（2024・北京•高考真题）已知则2=（）.

A.-1B.-1+iC.1-iD.1+i

3.（2024•新课标I卷•高考真题）已知向量值=（0,1）/=（2,x）,若。1（万一4㈤,则工=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（2025•全国二卷•高考真题）记S“为等差数列｛〃“｝的前〃项和.若，=6,邑=-5,则$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

5.（2025・上海・高考真题）已知事件4、B相互独立，事件4发生的概率为P（A）=g,事件8发生的概率为

P（8）=g,则事件Ac"发生的概率户（4心8）为（）

A.—B.-C.~D.0

842

6.（2024•天津•高考真题）在如图五面体A8C-力斯中，楂旦。'互相平行，且两两之间距离均为1.若

人。=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

n3G1

u.-------

42

7.（2。23•全国甲卷♦高考真题）已知双曲线。今/叱。力＞。）的离心率为国C的一条渐近线与圆

*—2)2+()，-3)2=1交于A,8两点，则|A3|二()

'旧R2石「36n4石

5555

8.(2024•上海•高考真题)现定义如下:当xe(〃,〃+l)时(〃cN),若/(x+l)=/'(x),则称/(同为延展函数.

已知当xw(OJ)时，g(x)=e'且川")=M°,且g(x),/?(x)均为延展函数，则以下结论()

(1)存在y=kx+b(k,bGR,k9b-0)与子=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k,bGR火力/0)与)，=h[x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(I)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.(2023・新课标【卷•高考真题)有一组样本数据石，々，…，/，其中々是最小值，%是最大值，则()

A.£,七，&，七的平均数等于t，W，…，4的平均数

B.占,毛，/，&的中位数等于%，与产"6的中位数

C.的标准差不小于AS，…，4的标准差

D.修，&，凡，&的极差不大于入，士，一，%的极差

10.(2024•新课标II卷•高考真题)对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-£),下列说法中正确的有()

A.JW与gQ)有相同的零点B.fix)与&*)有相同的最大值

C./(A)与g(x)有相同的最小正周期D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

11.(2025•全国一卷•高考真题)已知抛物线C：V=6x的焦点为F,过尸的一条直线交C于A,8两点，过

A作直线/：的垂线，垂足为。，过户且与直线人B垂直的直线交/于点E,则()

A.\AD\={AF\B.ME1=1AH\

C.|A8|26D.|AE|-|5E|>18

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2025•北京•高考真题)己知(1一2x)4=劭-244+4%/-8处/+1644/，则4)=；

4++%=.

/(x),x>0

13.(2024•上海•高考真题)已知/(x)=x2,g(x)=.,求g(x)«2-x的x的取值范围

14.（2025•全国二卷•高考真题）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

（题组2）

（限时时间：40分钟试卷满分：73分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（2025・北京•高考真题）已知复数z满足i.z+2=2i,则|z|二（）

A.亚B.272C.4D.8

2.（2025・天津•高考真题）S”=T『+8〃，则数列｛寓|｝的前12项和为（）

A.112B.48C.80D.64

3.（2024.新课标II卷.高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块

稻田的亩产量（单位：kg）并整理如卜表

亩产[900,[950,[1000,[1050,[1150,

[1100,1150)

量950)1000)1050)1100)1200)

频数6121830241()

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.10（）块稻U1亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

4.（2023•全国乙卷•高考真题）已知0。的半径为1,直线以与。。相切于点A,直线。3与C。交于从C

两点，。为8c的中点，若|尸。|=五，则序.①的最大值为（）

A.匕也B,匕越

22

C.1+72D.2+72

5.（2024・新课标【卷•高考真题）已知cos（a+0=叫tanatanA=2,则8s（a-£）=（）

A.—3ffiB.-----C.—D.

33

6.（2023•新课标II卷•高考真题）已知椭圆U,+V=1的左、右焦点分别为《，F2,直线y=x+〃?与C

交于4,8两点，若△EA8面积是△入AB面积的2倍，则机=（）.

