安徽省长丰县高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用（2）教学设计 新人教A版选修1-2

PAGE课题安徽省长丰县高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（2）教学设计新人教A版选修1-2设计意图本节课旨在通过回归分析的基本思想及其初步应用，让学生了解并掌握线性回归模型的建立过程，培养学生运用数学工具解决实际问题的能力，同时培养学生的数据分析观念和逻辑思维能力。通过本节课的学习，学生能够学会如何运用回归分析解决实际问题，提高学生的数学素养。核心素养目标分析本节课培养学生数学建模的核心素养，通过线性回归分析的实际应用，让学生体会数学在解决实际问题中的价值。同时，加强数据分析观念的培养，提高学生运用统计方法分析数据的能力，以及逻辑推理和数学运算的能力。通过本节课的学习，学生能够理解回归分析的基本原理，并能将其应用于解决实际问题，从而提升学生的核心素养。重点难点及解决办法重点：线性回归方程的建立与应用。

难点：线性回归方程的系数估计及模型检验。

解决办法：1.通过实例引导学生理解回归方程的推导过程，强化对回归系数含义的理解。2.利用计算机软件或图形计算器进行系数估计，帮助学生直观感受回归方程的应用。3.通过实际数据验证回归方程的拟合效果，培养学生进行模型检验的能力。4.设计问题情境，引导学生运用回归分析解决实际问题，突破难点。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有新人教A版选修1-2《统计案例》教材。

2.辅助材料：准备与线性回归分析相关的案例数据、图表、模型建立过程的视频或动画演示。

3.实验器材：准备统计软件或图形计算器，以辅助学生进行系数估计和模型检验。

4.教室布置：创建分组讨论区，设置实验操作台，确保学生能够在小组合作中完成学习任务。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一组关于房价与面积关系的新闻报道或图表，引导学生思考如何分析这两者之间的关系。

2.提出问题：引导学生思考如何运用数学方法来描述这种关系，激发学生的学习兴趣和求知欲。

二、讲授新课（20分钟）

1.线性回归方程的建立（10分钟）

-讲解线性回归方程的背景和意义。

-介绍线性回归方程的数学模型，包括回归系数和常数项的含义。

-通过实例讲解线性回归方程的推导过程。

-学生跟随教师一起推导线性回归方程。

2.线性回归方程的系数估计（10分钟）

-介绍最小二乘法原理和系数估计方法。

-讲解如何使用计算机软件或图形计算器进行系数估计。

-通过实例演示系数估计的过程。

三、巩固练习（15分钟）

1.学生独立完成教材中的练习题，巩固对线性回归方程的理解和应用。

2.教师巡视课堂，解答学生在练习中遇到的问题。

四、课堂提问（5分钟）

1.教师针对教材中的难点，提出相关问题，引导学生深入思考。

2.学生分组讨论，尝试解决问题。

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师引导学生回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

2.学生提问，教师解答，巩固学生对知识的理解。

六、解决问题及核心素养能力的拓展（5分钟）

1.教师提供实际问题，引导学生运用线性回归分析方法解决。

2.学生分组讨论，提出解决方案。

3.教师总结学生的解决方案，强调核心素养的重要性。

七、课堂总结（5分钟）

1.教师对本节课所学内容进行总结，强调线性回归分析的应用价值。

2.学生分享学习心得，提出自己的疑问。

总计用时：45分钟拓展与延伸六、拓展与延伸

1.拓展阅读材料：

-《线性回归分析的原理与应用》

-《多元线性回归分析在经济学中的应用》

-《统计软件在回归分析中的应用案例》

2.课后自主学习和探究：

-学生可以尝试使用统计软件（如SPSS、R等）进行回归分析，实际操作数据的收集、处理和分析。

-引导学生思考如何将线性回归分析应用于其他领域，如心理学、生物学、社会学等。

-鼓励学生查找相关案例，分析案例中如何运用线性回归分析解决问题。

-学生可以尝试对非线性回归模型进行初步了解，如多项式回归、指数回归等，探讨其在实际问题中的适用性。

-鼓励学生参与研究项目，将线性回归分析应用于解决实际问题，提升学生的研究能力和创新思维。

-学生可以阅读相关文献，了解回归分析的发展历程和最新研究成果，拓宽知识面。

3.实用性拓展：

-学生可以收集家乡的气象数据，如温度、湿度、降雨量等，利用线性回归分析预测未来天气变化。

-通过分析股票市场的数据，运用线性回归分析预测股价走势，培养学生对金融市场的基本认识。

-学生可以选择自己喜欢的体育项目，分析运动员的生理指标，运用线性回归分析评估运动员的训练效果。

-在环境保护方面，学生可以收集河流水质数据，运用线性回归分析探讨污染物排放与水质之间的关系。典型例题讲解例题1：某地区近五年每年的GDP（单位：亿元）如下表所示，请建立GDP与年份之间的线性回归模型，并预测第六年的GDP。

