高考定积分应用常见题型大全

高考定积分应用常见题型大全

一.选择题（共21小题）

（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好

取自阴影部分的概率为O

A._1B[C._1D._1

4.5&7

1.（2010山东）由曲线尸x2,y=x3围成的封闭图形面积为（）

A.!BJ

12.4312

-EE,1]

3.设f（x）=（2—“豉幻，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为

（）

A._B4C.直D.§

45&7

ds

4.定积分'K的值为（)

A.B3+1112C.3lii2D.6+1112

5.如图所示，曲线y=x2和曲线y=，fX围成一个叶形图（阴影部分），其面积是

)

c.aD.返

32

Ji

6.=()

A.nB2C.nD.4

7.已知函数f(x)的定义域为[2,4],且£(4)=f(2)=1,廿(x)为f(x)的导函数，函数丫=①(x)

的图象如图所示，则平面区域f(2a+b)<l(a>0b>)所

围成的面积是()

C.5D.8

2

8.Jiexdx与Jiexdx相比有关系式()

A.ZB.2

Jiexdx<jiexdxJiexdx>Jiexdx

(Jiexdx)2=Jiexdx<Jiexdx=Oiexdx

J《sinsdz]

9.若a=寻，b=Ba>b.C.a=bD.a+b=O

rCQd\Ma与b的

关系是()________________________

10.J秘山-(x—1)2-

一》)心的值是0

A.兀_1B兀__1c.兀_1D.2£_1

743232-

丁此X>1

11.若f(x)=US：1.MV1”为自然对数的底数)，则Cm)ds_

()

A.1B1c.J.D.1

2+e2e•瓦Ne2+o2+02e

if(真)ds=

12.已知f(x)=2lx,|则」L()

A.3B4C.3.5D.4.5

13.设f(x)=3|x11,则工2f(x)dx=)

7B8

AC.7.5

14.

AC.ni2D.2na

COSX./兀一一

f(x)二-亏VK。

15.已知函数一工+L的图象与X轴所围成图形的面枳为

（）

D.3/2

A1/9C.2

3儿

16.由函数y=cosx（0《X《2）兀的图象与直线'及y=l所围成的一个封闭图形的

画超号打）11c.丸I

]D.2n

17.曲线y=x3在点（1,1）处的切线与x轴及直线x=l所围成的三角形的面积为）

A.B1C._1D._1

12.62

18.图中，阴影部分的面积是（

C.20D.22

19.如图中阴影部分的面积是（

R9-2A/3c.32D.竺

.T3

y=sin(K_(OWK当

20.曲线44与坐标轴围成的面积是()

_2B2-2C..2D.2_.2

k

21.如图，点P(3a,a)是反比例函y=x(k>0)与。O的〜个交点，图中阴影部分

高考定积分应用常见题型大全(含答案)

参考答案与试题解析一•选择题(共21小题)

1.(2012福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好

取自阴影部分的概率为()

4・5&7

考定积分在求面积中的应用；几何概型.501974

占•

八•

专计算题.

题：_

分根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与)=-芝围

析：成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案.

解解：根据题意，正方形OABC的面积为1x1=1,

答：堂立丈]

而阴影部分由函数y=x与y=M围成，其面积为J1(M

x)dx=3〃2)01=:

11

则正方形OABC中任取一点P,点？取自阴影部分的概率为1:快

故选C.

点本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求

面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分

评：的面积.

(--.一.・・・〜•/•一-•••・cFj•-TJ•一_・.•,••/r—»■,•z▼、/

A.!B[C._1D.J

12.4312

考定积分在求面积中的应用.501974

点：

专计算题.

题：

分要求曲线y=X2,y=X3围成的封闭图形面积，

根据定积分的几何意义，只要求01(x2

析：X3)dx即可.

解解：由题意得,两曲线的交点坐标是(1,

1),(0,0)故积分区间是。1]

答：-XI

所求封闭图形的面积为6(X2X3)dx

341Z,

故选A.

点本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲

线围成封闭图形的面积.

评：

乂、xE[o,1]

2.设f(x)=C-%EE(L2],函数图象与

x轴围成封闭区域的面积为

0

A.B虺C.查D.6

4.5&7

考分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应

点：用.501974

专计算题：数形结合.