A.-B.变C.--D.--

3333

7.（2024・北京・高考真题）已知知=｛（.%刈产工+（27）/342,0工区1｝是平面直角坐标系中的点集.设

，/是"中两点间距离的最大值，S是用表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<\B.d=3,5>1

C.d=VTo,S<1D.d=Vw，S>1

8.（2024•上海•高考真题）已知函数/（x）的定义域为R，定义集合历=k）k）eR,xe（-8,Xo）,/a）</（x（））｝,

在使得M=[TJ的所有/“）中，下列成立的是（）

A.存在/（x）是偶函数B.存在在x=2处取最大值

C.存在是增函数D.存在/（x）在x=-l处取到极小值

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2024・新课标【卷•高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.

为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均

值亍=2.1,样本方差/=0.（）1,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8,（）.|2）,假设推动出U后

的亩收入丫服从正态分布N（元$2）,则（）（若随机变量Z服从正态分布％（〃,/），P（Z<〃+。）。0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

10.（2025•全国二卷•高考真题）双曲线C:£-，=1（〃>OS>0）的左、右焦点分别为"、F1,左、右顶点

分别为4,4，以6鸟为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且NN4,M二江，则（）

6

A.幺叫=&B.|A^,|=2|AM2|

6

C.C的离心率为D.当〃=正时，四边形NAM&的面积为86

11.（2023♦新课标I卷•高考真题）下列物体中，能够被整体放入楂长为1（单位：m）的正方体容器（容器

壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2024・上海・高考真题）在（x+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为.

13.（2025•天津•高考真题）4：x-3+6=O,与x轴交于点A,与），轴交于点与（x+1）?+（），—3广=，（,.＞（））

交于C、。两点，|A3|二3|CO|,则〃=.

14.（2025•全国一卷•高考真题）有5个相向的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次，

每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望£（X）=.

（题组3）

（限时时间：40分钟试卷满分：73分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（2025・全国二卷•高考真题）己知集合人=14,0,1,2,8）.Bx3=A）,WiJAA=（）

A.{0,1,2}B.{1,2,8}

C.（2,8}D.（0,1}

2.（2024.全国甲卷.高考真题）若z=5+i,则i（5+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

3.（2024.北京・高考真题）设九5是向量，则“伍+租”5）=0"是“2=_万或2=尸的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.12025•全国一卷•高考真题）已知/（%）是定义在R上且周期为2的偶函数,当2WxK3时，f（x）=5-2x,

则U（）

A.--B.--C.7D.《

2442

5.（2024.新课标I卷•高考真题）当.一。2词时，曲线），二sinx与）=2sin,q）的交点个数为（）

A.3B.4C.6D.8

6.（2024.天津.高考真题）在如图五面体ABC-/）所中，棱ADIE,CF互相平行，且两两之间距离均为1.若

AO=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

r

DE

B

A.3B."C.3D.辿」

642242

7.（2023•新课标H卷•高考真题）已知椭圆C：9+y2=l的左、右焦点分别为％F2,直线y=x+，〃与C

交千人B两点,若面积是面积的2倍，则根=（）.

A2夜「五n_2

3333

8.（2022・新高考全国I卷•高考真题）设。=0/网力c=—ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.（2025•全国一卷•高考真题）已知VABC的面积为若cos2A+cos28+2sinC=2,cosAcos8sinC=，,

44

则（）

A.sinC=sin?A+sin?8B.=&

C.sinA+sinB=—D.AC2+BC2=3

2

10.（2023•新课标I［卷•高考真题）己知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,4/3为底面直径，ZAPB=120°,PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45。，则（）.

A,该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=2叵D.△R4C的面积为G

11.（2024•新课标I卷•高考真题）设计一条美丽的丝带，其造型）c可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过

坐标原点。.且C上的点满足:横坐标大丁-2,到点尸（2,0）的距离与到定直线x=a（av0）的距离之积为4,

则（）

A.a=-2B.点（2四,0）在。上

4

C.C在第一象限的点的纵坐赤的最大值为1D.当点（%,%）在C上时，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2024.北京•高考真题）若直线y=%（x-3）与双曲线£-丁=1只有一个公共点，则k的一个取值为

13.（2023・北京・高考真题）我国度曷衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于跌码的、用

来测量物体质量的“环权已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛q｝,该数列的

前3项成等差数列，后7项成等比数列，且4=1,%=12,%=192,则的=；数列｛q｝所有项的

和为.

