圆锥曲线压轴题30题参考答案

圆锥曲线压轴题30道参考答案

1.（2021•江苏盐城市•高三二模）已知直线/：y=戈+〃2交抛物线。：;/=4%于4,3两点.

（1）设宜线/与x轴的交点为T.若AT=2TB，求实数次的值；

（2）若点M,N在抛物线C上，且关于直线/对称，求证：A,8,",N四点共圆.

【答案】（1）加=一8；（2）证明见解析.

【分析】

⑴设）,8（乙,%），直线方程代入抛物线方程后由判别式得〃?的范围，由韦达定理得Y+必，,）'2，

再由向量的数乘可得*+2%=0,结合韦达定理可得）目必，相直；

（2）设加（巧,%），'（王，%），由对称性得为二-4”，x4=-4-2m~x3.再由M,N在抛物线上，代入变

形得力与加的关系，然后计算得

同理N4_LN8,得证四点共圆.

【详解】

y=x+rn.

解：由＜,,得）,2一"+4掰=0・

»=4x.・

设,4（百,凶）3（芍,必）

贝|」.％+）’2=4,凹必二4"2.

因为直线/与C相交，

所以A=16-16m＞0,

得加＜1.

（1）由AT-ZTTr得y*2%=0，

所以4+%=0,解得%二-4,

从而y=8,

因为乂%=4〃7，

所以4,片-32,解得相二-8.

⑵设用（不，必），'（工4，”），

因为两点关于直线y=对称，

N一%=尤一％=4[

则。一刍支_岂乂+%

44

解得/=一4一%.

又立山=3+机

22

于是土2必=北旦+加

22

解得七二-4-2m一当.

又点N在抛物线上，

十是（-4-％广4（-4-2心3）.

因为）'3J4X3，

所以为2+4丫3+16+4/72=0,

于是M4Mg=（百一七）（%一七）+（X一%）（%一）’3）

=4_争（展¥）（%-%）日㈤

=（…乎-叫（、­）（%「86]

=灯”与比+%（“+%）+%"6

1O

=上喑3（4〃7+4%+），产16）=0

因此

同理NA1NB,

于是点M,N在以A8为直径的圆上，

即A8,M,N四点共圆.

【点睛】

方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为

A（N，X）,A（X2，），2），直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得,+乃，,必，再利用向量的线性运算

求得州，）’2关系，从而可求得）卜力，加值.

22

2.（2021江苏高三专题练习）椭圆C：0+表•=l（a>b>0）的左右焦点分别为耳（-2,0）、6（2,0）,

且椭圆过点A（2,、历）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点。作两条相互垂直的直线4、4，4与椭圆交于用，N两点，4与椭圆交于p，Q两点，求

证：四边形/WQNP的内切圆半径〃为定值.

22

【答案】（1）-4-^=1;（2）证明见解析.

84

【分析】

（I）先利用椭圆的定义求得”，再根据椭圆的左右焦点为£（一2,0）、巴（2,0）得到c即可.

（2）当4的斜率为±1时，四边形MQNP为正方形，求得kM=k\，|即为内切圆半径；当乙的斜率不等于±1

时，设Q（&yJ,N（i，%），直线QN的方程为>，=依+1,代入椭圆方程，根据/NOQ=90。，即

V2+yiy2=O,结合韦达定理求得A,/的关系，再由原点到直线的距离求解・

【详解】

（1）因为椭圆的左右焦点分别为耳（一2,0）、6（2,0）,且椭圆过点A仅⑹，

所以2〃=卜闻+.月|=虚+Jl6+2=4夜,

所以4=2上，

又c=2,得〃=2,

22

所以椭圆的标准方程为：—+^-=1.

84

（2）如图所示:

当4的斜率为±1时，四边形MQN尸为正方形,

丁二工与1+?=1联立，解得匕1=闻=半，

因为NQ垂直于X轴，所以r=侦，

3

当4的斜率不等于±1时，设Q（%，X），Mw，%），直线QN的方程为：y=kx+t,

代入椭圆方程并整理得：（1+2/）%2+4垢+2/-8=0,

A=（4^）2-4（2^24-1）（2Z2-8）＞0,即弘2"+4＞0，

由韦达定理得：玉+X,=妁丁，X,X^=———v，

1+2-121+2公

因为NNOQ=90。，

所以丽•丽=0，

即xxx2+y^y2=0,即XjXj+(依+。他+f)=0,

所以俨+可套）.{4K

+刻------7+/=(),

I1+2公

整理得3产=8（公+1）（*）,适合—＞。成立

所以「三

综上得：“半

【点睛】

关键点点睛：本题第二问的关键是设直线N。的方程，将内切阿半径转化为原点到直线NQ的距离求解.

