2023-2024学年安徽省十校联考高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年安徽省十校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．（5分）已知复数z=−2+i1−2i（i为虚数单位），则|A．1 B．2 C．5 D．22．（5分）设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n②若m⊥γ，n⊥γ，则m∥n③若m∥α，n⊥α，则m⊥n④若m∥n，n∥α，则m∥α其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）如图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（）A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C．这六年增长率最大的为2019年至2020年 D．2020年销量高于这六年销量的平均值4．（5分）已知向量|a→|=2，|b→A．−b→ B．b→ C．15．（5分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN＝∠BAN＝30°，在B点时，测得∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，AB＝2千米，则MN＝（）A．42−26千米 B．4−23千米 C．3+16．（5分）如图，电路中A，B，C三个电子元件正常工作的概率分别为P(A)=1A．415 B．815 C．7157．（5分）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为6，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底面ABCD上，则棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．1436 B．146 C．288．（5分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asinA．角C为钝角 B．a2+2b2﹣c2＝0 C．tanB的最小值为33 D．3tanA+tanC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）设z1、z2为复数，则下列命题正确的是（）A．若z1=z2，则z1zB．若z1=−1C．若|z1|＝|z2|，则z1D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，且z1≠z2，则z在复平面对应的点在一条直线上（多选）10．（6分）已知随机事件A，B的概率都大于0，A表示事件A的对立事件，则（）A．当P(AB)=P(A)⋅P(B)时，AB．当A⊆B时，P（A）≥P（B）C．当P（AB）＞0时，P(AD．当P（A）+P（B）＝1时，B=（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱CC1上的动点（不含端点），下列说法正确的有（）A．AM可能垂直BD1 B．三棱锥B1﹣ABM的体积为定值 C．过点B截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面可能是等腰梯形 D．若CM＝C1M，过点B且垂直于AM的截面的周长为32+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示频率分布直方图，估计该校高二学生数学成绩的平均数为．13．（5分）在复平面内，把与复数3−3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为14．（5分）如图，已知二面角α﹣l﹣β的平面角为π3，棱l上有不同的两点A，B，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l．若AC＝AB＝BD＝2，则直线CD与平面β所成角的正弦值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC、B1C⊥平面ABC，且AB=AC=1（1）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）求：点C与平面ABB1A1的距离．16．（15分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，3sinB−cosB=1（1）求B；（2）若sinC=2cosB，ABC的面积为3+317．（15分）立德中学高一（1）班某次数学质量检测的统计数据如表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019（1）按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）．18．（17分）如图①，已知△AB′C是边长为2的等边三角形，D是AB′的中点，DH⊥B′C，如图②，将△B′DH沿边DH翻折至△BDH．（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面NDH？若存在，求BFFC（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为22，求点B到直线CH19．（17分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）角的两条射线，e1→，e2→分别为Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系．在（1）在α仿射坐标系中，①若a→=(m，n)，求②若a→=(−1，2)，b→=(−2，1)，且a→，（2）如图所示，在π3仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，|BC→|=1，OD→=13OC→，