分利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定枳分的公式，分别对两部分用定积分求出其

析面积，再把它们相加，即可求出国成的封闭区域曲边图形的面积.

解

解：根据题意作出函数的图象：

答

根据定积分，得所围成的封闭区域的面积

（2-x）dx=-+（2-[

S=u1□zb

故选c

评：题.解题关键是期濯素翻楙粼的瞿盥懒备网运用，考查积分与西边图形面积的关系，属于中档

J-2）+七dx

3.定积分的值为（）

A.9B3+ln2C.3ln2D.6+ln2

4.

考定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用.501974

点：

专计算题.

题：

分由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可.

析：

解s2(2s+-)ds

答：解：1里=(x2+lnx)(2=(22+ln2)(12+lnl)=3+1n2

故选B.

点本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于

I.~~评：基础题.

如图所示，曲线y=x2和曲线y=L%围成一个叶形图(阴影部分)，其面积是

D.

考定积分；定积分的简单应用.501974

八占•

专计算题.

题：—

分联立由曲线y=x2和曲线〃荃两个解析式求出交点坐标，然后在x6(0,1)区间上利

析：用定积分的方法求出围成的面积即可.

答仔/

：解：联立得•护％

(K=l(2=0

解得•斤1或•疔°,

设曲线与在线围成的面积为S,

贝ljs=oi(MX2)dx=3

故选：C

点考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力.

A.D.

考微积分基本定理；定积分的简单应用.501974

点：

专计算题.

题：

分

析:由于F(x)=Mx2+sinx为f(x)=x+cosx的一个原函数因F(x)=f(x),根据Jbf(x)

dx=F(x)[b公式即可求出值.3

解：/(-x2++sinx),=x+cos,x

2(x+cosx)dx

=(&2+sinx)2

=2.

故答案为：2.

点此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是•道基础题.

评：

7.已知函数f(x)的定义域为[2,4],且-4)=f(2)=1,廿(x)为f(x)的导函数，函数y=f，(x)的图象如图所示，则平面区域

f(2a+b)<l(a>0b〉)所围成的面积是()

考定积分的简单应用.501974

点：

分根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、匕满足的条件，画

析：出平面区域，即可求解.

解解：由图可知［2,0)上f'(x)<0,

答：函数f(x)在［2,0)上单调递减，(0,4］±f(x)>0,

•函数f(x)在(0,4］上单调递增，

-2<2a+b<4

故在［2,4］上，f(x)的最大值为f(4)=f(2)=1,

/•f(2a+b)<l(a>0b»表示的平面区域如图所示：故送B.点木题考查了导数与函数单调性的关系,

以及线性规划问题的综合应用，属于高档题.解

点本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题.解

评：决时要注意数形纨合思想应用.

8.Jiexdx与dx相比有关系式（

A.JiexZB.z

Jiexdx<dxJiexdx>,

Jiexdx

CJiexI).

(Jiexdx)JiexdxJiexdx=Jiexdx

考定积分的简单应用；定积分.501974

卢.

专计算题.

题：

2

分根据积分所表示的儿何意义是以直线x=0,x=l及函数y=ex或y=ox在图象第一象限

露内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可.

答

解：Jiexdx表示的几何意义是以直线x=0,x=l及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与坐

pl意义是以直线x=0,x=l及函数尸ex在图象第一象限内圆弧与

［积如图

Zz

・.，当

0<X<1,故有:Jiexdx>Jiexd

时，故选

exx>ex3.x

点本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利

评：用几何意义进行求解，属于基础题.

JKsinsdz]

9.若@=寻，b=[OCQd\则a与b的关系是()

占A.a<bBa>bC.a=bD.a+b=O

专

题：定积分的简单应用.501974

分

析：计算题.

Jnsinsds|叮7T

解a=3=(cosx)2=(cos2)(cos)=cos2«sin24.,6°

口,,?ncossds.n

b=U=sinxU=sinlsm0=sml«sm57.3

JKsinsdzn71

解：/a==(cosx)2=(cos2)(cos)=cos2功

cosl14.6=sin24.6°

,rIcossds.I1

b=U=sinxU=sinlsin0=sinlsin57,.3°

b>a.

故选A.