3.（2021.南京市中华中学高三期末）已知离心率为也的椭圆C：W+4=lS>〃>0）经过点P（3,l）.

34y

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点。关于x轴的对称点为Q,过点P斜率为占，网的两条动直线与椭圆。的另一交点分别为M、

N（M、N皆异于点Q）.若k/=g,求-QAW的面积S最大值.

【答案】（1）—+^-=1；（2）3.

124

【分析】

（1）由离心率计算出a2=3b2，再将点P（3,1）代入椭圆方程,求得椭圆的标准方程;（2）首先设巴直线PM，

与椭圆方程联上，求得点M坐标，同理可得点N的坐标，并表示直线A/N的方程，利用勺表示SQ“N，

利用导数求面积的最大值.

【详解】

（1）由条件可知工=巫，则二=2二£1=1-2=,，即/=3必,

。3a1a233

椭圆方程为《+/=1，代入点打3,1）,得〃=4,/=12,

所以椭圆方程是三+二=1;

124

⑵设过点P（31）的直线PM的方程：），=勺（1-3）+1,与椭圆方程联立,

得(1+34卜2+(6匕-18-卜+27婷一184一9=(),

27—泞9,9…一3,

M1+3-M1+34

9k；-6k「3,因为4&=‘，所以/=一隔一6匕+3

同理x,v二

1+3V1+34

,/।1~~3k:—6kl+11/.3k.—6k1-1

切制(>3)+1=版%=或国一3)+1=^^,

1

,w.v——*---------

直线的方程为y-二、整理为：x+3y+-^=0,

MN31一：：［1_必_禁+3?

1+3勺3(1+36)1+必

|2秋|

由题意可知点Q(3,-l),点Q到直线MN的距离,1+3Z；,

a=J——

Vlo186-6

1+3F

・•.SQMV=；x|MN|xd=72k：-24kl

(1+3幻2

72X3-424X

设函数g(x);，函数g(x)是奇函数,

(l+*3x2)2所以直线考查x>0时，函数的最大值,

(216x2-24)(3/+1)2-(72丁-24犬).2(3x2+1)-6A

g'(x)=

(l+3x2了

,、-24(9X2-1)

整理为‘3',当工€(0,；］时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当上>；时，g'(x)<。，g(x)单调递减,

所以当x:一时,g(x)取得最大值g|jJ=3,

3

所以「QMN面积的最大值是3.

【点睛】

关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，本题的难点是计算量偏大，关键是正确表示点M,N的坐标.

4.(2021•江苏高三专题练习)已知椭圆C：二"二l(a>〃>0)的焦距为26，且过点

a~

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆。的右焦点尸作直线/交椭圆。于A、3两点，交y轴于M点，若MA=4A户，=

求证：4+4为定值.

【答案】（1）土•+）2=1；（2）证明见解析.

4-

【分析】

（1）由已知条件可得出关于。、人的方程组，解出。2、〃的值，即可得出椭圆。的方程；

（2）由题意可知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=6）,设点4（%,y）、8（w，%）、

A/（O,%），联立直线/与椭圆。的方程，列出韦达定理，由==户可得出4、4的

表达式，结合韦达定理可计算得出4+4为定值.

【详解】

（1）因为椭圆。的焦距为2百，所以c=J5，

又•••椭圆C过点力（6号，.・一+Jr=l,且满足国=从+4

12）a-4b-

2

可得片=4，加=1，椭圆。的标准方程为：—+/=1；

4

（2）设点A（x”y）、B（x,,y2）,F（6,0）,

由题意可知，直线/的斜率存在，可设直线/的方程为），=41-6）,

y=小-@

联立］2，可得（4二+1）/一86公工+12产一4=0,

—+V2=1

14­

由于点F在椭圆。的内部，直线/与椭圆C必有两个交点，

由韦达定理可得%十七=竽2,斗.々=：：：［：'

MA=\AF,MB=^BF,M（O,yo）,

得（加,一%）=4（6一x，f,l，（々，％一%）=4（6-x2，f），

/.21%

6-斗，4=

y/3-x2

24%2一2（12/一4）

,工1工二X1公—2中2=4/+1=8

>/3—X|>/3-x-y3—>/^（内+x,）+X]X>（12K—4）-24k~

一+4公+1

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

r2v22

5.（2021.盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆C：j+4=l（">b>0）离心率为；，点4,B，。，石分

a-b-3

别是C的左，右，上，下顶点，且四边形AO3E的面积为6石.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）已知F是。的右焦点，过尸的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线AP，BQ的交点为T,求证：点

丁横坐标为定值.

y-2V29

【答案】（1）工+2_=i：（2）r横坐标为定值一，证明见解析.