2023-2024学年安徽省十校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．（5分）已知复数z=−2+i1−2i（i为虚数单位），则|A．1 B．2 C．5 D．2【考点】复数的模；复数的运算．【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：z=−2+i则|z|=(−故选：A．2．（5分）设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n②若m⊥γ，n⊥γ，则m∥n③若m∥α，n⊥α，则m⊥n④若m∥n，n∥α，则m∥α其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】B【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解．【解答】解：对①，m∥α，n∥α，则m和n可能平行、异面或相交，故①错误；对②，根据线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行，故②正确；对③，由m∥α，n⊥α，可得m⊥n，故③正确；对④，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故④错误．故选：B．3．（5分）如图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（）A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C．这六年增长率最大的为2019年至2020年 D．2020年销量高于这六年销量的平均值【考点】统计图表获取信息；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】D【分析】根据条形图数据一一分析即可．【解答】解：对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确；对于B，∵0.6×6＝3.6，将所有汽车销量数据从小到大排序，∴销量的第60百分位数为第4个数据，第4个数据为536.5，∴这六年销量的第60百分位数为536.5万辆，故B正确；对于C，因为2019年至2020年的增长率为291.6−111.5111.5超过其他年份的增长率，故C正确；对于D，这六年销量的平均数为：97.2+111.5+291.6+536.5+668.5+756.86=410.35＞291.6，故故选：D．4．（5分）已知向量|a→|=2，|b→A．−b→ B．b→ C．1【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】先求出a→【解答】解：|a则4a所以a→故a→在b→上的投影向量为故选：D．5．（5分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．已知飞机在A点时，测得∠MAN＝∠BAN＝30°，在B点时，测得∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，AB＝2千米，则MN＝（）A．42−26千米 B．4−23千米 C．3+1【考点】解三角形；正弦定理．【答案】D【分析】在△ABN中，由正弦定理可得AN的值，再由题意可得△ABM为等边三角形，在△AMN中，由余弦定理可得MN的值．【解答】解：在△ABN中，∠BAN＝30°，AB＝2km，又因为∠ABM＝60°，∠NBM＝75°，所以∠ABN＝∠ABM+∠NBM＝135°，所以∠ANB＝180°﹣∠BAN﹣∠ABN＝15°，由正弦定理可得：ABsin∠ANBsin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=22（32所以AN=sin∠ABNsin∠ANB×2=在△ABM中，∠ABM＝60°，∠MAN＝∠BAN＝30°，可得∠MAB＝60°，所以△ABM为等边三角形，即AM＝AB＝2，在△AMN中，由余弦定理可得MN2＝AN2+AM2﹣2AN•AMcos∠MAN＝[2（1+3）]2+4﹣2×2×2（1+3）×3所以MN=6+故选：D．6．（5分）如图，电路中A，B，C三个电子元件正常工作的概率分别为P(A)=1A．415 B．815 C．715【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【答案】A【分析】由相互独立事件的概率求法计算即可．【解答】解：由题知，该电路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一个能正常工作，设A，B，C元件能正常工作为事件A，B，C，该电路正常工作为事件D，由题知，A，B，C相互独立，则P（D）＝P[A（B∪C）]=P(A){1−[1−P(C)]⋅[1−P(B)]}=1故选：A．7．（5分）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为6，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，且该球的球心在底面ABCD上，则棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．1436 B．146 C．28【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】C【分析】分别求出棱台的上下底面的面积，代入棱台体积公式即可求解．【解答】解：设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1外接球的球心为O，因为外接球表面积为32π，所以32π＝4πR2，解得R=22由于O在底面ABCD上，底面ABCD为正方形，所以正方形ABCD的边长为2R=4设底面A1B1C1D1的外接圆半径为r，则r=R所以正方形A1B1C1D1的边长为2r=2所以正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V=1故选：C．