点本题考查定积分的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

评:

A.2L-1B2LTC.2!D.兀

41・41212

弩途新褥的简单应用.501974

弼

方

脚4J(X)dx=(2+x)dx+Jn(2x)dx.

由题意，11°由此可求定积分的

分

值:....................................................方一象限内圆弧与抛物线

解：解X2前藕意象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象

答J飒阴险把1物厚钞”(哪船押除磅辔1%dx(NE号/)I-i+

解解；枳分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心，I为半径第一-象限内圆弧与勉物线

答：y=X2在第一象限的彳邪标呼成的面积，

故只需求出圆的111英乘以例1分吆2号施物线在第一象限的部分与X轴和直线x=l围成的图形

故选J面积之差.

本觑善犍定稹分苗杂鼠辨盘的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和.

故答案选A

点本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利

评：用几何意义进行求解，属于基础题

13.设f(x)=3x7i,则j22f(x)dx=()

A-巳\x刈8C.7.5D.6.5

11.若f(X)=U.L(6为自然对数的底数)，则dx

()

4-

BD

le2ele02+e

考定积分的简单应用.501974

点：

专计算题.

题,

分.由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到

+二结论.

J：解：

Spf(K)dx_jL郁二+SI(-eK

故选C.

本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积

分.

L,J-if(Dds=

12.已知f(x)=2|x,|则LO

A.3B4C.3.5D.4.5

考定积分的简单应用.501974点

考定积分的简单应用.501974

点：

专计算题.

J22f(x)dx=J22(3|x1|)dx,将J22(3|x1|)dx转化成

J21(2+x)dx+[2(4X)dx,然后根H定积分的定义先求出我积函数的

原函数，然后求解即可.

1

解：板；以)dx=®(3lx1|)dx=n(2+x)dx+[2(4x)dx=(2x+Wx2)®+

(4x2x2)12=7

故选A.

本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属「基础题.

考定积分的简单应用；定积分.501974

占.

专计算题.

题：

分'一

析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数尸，己二与X轴所围成的图

形的面积，围成的图象是半个圆.

pa02J

解：根据定积分的几何意义，则-a-a-尽嚎示圆心在原点，半径为3的圆的

上半圆的面积，

故％.二虹事〃号”

故选B.

本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想.属于基

础题.

点本题考杳余弦函数的图象，定积分，考杳计算能力，解题的关犍是两块封闭图形的面积

评：之和就是上部直接积分减去下部积分.

17.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=l所围成的三角形的面积为

点

评D._l

考定枳分在求面枳中的应用.501974

点：

专计算题.

题：

分欲求所围成的三角形的面积，先求出在点(1,1)处的切线方程，只须求出其斜率的值

析：即可，故要利用导数求出在x=l处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从

而问题解决.

解解："y=x3,

答：.・.y'=3xi,当x=l时,y'=3得切线的斜率为3,所以k=3;

所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：

yl=3x(x1),即3xy2=0.

令y=o得：x=',

切线与x轴、直线x=l所围成的三角形的面积为：

1_21

S=2x（13）xl=6

故选B.

席本献声^度嘉髓的斛率、导数的几何意义、利用导数研究曲线卜.某点切线方程等某

A.16B18C.20D.22

考定积分在求面积中的应用.501974

八占■、•.

专计算题.

题：

分从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2,2）,（8,4）.过（2,2）作x

析：轴的垂线把阴影部分分为S『S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影

部分的面积.

解解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2,2）,（8,4）.过（2,2）

作X轴的垂线把阴影部分分为S『S2两部分，分别求

出它们的面积AFA2：A〃呃-（-福）]dx=2丁而

dx=?

is

A广如贝一J*）]dx=3

16!3S

所以阴影部分的面积A=Ai+A2=33=18

故选B.

点本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部

19.评：分积分为负（枳分的几何意义强调代数和），属于基础题.考查

学生利用定积分求阴影面积的方法的能力.

20.如图中阴影部分的面积是（）

B9-2^3C.32D.35

考定积分在求面积中的应用.501974点

专计算题.

题分求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和析即可.

解解：直线y=2x与抛物线尸3X2解得交点为（3,6）和（1,2）

答抛物线y=3x2与x轴负半轴交点（必，0）

:设阴影部分面积为s,贝L

s=r（3-I2-2K）d,+J七扼（3-撰）％-J写2崩工+J戋（3-/）言十2如+9-

2-3

32

所以阴影部分的面积为3,

故选C.