952

【分析】

（1）根据遨意£=匕-2a-2b=6y/5,结合〃，儿c的关系，即可求得〃，仇c的值，即可得答案；

a32

（2）设,P（X，y）,。（孙必），根据般|=即八，勺8=%8可得三根据

x-3y.x-35（x-3）（x,-3）

P（』，X）在椭圆C上，代入方程化简整理可得勺a-7=上彳・二?一=---------=""设直线产。的

%+3%+3%9另乂

方程为工=机），+2,与椭圆C联立，得到关于），的一元二次方程，根据韦达定理，可得y+%,）管%的表

达式，代入上式，即可得证

【详解】

£_2

a3k=3

（1）设椭圆C的半焦距长为C,根据题意《—•2a2b=6\/5,解得《/?=6,

2

C2=rr-/?k=2

22

故C的标准方程为工+工=1.

95

(2)由⑴知A(-3,0),8(3,0),F(2,0),

设丁（七,）’0，），尸（X2J,。（9,%），

%_y

'①,

/+3X1+3

）'。_%

,②

•%一3二,访一3

①②两式相除得

x0+3玉+3y2

又经

=1,故2—1二」

95

所以（再3）（工「3）=互,故M_5内-3

95玉+39y

x0-3_y-3_5(%-3)(%-3)

所以

%+3为+3y29

由题意知直线PQ不平行于上•轴，由于直线尸。经过尸点，所以设直线尸。的方程为工=〃9+2,

22

代人上+卷=1整理，得（5/+9）V+20〃“-25=0,

20m

把，二十9代入③，

1

b一工。-3_5（x,-3）（x,-3）_50肛，1-1）（"少，-1）5my.y1-m（y,+y^+\

所以K/^^="9~=-5—,y「

2,25、/一20小

所以/―35m（_5w2+9-，H5w2+9+_1

所以・74-3-?-------------25--------------?

-W+9

9

解得不二万.

9

所以点厂横坐标为定值一.

2

【点睛】

解题的关键是根据A、P、丁和从Q、7共线得到%以=攵幺，krB=kQB,化简整理，结合韦达定理求解,

直线尸。的方程为x=my+2,可避免讨论直线PQ的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理

解，计算化简的能力，属中档题.

22

6.（2021•江苏泰州市•高三期末）如图，已知椭圆「：土+乙=1,矩形A8CO的顶点A,B在x轴上，C,

42

。在椭圆「上，点。在第一象限C5的延长线交椭圆「于点七，直线AE与椭圆「、），轴分别交于点F、G,

直线CG交椭圆「于点H,DA的延长线交FH于点M.

（1）设直线A及CG的斜率分别为人、心，求证：》为定值；

（2）求直线产”的斜率人•的最小值；

（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.

【答案】（1）证明见解析；（2）手；（3）M在曲线:+21/=1上运动，证明见解析.

【分析】

（1）由对称性，设出A,8,E,C点的坐标，求出直线AE,CG的斜率即可求证；

（2）由直线CG的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点，坐标，直线4E的方程与椭圆方程联立利

用韦达定理可求出点E坐标，即可表示出在线-7的斜率，利用基本不等式即可求最值；

（3）求出直线/H的方程，令x=x0,可得点M纵坐标用光表示，利用点（为,%）在椭圆上，相关点法

可求动点用的轨迹方程，即可求证.