8．（5分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asinA．角C为钝角 B．a2+2b2﹣c2＝0 C．tanB的最小值为33 D．3tanA+tanC【考点】解三角形．【答案】C【分析】对于A，结合诱导公式与二倍角公式化简已知等式，可得cosC=−b2a＜0，从而知角C为钝角；对于B，结合选项A中所得与余弦定理，化简运算即可判断；对于D【解答】解：对于A，∵b−2a+4asin2A+B2=0，即b﹣2∴b−2a+4acos2C2=0，即b﹣2a∴cosC=−b又C∈（0，π），∴C一定为钝角，故选项A正确；对于B，由选项A知，cosC=−b由余弦定理知，cosC=a化简得a2+2b2﹣c2＝0，故选项B正确；对于D，∵tanAtanC∴3tanA+tanC＝0，故选项D正确；对于C，∵A+B+C＝π，∴tanB＝﹣tan（A+C）=−tanA+tanC∵C为钝角，∴A∈(0，π2)∴1tanA+3tanA≥21tanA⋅3tanA此时tanB取得最大值33，故选项C故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）设z1、z2为复数，则下列命题正确的是（）A．若z1=z2，则z1zB．若z1=−1C．若|z1|＝|z2|，则z1D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，且z1≠z2，则z在复平面对应的点在一条直线上【考点】共轭复数；复数的模．【答案】AD【分析】根据题意，由共轭复数的定义分析A，由复数的运算性质分析B，举出反例可得C错误，由复数的几何意义分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若z1=z2，则z1z2＝|z1|2∈对于B，若z1=−12+32i，则z12=−类推可得：z15=故z12024=z对于C，当z1＝1，z2＝i时，满足|z1|＝|z2|，但z12≠对于D，设z1对应的点为M，点z2对应的点为N，若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，且z1≠z2，则z在复平面对应的点为MN的垂直平分线，D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）已知随机事件A，B的概率都大于0，A表示事件A的对立事件，则（）A．当P(AB)=P(A)⋅P(B)时，AB．当A⊆B时，P（A）≥P（B）C．当P（AB）＞0时，P(AD．当P（A）+P（B）＝1时，B=【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】AC【分析】对于A，根据相互独立事件相关性质可判断；对于B，借助韦恩图判断；对于C，借助韦恩图判断；对于D，根据对立事件的定义判断．【解答】解：对于A：∵P（AB）＝P（A）•P（B），∴A，B相互独立，故A正确；对于B，如图，阴影部分表球事件a，无法判断P（A）与P（B）的大小，故B错误；对于C：根据题意，得到如图所求，阴影部分代表事件AB，由图知P（AB）≤P（B），故C对于D：根据对立事件的定义，P（A）+P（B）＝1，P（B）＝P（A），得A与B不一定是对立事件，∴B与A不一定相等，故D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱CC1上的动点（不含端点），下列说法正确的有（）A．AM可能垂直BD1 B．三棱锥B1﹣ABM的体积为定值 C．过点B截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面可能是等腰梯形 D．若CM＝C1M，过点B且垂直于AM的截面的周长为32+2【考点】棱锥的体积．【答案】BCD【分析】根据BD1⊥平面AB1C可判断A错误，根据等体积法以及三棱锥的体积公式可判断B正确，选M为CC1中点，A1B1中点为E，A1D1中点为F，此时截面为等腰梯形BEFD，可判断CD正确．【解答】解：对于A，在正方体中，因为BD1⊥平面AB1C，而面AB1C交棱CC1于C点，与M不为端点矛盾，故A错；对于B，因为VB点M在棱CC1上移动时，△BB1M的面积为定值12又点A到平面BMB1的距离为定值2，所以棱锥A﹣BMB1的体积为定值13×2×2=4对于C，D，选M为CC1中点，A1B1中点为E，A1D1中点为F，此时面BEFD为等腰梯形，且同时满足AM⊥面BEFD，此时梯形周长为：25+22故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示频率分布直方图，估计该校高二学生数学成绩的平均数为．【考点】平均数．【答案】75.5．【分析】先利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，求出a的值，再利用平均数的定义求解．【解答】解：由（a+0.02+0.035+0.025+a）×10＝1，解得a＝0.01，该校学生成绩的平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.1＝75.5．故答案为：75.5．13．（5分）在复平面内，把与复数3−3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为【考点】由复平面中的点确定复数．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数3−3i对应的向量绕原点则所得向量对应的复数为(3−3故答案为：−23i14．（5分）如图，已知二面角α﹣l﹣β的平面角为π3，棱l上有不同的两点A，B，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l．若AC＝AB＝BD＝2，则直线CD与平面β所成角的正弦值为【考点】几何法求解直线与平面所成的角．【答案】64【分析】在平面β内过A作与BD平行且相等的线段AF，过点C作CH⊥AF于H，连接DH，CF，DF，先证明平面ABDF⊥平面AFC，根据面面垂直的性质可得CH⊥平面AFDB，则∠CDH为直线CD与平面β所成角，再解Rt△CHD即可．