点本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割,关键是要注意在x轴下方的

部分评积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题.

y=sin（K-

21.曲线4_4与坐标轴围成的面积是（）

A.B2-五C..:D.2_2

考定积分在求面积中的应用.501974

点：

专计算题.

题：

分3兀

析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为D,积分上限为4,从而利用定积分表示出曲边梯

形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.

解解：先根据题意画出图形，

答：3兀

得到积分上限为4,积分下限为0

y=sin（K-（。＜甚《号

曲线44与坐标轴围成的面积是：

7T兀、TC3JT./TT

sinLz-----J—sinIKJ

S=[4[4)dx+1444dx

围成的面积是

故选D.

22.点本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查

碰形好您想N）期编那展混料分瓯胸嘏腹缄中庐缔瞬版魁牝例函皿解析式

c.12D.27

y=Xy=X

考定积分在求面积中的应用.501974

点：

专计算题；数形结合.

题：

分A

析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等十圆的面积的2,即

可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象匕以及在圆匕即可求得k的值.

解：设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得:

解得：1=2而.

k

.••点P(3a,a)是反比例函y=x(k>0)与。0的一个交点.

(Sa)2+占

3a2=k且V

32=10x(2・W)2=4.

…k=3x4=12,

则反比例函数的解析式是：y=乂.

故选C.

点本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的

评：对称性得到阴影部分与圆之间的关系.

微积分习题集带参考答案

1.一、填空题(每小题4分,本题共20分)

2.函数曲)川4)的定义域是(2,1)(1,4].

InX2)

sin4x

3.若Im—2,则k2.

xokx

4.曲线yex在点(0,1)处的切线方程是yxl.

5.一eln&2l)dxo

dxi

6.微分方程yy,y(0)1的特解为yex.

7.6函数f(x2)x24x2,~ijf(x)x26.

当xo时,f(x)xsin为无穷小量.

x

8.若y=x(xl)(x2)(x3),则y(1)=

9.1(5x33x1)dx2.

10.微分方程yy,y(0)1的特解为yex.

11.函数**1)X22x,则f(x)X2

12.limxsin!

13.曲线y<i在点1,1)处的切线方程是y2x

14.若f(x)dxsin2xc,则f(x)4sin2x.

15.微分方程(y)34xy(5)yicosx的阶数为5.

16.函数f(x2)X24x7,Aijf(x)x23.

X)2x0—,

17.若函数f(x)”，在x0处连续，则'k2

k,x0—

18.函数y2(x1)2的单调增加区间是L1.).

19.0e2xdx

20.微分方程(y»4xy(4)

y5sinx的阶数为4.

21.设函数f(x2)X24x5,则f(x)X21.

•2.o

c,、xsiFk,x0-*

22.设函数f(x)x在x=0处连续,则k=二.

23.曲线f(x)ex1在(0,2)点的斜率是L

1

24.(5X33X2)dx4.

।

25.微分方程xy(y)2y40的阶数是一3.

26.函数f(x)1b嚏J库又域答案：x2且x3.

27.函数f(x)X2的定义域是..答案:

lnx2)

(2,函殿0]3(x1)2的单调增加区间是.答案:1,)40.函数£(x)ax21

族曾魁鸿单调黝，贴摘羯

.答案：f(x)x23

•3—o

29.若函数f(x)j"：xO.0处连续，则k.答案：

k,x0

k1

30.函数f(x1)X22x,则f(x)_.答案：f(x)x21

X22x3,

31.函数v----一的间断点是.答案：x1

x1

32.limxsin!.答案：1

xX

...sin4x

33.若lim—2.则k.答案：k2

xosinkx

s1

34.曲线f(x)盘1在1,2)点的切斜率是.

.答案：2

35.曲线f(x)ex在(0,1)点的切线方程是.答案:yxe

已知f(x)x33x，则f(3)=_.答案:f(x)3x23xln3,

f(3)=27(1ln3)

37.已知f(x)lnx,则f(x)=.答案：、

x

f(x)=-1

X2

38.若f(x)xe>则f(0)•答案:f(x)2exxex

f(0)2

40.函数f(x)ax21在区间(0,)内单调增加，则a应满足.