【详解】

（I）由对称性，设4%,（））,B（-xo,O）,£（一毛,一%）,C（-\）,Jo）

则AE:y=&（x7o），得G0,-普，

3%\_

故

2%)3

(2)由CG:y=&x-1

联立•”火2人一甘=0+2代卜2—242%1+比

4=0,

X2+2/-4=02

A-4A.4

由根与系数的关系可得一。-2,所以2

1+26f(l+2用

k、^.-4

、T4A_

k2412J

所以如12为，可得H

f(l+2©'f("2片)2

』（1+2后）2

)b2

又4E:yt联立，)二左/一寸=(1+21)/_2占为1+燕_4=0,

2X2+2/-4=02

）'o_A—__4

由根与系数的关系可得，所以二一

rr_T"x2

°厂77对Ff（1+2好）

区4

A-4

42、2）0

所以力>0可得:

«--°(1+26)'』(1+2的2

-工0(1+21)2

k、

%-%_1+2好1+2月_2伏T_2勺(—3勺)—1

所以勺H

XH-XF-11_2亿+右）2亿-3幻

1+261+2后

1+6片=1.上

秋4kl4一花十-3

,6k

由图知八°，所以互+才之2

4?4即％当

当且仅当』7=牛即勺=巫取等.

仅46

所以直线FH的斜率k的最小值为如

2

A-4

---r4Io

(3)易知FH:y="6”|2,I27%

X+——9

.秋工(1+2的-/(1+2知2

7

令工二/可得），二।+6.

%(1+20+f0+26厂万

,秋

A-4

所以3甯

2-%,

%(1+2好)-/0+2将)2

2

为-41+6Z：2k玛2-4

」+66_>o2=---L凡-&凡+——-----

做40

_厮+4kl戈。-4_%+%-4_%

他M.2y02，

所以1°：,

I7O=-2），M

22

因为二+4_=1,

42

所以立+（—2nJ=],

42

即必在曲线！+2/=1上.

【点睛】

方法点睛：求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简

单明了易于表达，只需要把这种关系转化为工，＞的等式，就能得到曲线的轨迹方程；

（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系

数得到动点的轨迹方程；

（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，加线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，

列出几何式，再代入点的坐标即可；

（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）

的运动而运动，目相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐

标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；

（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得

出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.

22

7.（2021•江苏南通市•高三月考）已知椭圆0：5+£=1（。＞力＞。）的左、右顶点分别为A，8,点尸在椭

圆。上运动，若△248面积的最大值为26，椭圆。的离心率为

（1）求椭圆O的标准方程；

（2）过3点作圆E：/+小一2）2=，，（o＜”2）的两条切线，分别与椭圆。交于两点。（异于点3）,

当r变化时，直线CO是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

22

【答案】Q）工（2）直线CO恒过定点（14,0）.

43

【分析】

（1）首先列出关于Ac的等式,再求椭圆的标准方程;（2）首先设出过点8（2,0）的切线方程,利用d=r,

得到关于斜率左的元二次方程，得到根与系数的关系占为=1,再与椭圆方程联立求得点的坐标,

写出直线。。的斜率，并写出宜线C。的方程，说明直线过定点.

【详解】

（I）由题可知当点P在椭圆O的上顶点时，最大，

ab=243

Icl

止匕时S△%8=[x2c必=。/?=26，.•.〈一na=2,b=\f3»c=l，

2a2

a2-b2=c2

・••椭圆。的标准方程为—+^-=1.

43

（2）设过点8（2,0）与圆石相切的直线方程为y=〃（x-2）,叩辰一），一2%=0,

、2今2—2川

•••直线与圆E：f+（2）-=/相切，・・・〃=*=1=厂,

「）Jd+i

即得（4一尸肝2+弘+4——=（）

设两切线的斜率分别为%,则"2=1，

y=k^x-2)

设C（%,y）,。伍,必），由'/2),2n(3+4将卜2_]66X+16将-12=0,

「丁一

c16火：一128片一6_1126

即斗=57^，

8公一68-6妇-12k?—12kl

同理：X?_-y,=-----V=-----v.

3+46-4+3(’23+4抬4+36，

-12及-1%

K-y_4+3k；3+4A：_k}

皿=丁%=8二6m=正可

4+3%：―3+4々：

12klk.（8好—6]

・・.直线。。的方程为尹春需=布「一El

整理得尸闹、-建可=扃（'-刈，

・••直线C。恒过定点（14,0）.

【点睛】

本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，

属于难题.

22

8.（2021.江苏高三专题练习）在平面直角坐标系xQv中，己知嘀圆。：§+营=1（。＞0力＞0）的短轴长

为2,直线/与椭圆。相交于A8两点，线段A8的中点为M.当M与。连线的斜率为-1时，直线/的

2

倾斜角为三

4

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若MM=2,P是以4?为直径的圆上的任意一点，求证：百

2

2

【答案】（1）y+y=l;（2）详见解析.