14.（2024•新课标I卷•高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别

标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各

自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0

分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不

小于2的概率为.

冲刺2026年高考数学分题型专项突破

狂练小题（五）

（题组1）

（限时时间：40分钟试卷满分：73分）

三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.：2025•全国一卷•高考真题）己知集合口=卜,是小于9的正整数},A={1,3,5},则6A中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为U={1234567.8},所以64={2,4,678},”,A中的元素个数为5,

故选：C.

2.（2024•北京•高考真题）已知三=-l—i,贝ijz=（）.

1

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【答案】c

【分析】直接根据第数乘法即可得到答案.

【详解】由题意得z=i（—l—i）=l-i.

故选：C.

3.（2024.新课标【卷.高考真题）已知向量4=（0,1）,5=（23,若5_L（5-4G）,则4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求*的值.

【详解】因为江（石-甸,所以加伍-44=0,

所以万*_4ZB=0即4+/-4工=0,故x=2,

故选：D.

4.（2025•全国二卷•高考真题）记S”为等差数列{4}的前〃项和.若§3=6应=-5,则$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项4和公差d的方程求出首项q和公差d,再由等差

数列前〃项和公式即可计算求解.

3%+3d=6d=-3

【详解】设等差数列｛为｝的公差为d，则由题可得■

5%+104=-5671—5

所以$6=6q+154=6x5+15x(—3)=75.

故选：B.

5.（2025・上海・高考真题）已知事件4、B相互独立，事件4发生的概率为P（A）=g,事件8发生的概率为

=则事件Ac/S发生的概率打人心8）为（）

A.-B.—C.D.0

842

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求P（Ac8）.

【详解】因为相互独立，故P（AcB）=P（A）P（B）=gx；=；,

故选：B.

6.（2024.天津.高考真题）在如图五面体48。-力弘中，校4。石旦C/互相平行，且两两之间距离均为1.若

人。=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

n3731

42

【答案】C

【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体LMN（顶点与五面体ABC-。m一一对应）与该五面体相嵌，使得

D,N；E,M；尸重合，

因为AO〃BE〃C”,且两两之间距离为1.AD=1,BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱,

该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

1.7I1,.V3,>/3

xxlx,xx4=

V,w一阳=-YABC-HIJ=-y—-

故选：C.

B

小2。23.全国甲卷•高考真题)已知双曲线。:»叱。小。)的离心率为国。的一条渐近线与圆

*-2)2+()，-3)2=1交于A,8两点，则|43|=()

AV5R2石「36

555D考

【答案】D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由。=6则小号，/5.

解得”2,

a

所以双曲线的渐近线为丁=土2.丫,

当渐近线为y=-2x时，圆心(2,3)到该渐近线的距离d」2：2+31=芷>],不合题意:

V22+l5

当渐近线为y=2工时，则圆心(2,3)到渐近线的距离d=I2：3]=巨,

V22+l5

所以弦长"印=2必方

故选：D

8.(2024•上海•高考真题)现定义如下:当xe(〃,〃+l)时(〃wN),若/(x+l)=/'(x),则称/(刈为延展函数.

已知当xw(OJ)时，g(x)=c"且/心)=M°,且g(x)J心)均为延展函数，则以下结论()

<1)存在丁=奴+〃(/，力cR次力k。)与y=8(")有无穷个交点

(2)存在》="+〃化力£1<«/=0)与)，=〃(另有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

【答案】D

【分析】由延展函数的定义分段求出g*)，/?。)解析式，作出函数图象，数形结合可得.