案：a0

二、单项选择题(每小题4分，本题共20分)

L股倒数数乐sinx,则密函数是耶奇非偶函数D.既奇又偶函数

x2k,2,Q

2.当k(时，函数f(x)0在XO处连续.

A.OB.102D.

3.下列结论中1(C)0

A.f(x)在正确.

B,函数的极值点一篦展螫在Bl爱隼产°处可微，

「f(x)在xx0处不连续，则一定在x0处不可导.

D-函数的极值点一定发生诧不可导点上.

4.下列等式中正确的是］

B.Inxdxd仁

A.sinxdxd(cosx),,,x

1

C.axdxd(ax)田d(2]x)

.盘

「湖A士、Ay5sinx的阶数为(

5.微分方程(y)34xyC.4;B)

A.2；B.3；11),5

6.数f(x)E的定义域是©

A.1,B.(0,1)1,)C.1,2)(2,

D.(0,2)(2,

7.曲线ye2x1在x2处切线的斜率是(D).

A.2B.e2C.e4D.2a

在下列结论正确的有(B).

岩足©的幽事点，肱蟠(例破值则必有

uB・)3fK)f(x)o=0

C.X。是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点

§：下列无穷积分收敛的是(A).

使f(x)不存在的点x0,一定是f(x)的极值点

—Ldx

A.e2xdxB.vx

C.idW

D.sinxdx

o

ix

10.微分方程(y)3y(4)cosxy,lnxLHP介数为①

1.x3lim

X2x6(x3)x2)

95

limlim4)

x2X24x2(X2)X2)

A.1;B.2;C.3;D,-1

D).

LA：非奇非偶函解琳邰哭偶函嗷则该c.偶而勺数D.奇函数

函数是(

筱当x。时，下列变量中为无穷小量的是(

.1sinx、

A「xBC.Inix)D.

XX2

13.下列函数在指定区间()上单调减少的).

A.cosxB.5X2D2x

InxC.

14.设f(x)dx—cxf(x)(C).

Inx

—1InxC.

BX28ln2

x)是线性微分方程.

15.下列微分方程中(AyInxB.YYXY2

A.ysinxyexCx

八Iny

C.yxyeyD.yX2

则该函数是(B).

16T曙霰,inxB.偶函数c.非奇非偶函数D.既奇乂偶函数

17.当下列变量为无穷小量的是(A).

Asirxxsih-

A.*B.Inix)C.xD.

18.若函数f(x)在点：《。处可导，则)是错误

(华函数f(X)在点X。处连续

D.limf(x)A,但Af(x)

L0

19.点函数幼长d隹熊洛，翅有1铠或dx

(C).

C.函数f(x)在点X。处可微

33_

A-x2—x2c2B.x2x

123—

CxD.-x22—X2C3

)

20.下列隼分方程中为可分离变量方程的是(Bdy

力y*ln(xy)；电dydx”

C.7U^(

exey；D.InXy)

21.函数yInx的定义域为(D

~4

A.x0Cx0同x1D.0且4

B.x1e对应.点处的切线方程是

f(x)Inx在xCx).

22.曲线i

A.yB.7

23.下列等式中正确的是(D).

e

d(!)C.

A.sinxdxd(cosx)

B.Inxdxxaxdxd(ax)

-Adxd(2jx)

<x

24.下列等式成立的是(A)

A.勺f(x)dxf(x)

dxB.f(x)dxf(x)C.df(x)dx

D.df(x)f(x)

(B)

25.下列微分方程中为可分离变量方程的是dy

.y：B..xyyC..xysinx；D.

△Adydxv；dx

A.T

x)

dx

dy24(区函数y—则该函数是(B)

dx

A.奇函数B.偶函数C非奇非偶函数D.既奇又偶函数

27.下列函数中为奇函数是(.).

ex

A.xsinxB_exC.ln&x2)D,xX2

2

28,函数y彳lnx5)的定义域为(

A.x5B.x4c.x5且x0I),x5且

4i)x1,则f(x)(C)

3)2

29.设.2

B.Cx(x2)I),(x2)X1)

A.x(x2,

30,当(I))时，函数f(x)o处连

k,

k续.

A.0BC.2D.

31,当(B)时，函数f(x)在x0处连续.

k

A.OBC.2D.