【分析】

•2

（1）由短轴长可知6=1,设A（N，），1）,8（%,%），由设而不求法作差即可求得"&=一一尸丁+,，

a~y+）’2

将相应值代入即求得“二夜，椭圆方程可求；

（2）考虑特殊位置，即在线/与】轴垂直时候，|。尸|二lwg成立，当直线/斜率存在时，设出仃.线/方程

y=kx+mf与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到加与攵的关系，将|OM『表示出来，结合

基本不等式求最值，证明最后的结果

【详解】

解：（1）由己知，得人=1

’22

由,，两式相减，得

至+H=1

、/b2

）'|一%=从■%+3

玉一勺/y+、2

根据已知条件有，

当-*+*=—2时,V|"v-=1

片+>2%一占

•*-7=—'即Q=>/2

a~2

・•・椭圆C的标准方程为5+），2=1

（2）当直线/斜率不存在时，|。8=1<6,不等式成立.

当直线/斜率存在时，设/：），=云+，〃

：），=kx+m

2

由、今4得（2公+1）Y+4h）ix+2m-2=0

X+2y~=2

-4km2m2-2

，△二165一81+8>0

r-2kmm

・M

、2公+1'2父+1

叫叫=行.久吟j；〃-2

.1

化简，得〃/二与」

2^+2

4公+12A:2+1

（2公+1『2公+2

4二+1

（2公+1）（2攵2+2）

令4尸+1=年1，则

|OM|2=414

”+1)(/+3)/+。+4

，品7

当且仅当f=6时取等号

A|OA/|<V4-2>/3=N/3-I

-\OP\<\OM\+\

・・・|。”《石

当且仅当公二且二1时取等号

4

综上，

【点睛】

本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方

程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题

9.（2021•江苏高三专题练习）已知椭圆。：二•+2T=1（。>。）0）的左、右焦点分别为八，离心率为

a-b~

p过£作直线/与椭圆。交于A,B两点,AA88的周长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）问：AA8行的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由.

Y?V"

【答案】（1）—+^-=1；（2）9——7c

4316

【分析】

（1）由离心率得〃=2c，再利用AABF2的周长为8得。=2,从而得到。力,c的值，进而得到椭圆的方程;

（2）将A4B区的内切圆面积的最大值转化为求S,监的值最大，设A（x，y）,8（々,以），直线/：/=中）'-1，

从而将面积表示成关于〃？的函数，再利用换元法研究函数的最值.

【详解】

cI

(1)•「离心率为e=-=a=2c,

a2

MB5的周长为8,.•.4。=8,得。=2,

•c=1»b1=a2—c2=3»

r2

因此，椭圆。的标准方程为二1

4

(2)设A48F,的内切圆半径为人SM",二2(|4M|+|A8|+|8居|)v,

•2

又,|46I+IAAI+IB行|=8,S.=4「,

要使ZU3鸟的内切圆面积最大，只需八八砧的值最大.

设A（X],y）,5（孙必），直线//=，段T，

联立彳43消去x得：（3加2+4）y2-6〃z），-9=0,

x=my-1

6m—9

易得△>（），且x+一-*y.）’2=，

3〃r+4。3，〃+j4

所以小弓I秋HXf1=

=I366236_12册2+i

、（3〃5+4尸+3/n2+43（//r+1）+1

q,2/12

设1=7^21，则“明一"一不，

t

设y=3，+；（dl）,/=3-1>0,所以），=3f+；在U,E）上单调递增，

所以当/=1,即〃2=0时，Sg桃的最大值为3,

394

此时〃二一，所以AA3居的内切圆面积最大为

4-16

【点睛】

本题考查椭圆的离心率、方程的求解•、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查

逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.

1（）.（2021•江苏省天一中学高三二模）已知。为坐标原点，椭圆。：二十与=1（〃>〃>0）的离心率小上,

a~b~2

点P在椭圆。上，椭圆。的左右焦点分别为耳，尸2，尸”的中点为Q，-OGQ周长等于6+直.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）W为双曲线Ay?一《=］上的一个点，由卬向抛物线E:V=4y做切线44,切点分别为A8.

4

（i）证明：直线与圆¥+）?=1相切；

（ii）若直线48与椭圆C相交于两点，求AOMN外接圆面积的最大值.

r22V2971

【答案】（1）土+二）一二1；（2）（i）证明见解析，（ii）—.