【详解】当xe(L2)时，工一1£(。,1),则g(x—l)=ei,

又/。-1)二尸，则由延展函数定义可得g(x)=g\x-\)=ex-'；

同理可得，当工«2,3),g(x)=e'-2；L；

任意〃eN,当xw(〃,〃+l)时，gOeT

当xe(l,2)时，x-lw(O,l),则/小一1)=(工一|［，则/?*)=10(工一1)9；

同理可得，当xw(2,3)时，/2(X)=10X9(X-2)8；L.

当xe(9,IO)时，M.v)=10!(x-9)；

当Mx)=10!；当X£(1,12),h(x)=O;L.

则任意〃eN,11时，当x«“,”+l),/7(x)=0.

如图，作出g(“与大致图像，

因为人,。工0,如图可知，不存在直线丁=履+8与g(x)图象有无穷个交点，故(1)不成立;

又因为当xe(9,10),/z(x)=10!(x-9),

故当k=10!,。=-9x10!时，

直线y=105-9x10!与〃(力的图象在区间(9,⑼的函数部分重合，

即有无穷个交点，故(2)成立:

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式

及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.

四、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2023.新课标I卷.高考真题）有一组样木数据小工.…,儿，其中乙是最小值，儿是最大值，则（）

A.修，当，心毛的平均数等于4，工2「、大6的平均数

B.42，七，8，毛的中位数等于芭，马「"6的中位数

C.x,,x3,x4,x5的标准差不小于X"2,…，%的标准差

D.占，当，匕,毛的极差不大于4,X?’…'"6的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设占，号匕心的平均数为〃?，AW，…，%的平均数为〃，

则n_m=百+-+1+&+&+46_W+X3+X4+X5=2（%+/）一（大+电+/+/）

、6412

因为没有确定26+%），豆+赴+%+/的大小关系，所以无法判断〃?，〃的大小,

例如：1»2,3,4,5,6,可得m—n—3.5；

例如1,1,1』,1,7,可得机=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得机=2,〃=?；故A错误；

对于选项B：不妨设西工占工工3w5〈天工七，

可知天用，％毛的中位数等于5，&，…，4的中位数均为”且，故B正确；

对于选项C：举反例说明，例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=以2+4+6+8+10+12）=7,

标准差0=^1［（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（!2-7）2J=,

4.6,8,10,则平均数m=（（4+6+8+10）=7,

标准差S2=收（4-7）2+（6_7『+（8_7『+（］（）_7）2］=逐,显然普I〉石，即访）”，

所以在与，孙玉的标准差不小于不公，…,4的标准差，这--论断不成立，故c错误：

对于选项D：不妨设玉4七4王4七《北，

则鹏-西之勺一马，当且仅当再=吃，吃=无时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

10.(2024•新课标II卷•高考真题)对于函数/@)=sin2x和g(x)=sin(2x-：),下列说法中正确的有()

A./(x)与g(x)有相同的零点B.fix)与以外有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析［根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

LJI

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得即号丘Z,即为解】零点,

令g(x)=sin(2x—£)=0,解得.竺+1,&cZ,即为g*)零点：

428

显然/(x)，g(x)零点不同，A选项错误;

B选项，显然了(。皿=前工%”=1，B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(x),g。)的周期均为g=九，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质/⑶的对称轴满足2x=E+go+E，丘Z,

224

式力的对称轴满足2x——=+—<^>X=—+€Z,

显然/(外送(幻图像的对称轴不同，D选项错误.

故选:BC

11.(2025•全国一卷•高考真题)已知抛物线C：_/=6x的焦点为F,过户的一条直线交C于A,B两点,过

A作直线/：的垂线，垂足为。，过户且与直线人8垂直的直线交/于点£,则()

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\

C.|A8|26D.|AE|-|BE|>18

【答案】ACD

3

【分析】对•于A,先判断得直线/：x=-7为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断：对于B,利用

三角形相似证得乙4钻=90。，进而得以判断；对于C,利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立

直线48与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得同，

|时=|四・|明,结合焦半径公式可判断D.