年份12345

GDP100150200250300

解：首先，将年份转换为连续变量，即年份-2。然后，使用最小二乘法计算线性回归方程的系数。

年份-2-1123

GDP100150200250300

计算得到斜率b=(3*300-2*250-1*200+0*150-(-1)*100)/(3^2-2^2-1^2+0^2-(-1)^2)=50/12≈4.17

截距a=300-4.17*3=263.51

线性回归方程为GDP=4.17(年份-2)+263.51

预测第六年的GDP，将年份6代入方程中：

GDP=4.17(6-2)+263.51=4.17*4+263.51=16.68+263.51=280.19（亿元）

例题2：某商品的价格（单位：元）与销量（单位：件）之间的关系如下表所示，请建立价格与销量之间的线性回归模型，并预测当价格为200元时的销量。

价格5060708090

销量200180160140120

解：使用最小二乘法计算线性回归方程的系数。

价格5060708090

销量200180160140120

计算得到斜率b=(-120+180-160+140-200)/(-40+20-10+10-40)=-10/0=无定义

由于斜率无定义，说明价格与销量之间可能存在非线性关系。因此，可以考虑使用其他类型的回归模型，如多项式回归。

例题3：某城市近三年的居民收入（单位：万元）与消费支出（单位：万元）之间的关系如下表所示，请建立收入与消费支出之间的线性回归模型，并预测当收入为8万元时的消费支出。

年份123

收入567

消费456

解：使用最小二乘法计算线性回归方程的系数。

年份123

收入567

消费456

计算得到斜率b=(6*6-5*5-4*4)/(6^2-5^2-4^2)=1

截距a=6-1*6=0

线性回归方程为消费=1*收入

预测收入为8万元时的消费支出，将收入8代入方程中：

消费=1*8=8（万元）

例题4：某公司近五年的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表所示，请建立销售额与广告费用之间的线性回归模型，并预测当广告费用为20万元时的销售额。

年份12345

广告510152025

销售100150200250300

解：使用最小二乘法计算线性回归方程的系数。

年份12345

广告510152025

销售100150200250300

计算得到斜率b=(300*25-250*20-200*15-150*10-100*5)/(25^2-20^2-15^2-10^2-5^2)=500/30≈16.67

截距a=300-16.67*25=300-416.75=-116.75

线性回归方程为销售额=16.67*广告费用-116.75

预测广告费用为20万元时的销售额，将广告费用20代入方程中：

销售额=16.67*20-116.75=333.4-116.75=216.65（万元）

例题5：某品牌手机近三年的销售量（单位：台）与销售价格（单位：元）之间的关系如下表所示，请建立销售量与销售价格之间的线性回归模型，并预测当销售价格为3000元时的销售量。

年份123

价格200025003000

销售1000800500

解：使用最小二乘法计算线性回归方程的系数。

年份123

价格200025003000

销售1000800500

计算得到斜率b=(500*3000-800*2500-1000*2000)/(3000^2-2500^2-2000^2)=-100/50=-2

截距a=500-(-2)*3000=500+6000=6500

线性回归方程为销售量=-2*价格+6500

预测销售价格为3000元时的销售量，将价格3000代入方程中：

销售量=-2*3000+6500=-6000+6500=500（台）板书设计①线性回归分析的基本思想

-因变量与自变量之间的关系

-线性回归方程的建立

-最小二乘法原理

②线性回归方程的推导

-线性回归方程的形式

-残差平方和

-斜率b的计算公式

-截距a的计算公式

③线性回归方程的应用

-模型拟合优度检验

-预测新数据点的值

-回归系数的经济学解释

④案例分析

-案例背景介绍

-数据收集与处理

-模型建立与检验

-预测结果分析

⑤练习题解法提示

-使用统计软件或计算器

-数据处理步骤

-计算公式应用

-结果解释与验证反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际案例，让学生在解决实际问题的过程中学习线性回归分析，提高学生的应用能力。

2.利用多媒体技术，通过动画演示线性回归方程的推导过程，增强学生的直观理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.部分学生对线性回归方程的推导过程理解不够深入，需要加强基础知识的讲解和练习。

2.在课堂讨论环节，学生的参与度不够高，需要激发学生的积极性和主动性。

3.教学评价