338

【分析】

…=6+半

（1）根据题意，列出方程组<求得。力的值，即可求得椭圆的方程;

c=V2

a2

（2）（i）设A（冷y）,3（/,%），写出直线4和72的方程，联立求得乙与乙的交点W（Xo，%）的坐标，根

点W在双曲线上，推得〃，=1+公，进而结合点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，即可得到答案;

（ii）联立直线、=4-+〃?与椭圆的方程，由韦达定理求得玉+电，*工2，根据OM.ON=0,得到。M~LON,

写出弦长|MN|=2I〃"J4，〃2—3,方法一：令，二1,结合二次函数的性质，求得|MN|有最大值.

2m2-12〃广-1

方法二：求得实数加的取值范围，再由基本u不等式，求得|M/V|的最大值，进而求得AOMN外接圆面积

的最大值.

【详解】

（I）设旧用=2g因为。为"的中点，

所以3。耳。周长/0|+|。0|+|0用=。+也9；/"=4+5

A瓜

4+C=\/3+——

2

所以《「解得〃=JJ,b=c=»

c_yJ22

7r~i

X22V2

所以椭圆C的标准方程为—+^=1.

33

2

（2）（i）由工2=4），得了二工，求导得y=2,

’42

设A（X，X）,8（&,片），则i：y一%=,（工一2），即4：），=4x-2,

224

同理：/,:）,二土工一区

224

设VV（Xo，yo）,因为W为/1,%的交点，所以/=%，先=苧，

由题直线A8的斜率存在，设其方程为了=h+〃2，

将y=kx+m代入x2=4y得：x2-4Ax-4m=0，

由韦达定理得，司+电=4&,XjX2=-4/w,所以$=2%,%=一"2,

囚为常一苧二1，所以裙=1+产，

,\m\.

所以圆心。到直线AB的距离d=----=l=r,

J1+公r

所以，直线A8与圆。：/+）,2=i相切.

x~2V2

（ii）将y=h+m与一+^—•=1,

33

联立方程组，可得0+2k2）x2+4Qnr+2m2-3=0,

।+上…巾/口-4加2m2-3

由韦达定理得M+M=,--，xx=-------»

~1+2K122\+2k2

因为OMON=x}x2+y\y2=x,x2+(g+/n)(Ax2+m)=(1+/+〃永(M+x2)+nr,

3/w2-3k2-3

所以OM-ON=W~二1=0,所以OM_LQN,

1+2公

乂因为|MN|=Jl+/N-x2|=J］+,2,（&+%）2_4百々'

所以IMN\=2和+“1（6”-2病+3）=21川J4〃1一3,

1+Ik22m2-1

方法一：

由（i）知:方程x2—4——4m=0的△=16（A+加）=16（*+zn—1）>0

且4机2-3>0»解得<m或加<一"十，

22।

所以|MN|=叫:病-3）=,

2

2m-1VV2/T?-1A2m-\）

令［二——\——，所以0<f<2或者0<f<6一2,

2m2-1

।MNi=收血+［）（2_f）=q_z_g）+'，

可以看出当f=!时，即〃z=YS时，|MN|有最大值，且最大值为述，

222

所以RtAOMN外接圆直径MN的长度最大值为£1,

2

9兀

所以一OMN外接圆面积的最大值等于一.

8

方法二：

由（i）知:方程/一4丘一4〃z=0的八=16出+"）=16（加+加-1）且4>一3>0

所以史^<机或机v一"+1,

22

所厂12>（4,〃2一3）<尤（2/+4病-3）3加

所以|MN|=&、2；_i可2百）一一〒'

等号当仅当2加2=462一3,即m=逅（m舍），

22

所以RtAOMN外接圆直径MN的长度最大值为还，

2

9兀

所以，OWN外接圆面积的最大值等于瓦.

【点睛】

解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：

（O几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则芍虑利用圆锥曲线的定义、图

形、几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或

值域），常用方法：（1）配方法；：2）基本不等式法：（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要

特别注意自变量的取值范围.

11.（2021•江苏高三其他模拟）已知椭圆二+==1（〃>〃>0）的左焦点为忆过川的直线

crb~

x-4G），+G=0与椭圆在第一象限交于M点，。为坐标原点，三角形MFO的面积为由.

4

（1）求椭圆的方程；

（2）若的三个顶点A,8,C都在椭圆上，且。为6c的重心，判断，ABC的面积是否为定值，

并说明理由.

【答案】（1）工+,2=］；（2）是定值地，理由见解析.

4-2

【分析】

（1）由直线过左焦点写出左焦点坐标，得参数c、右焦点坐