【详解】法一：对于A,对于抛物线C:y2=6x,

贝Up=3,其准线方程为户弓，焦点呜,0）,

则|A。为抛物线上点到准线的距离，|AP|为抛物线上点到焦点的距离，

由抛物线的定义可知,故A正确：

对于B,过点8作准线/的垂线，交于点P,

由题意可知人。，/，石尸，八3,则NA£）£=NA依=90。,

又MORAW,\AE\=\AE\,所以VADE（§VAFE,

所以NAE£）=NA£/，同理ZBEP二ZBEF,

又ZAED+ZAEF+/BEP+NBEF=180。，

所以/行+N附'=90。，即NA£3=90。，

显然A8为△的£1的斜边，则IA臼＜|A3],故B错误；

对于C,易知直线A8的斜率不为0,

设直线人A的方程为x=my+1,A（&.y）.4（冷刈）,

联立卜+2,得y2-9=0,

I/=6x

易知A＞。，则y+%=6科。%=-9,

33

又百=冲]+耳,x2=my2+-t

2

所以|4B|-$+x2+/>=〃2（y+月）+3+3=6rn+6>6,

当且仅当/〃=0时取等号，故c正确;

对于D,在RtAABE与中，NBAE=4EAF,

则圈符即时=闷•网,

所以

同理忸目2=忸可.0臼，

又14尸|•怛尸|=（西+目（/+?=（助+3）（"叽+3）

,w?2

=>\）‘2+3切（必+力）+9=-9m+1Snr+9=9（"P+|j,

|i4B|=6m2+6=6（〃P+1）,

所以|A£『.|8£『=|B斗,尸|卜臼2=9（〃/+］卜36（/+］）\

则|AEHH©=3（〃/+lpx6（〃P+1j=18（w2+1）2>18*故D正确.

故选：ACD.

法二：对于A,对于抛物线C：V=6x,

则p=3,其准线方程为户-］焦点联,0）,

z:乙）

则|AZ）|为抛物线上点到准线的距离，|AP|为抛物线上点到焦点的距离,

由抛物线的定义可知，故A正确；

对干B,过点8作准线/的垂线，交于点P,

由题意可知则NAOE=N4庄=90。,

XIADHAF|,\AE\=\AE\,所以VADE（§VA正，

所以NAE£>=NA£7L同理ZBEP=/BEF,

又ZAED+ZAEF+/BEP+/BEF=180。，

所以乙伯卜'+/BE1；=90°,即NAEB=9()。,

显然A8为AAM的斜边，贝故B错误;

对干C,当直线A8的斜率不存在时，|A8|=2p=6：

当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为尸攵g-j，

v=^（v--I

-V=（A-2j,消去y,得炉V—（3A2+6）X+JF=O,

联立

_y2=6.r4

69

易知△>（）,则M+~=3+正小事=彳，

k4

2

所以\AB\=\l\+k|xf-x2\=Jl+/xJ（X]+.）2—4X然2

3+U（1

=\\+k2x-9=61+F>6,

k2

综匕MBI>6,故C正确:

对于D,在RtAABE与RL4阶中，ZBAE=ZEAF,

所以RSA班〜RSAEE则相=耨，即|Afif=|人尸|.同川,

同理忸同2=忸尸|.|明,

当直线A8的斜率不存在时，|人回=6,|AP|=|34=5|A3|=3；

所以|AE『.忸冏2=忸尸卜|4户H4Bf=3x3x62,即|蜴.|明=18；

当直线48的斜率存在时，|4用=6（1+卷），

M,忸止卜+2（々+|,（玉+占）+:

9933〃6199f,11、

=—+-I3H-71+一=n9|]—T，

422（k1）44Ik2）

所以M同2.|阿=忸目.|44|阴2=9（1+*>36（1+/）,

3

则网•忸同=3（1+/jx61+土2>18：

综上，|阳・|阳218,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2025•北京•高考真题)已知(1一2x)“=%-2〃小+4%/一86丁+16々4/，则为=；

q+4+4+%=•

【答案】I15

【分析】利用赋值法可求旬，利月换元法结合赋值法可求4+出+4+4的值.