【解答】解：在平面β内过A作与BD平行且相等的线段AF，过C作CH⊥AF于H，连接DH，CF，DF，则四边形ABDF为平行四边形，所以DF∥AB，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC⊥AB，AF⊥AB，又AC∩AF＝A，AC，AF⊂平面AFC，所以AB⊥平面AFC，又AB⊂平面ABDF，所以平面ABDF⊥平面AFC，又平面ABDF∩平面AFC＝AF，CH⊥AF，CH⊂平面AFC，所以CH⊥平面AFDB，故∠CDH为直线CD与平面β所成角，由AC⊥AB，AF⊥AB，得二面角α﹣l﹣β的平面角即为∠CAF，所以∠CAF=π又AC＝AB＝BD＝AF＝FD＝2，所以△ACF是等边三角形，可得CH=3，FH因为FD∥AB，所以FD⊥平面AFC，又FC⊂平面AFC，所以FD⊥FC，在Rt△DFC中，由勾股定理得CD=2在Rt△CHD中，sin∠CDH=CH即直线CD与平面β所成角的正弦值为64故答案为：64四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC、B1C⊥平面ABC，且AB=AC=1（1）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）求：点C与平面ABB1A1的距离．【考点】空间中点到平面的距离；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解答；（2）32【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即面面垂直的判定定理，即可证明；（2）过C作CH⊥AB1与点H，则CH即为所求，再解三角形，即可求解．【解答】解：（1）证明：∵B1C⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴AB⊥B1C，又AB⊥B1C，且B1C∩B1C＝C，∴AB⊥平面AB1C，又AB⊂平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）∵平面AB1C⊥平面ABB1A1，过C作CH⊥AB1与点H，∴CH⊥平面ABB1A1，即CH即为所求，又AB＝AC＝1，AB⊥AC，∴BC=2又BB1＝AA1＝2，B1C⊥平面ABC，∴B1C⊥AC，B1C⊥BC，∴B1C=22−12∴CH=AC×故点C与平面ABB1A1的距离为3216．（15分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，3sinB−cosB=1（1）求B；（2）若sinC=2cosB，ABC的面积为3+3【考点】解三角形．【答案】（1）B=π（2）c=22【分析】（1）利用二倍角公式化简即可得解；（2）先求出角C，再求出sinA，利用正弦定理得出b，c的关系，再根据三角形的面积公式即可得解．【解答】解：（1）因为3sinB−cosB=1，即3所以23又B∈(0，π2)所以tanB所以B2=π（2）由（1）得sinC=2又C∈(0，π2)则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6由正弦定理得bc=sinB则S△ABC解得c=2217．（15分）立德中学高一（1）班某次数学质量检测的统计数据如表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019（1）按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【答案】（1）910（2）平均数为96，标准差为18．【分析】（1）由分层抽样比可得男女生人数，再由古典概型概率计算公式可得结果；（2）利用分样本与总样本的平均数与方差的关系式代入计算可得结果．【解答】解：（1）根据分层抽样比例可得抽取的5人中3名男生，2名女生，记3名男生分别为b1，b2，b3，2名女生分别为g1，g2，现从这5人中随机抽2人的结果为：（b1，b2），（b1，b3），（b1，g1），（b1，g2），（b2，b3），（b2，g1），（b2，g2），（b3，g1），（b3，g2），（g1，g2），共10种，其中至少有一个男生共有9种，所以抽到的2人中至少有一个男生的概率为P=9（2）由分层样本与总体样本平均数可得该班参加考试学生成绩的平均数为：30×100+20×9050易知男生样本方差为162＝256，女生样本方差为192＝361，则总体样本方差为3050可得标准差为322≈1818．（17分）如图①，已知△AB′C是边长为2的等边三角形，D是AB′的中点，DH⊥B′C，如图②，将△B′DH沿边DH翻折至△BDH．（1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面NDH？若存在，求BFFC（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为22，求点B到直线CH【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行．【答案】（1）存在，BFFC=1【分析】（1）在图①中，取B′M的中点M，连接AM，证明AM∥DH，则AM∥平面BDH，在线段BC上取点F使BFFC=12，连接MF，FA，证明平面（2）连接BB'，取BB'的中点T，连接TH，TD，DH⊥平面BCH，易得TH⊥BB′，DT⊥BB′，则∠DTH即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，求出TH，再利用等面积法求解即可．【解答】解：在图①中，取B′M的中点M，连接AM，如图所示，因为△AB′C是等边三角形，B'C的中点为M，所以AM⊥B′C，因为DH⊥B′C，所以AM∥DH，在图②中，AM∥DH，AM⊄平面BDH，DH⊂平面BDH，所以AM∥平面BDH，且HMMC在线段BC上取点F使BFFC=12，连接因为HMMC所以MF∥BH，又因为BH⊂平面BDH，MF⊄平面BDH，