【详解】令x=0,则4=】，

又(1-2x)4=%-2qx+赳/-吼/+1,

4234

故(1-2x)=4+4(-2x)+a2(-2x)+a3(-2x)+a4(-2x),

424

令/=-2x,则(1+f)=4+印+a2t+«/+a4t,

令/=1,则/+%+42+43+6=24,故q+%+%+2=15

故答案为：1,15.

?f/(x)，xN0

13.(2024・上海・高考真题)已知/(幻二厂,g(x)=、八，求以幻《2-.1的x的取值范围______.

【答案】(0』

【分析】分xNO与x<0两段求解二次不等式可得.

r2>()

【详解】根据题意知以幻=，一八.

-x~,x<0

当工NO时，g(x)«2-x,即/+厂2«0,解得则有OKxKl；

当工<()时，g(x)<2—x,即_/+》一240,xeR,即xv()时，不等式g(x)<2-x都成立.

综上所述，以用工2-1的.1的取值范围为(-00』.

故答案为：

14.(2025•全国二卷•高考真题)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)

内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

【答案】2.5

【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；

【详解】

圆柱的底面半径为4cm,设铁球的半径为r,且厂<4,

由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,

即4/—68—+145=(2r一5)(21-29)=0,Vr<4,

r=2.5.

故答案为：2.5.

(题组2)

(限时时间：40分钟试卷满分：73分)

三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.(2025•北京・高考真题)已知复数z满足i.z+2=2i,则|z|=()

A.y/2B.2\/5C.4D.8

【答案】B

【分析】先求出复数z,再根据复数模的公式即可求出.

【详解】由i・z+2=2i可得，z=V&=2+2i,所以忖=在方=2及，

故选：B.

2.(2025・天津•高考真题)S'二T『+8〃，则数列｛|凡|｝的前12项和为()

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由题设结合%=S“-S-求出数列乩｝的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.

【详解】因为S,尸-〃*+8〃，

所以当〃=1时，4=S[=-F+8X1=7,

当〃之2时，an=Sn-S,-=(一〃2+8〃)一[一(〃-1)，+8(〃-1)]=一2〃+9,

经检验，4=7满足上式,

所以二一2〃+9（〃€N*）,令4“=-2〃+920=〃W4,an--2n4-9<0=>w>5,

设数列电』｝的前〃项和为0，

则数列｛|。』｝的前4项和为4=S4=-4?+8x4=16

数列｛⑷｝的前12项和为

(2=.|+|42|+一.+|42|=4+叼+4+44一%一4----%2

故选：C

3.（2024.新课标II卷.高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块

稻田的亩产量（单位：kg）并整理如卜表

亩产[900,[950,[1000,[1050,[1150,

[1100,1150)

量950)1000)1050)1100)1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.10（）块稻H］亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对干B,亩产量不低于1l（）（）kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为吗»=66%,故B错误；

对干C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确:

对于D,由频数分布表可得，平均值为

—x(6x925+12x975+18xl025+30x!075+24xl125+10x1175)=1067,故D错误.

I(X)

故选；C.

4.(2023•全国乙卷・高考真题)已知0。的半径为1,直线附与。。相切于点A,直线P8与交于&C

两点，。为8C的中点，若|PO|=JL则西•历的最大值为()

A.匕也B.匕述

22

C.1+&D.2+&

【答案】A

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得西.丽=；-噂

22V4)

或西.丽=5+4力120+工］然后结合三角函数的性质即可确定苏.丽的最大值.

4J

【详解】如图所示，|OA|=1,|(9P|=V2,则由题意可知:NA尸O=：,

当点A。位于直线PO异侧时或PB为直径时，设40PC=a,0f,

则：班而=|明，|而即卜+?

=lxV2cosacosa+—

I4j

=cos'a-sinacosa

I+cos2aI._

-----------sin2a

22

0<<7<—,则一工K2a-2〈工

4444

7T

当点A0位于直线加同侧时'设“"=/。“＜丁

7T

则：PA.PD^PA