2023-2024学年北京三十五中高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年北京三十五中高一（下）期中数学试卷一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．（4分）下列各角中，与27°角终边相同的是（）A．63° B．153° C．207° D．387°2．（4分）向量|a→|=|b→|=2，a→A．−22 B．22 C．﹣23．（4分）已知cosα=−45，且sinα＜0，则tanA．34 B．−34 C．44．（4分）下列函数中，周期为π2A．y＝sin4x B．y＝cos2x C．y＝tan4x D．y＝sin22x5．（4分）设向量a→=（1，0），b→=（A．|a→|=|b→C．a→−b→与b6．（4分）已知tan（α+β）=25，tan（β−π4）=A．1318 B．1322 C．3227．（4分）设函数f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图像关于直线x=7π12C．f(x+π2)D．f（x）的图像可以由y=sin(2x+π3)8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限．则（）A．sinα﹣cosα≤tanα B．sinα﹣cosα≥tanα C．sinα•cosα＜tanα D．sinα•cosα＞tanα9．（4分）如图所示，某风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）．则h与t满足的函数关系为（）A．h=sin(π6t+3πC．h=−2cosπ6t+2.510．（4分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则AG→A．(0，23) B．(0，4二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填在答题卡相应的题号处）11．（5分）cos4π312．（5分）已知a→，b→均为单位向量，且a→⋅b→=−13．（5分）已知f（x）＝2cos2x﹣sinx，则f(π6)=，f（x14．（5分）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用．纯音的数学模型是三角函数．如音叉发出的纯音振动可表示为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数f(x)=i=1n1nsinnx，且声音的质感与（1）当n＝1时，函数f（x）的对称中心坐标为；（2）当n＝50时，合音f（x）的音调比纯音φ(x)=149sin49x15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2），f(−π8)=0，f(x)≤|f(3π8①f（x）是偶函数；②f(0)=f(3π③ω是奇数；④ω的最大值为3．其中正确的命题有．三．解答题（共6个小题，共85分。请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3（Ⅰ）求sin（α+π）与cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足cosβ=−513，且角β为第三象限角，求cos（α+17．（12分）已知函数f（x）=3sinxcosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．（15分）某同学用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πxπ127π12ωx+φ0π2π3π22πAsin（ωx+φ）00﹣2（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，π（Ⅲ）若x∈（0，π），且f（x）＞﹣1，求x的取值范围．19．（15分）已知函数f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m(ω＞0，m∈R)，再从条件①、条件②、条件③（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．条件①：函数f（x）的最小正周期为π；条件②：函数f（x）的图象经过点(0，1条件③：函数f（x）的最大值为32注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求得条件分别解答，按第一组解答计分．20．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，点B，D，F为f（x）与x轴的交点，点C，E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在x=−1（1）求参数ω和φ的值；（2）若A＝1，求向量2BC→−（3）若点P为函数f（x）图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，BP→•PF→≥21．（15分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a→|a→=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意a1→∈Y，存在a2→∈Y，使得a（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1．

2023-2024学年北京三十五中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．（4分）下列各角中，与27°角终边相同的是（）A．63° B．153° C．207° D．387°【考点】终边相同的角．【答案】D【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k值得答案．【解答】解：与27°角终边相同的角的集合为{α|α＝27°+k•360°，k∈Z}，取k＝1，可得α＝387°．∴与27°角终边相同的是387°．故选：D．2．（4分）向量|a→|=|b→|=2，a→A．−22 B．22 C．﹣2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】由向量|a→|=|b→|=2，【解答】解：∵|a→|=|b→|=2，∴a→故选：A．3．（4分）已知cosα=−45，且sinα＜0，则tanA．34 B．−34 C．4【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】A【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为cosα=−45，且sin所以sinα=−1−co则tanα=sinα故选：A．4．（4分）下列函数中，周期为π2A．y＝sin4x B．y＝cos2x C．y＝tan4x D．y＝sin22x【考点】三角函数的周期性；函数的奇偶性．【答案】D【分析】利用三角函数的周期公式及二倍角的余弦公式，结合函数的奇偶性的定义及诱导公式即可求解．【解答】解：对于A，T=2πω=2π4=π2，由题意可知，y＝sin4x的定义域为R，f（﹣x）＝sin4（﹣所以y＝sin4x为奇函数，故A错误；对于B，T=2πω=对于C，T=πω=对于D，y=sin22x=由题意可知，y=sin22x=f（﹣x）＝sin22（﹣x）＝sin22x＝f（x），所以y＝sin22x为偶函数，故D正确．故选：D．5．（4分）设向量a→=（1，0），b→=（A．|a→|=|b→C．a→−b→与b【考点】平面向量的概念与平面向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】C【分析】本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由a→【解答】解：∵a→=(1，0)，b→=(12，1∵a→•b→=∵a→−b→=（12，−12），∴（a→∵a→=(1，0)，b→=(故选：C．6．（4分）已知tan（α+β）=25，tan（β−π4）=A．1318 B．1322 C．322【考点】两角和与差的三角函数．【答案】C【分析】把已知的条件代入tan(α+π4)=tan[（α+β）﹣（β−【解答】解：∵已知tan(α+β)=2∴tan(α+π4)=tan[（α+β）﹣（β−故选：C．7．（4分）设函数f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图像关于直线x=7π12C．f(x+π2)D．f（x）的图像可以由y=sin(2x+π3)【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性．【答案】D【分析】由题意，根据余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f(x)=cos(2x+π3)，由于它的最小正周期为2π2令x=7π12，求得f（x）＝0，可得f（x）的图像关于点（7π6令x=−π6，求得f（x）＝1，为最大值，可得f（x）的图像关于直线x=−π把由y=sin(2x+π3)图像左移π4个单位，可得y＝sin（2x+π2+π3）＝cos（2故选：D．8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限．则（）A．sinα﹣cosα≤tanα B．sinα﹣cosα≥tanα C．sinα•cosα＜tanα D．sinα•cosα＞tanα【考点】三角函数值的符号．【答案】C【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及作差法，即可求解．【解答】解：对于A，当α＝181°时，sinα﹣cosα的值趋近于1，tanα的值趋近于0，故A错误；当α＝240°时，sinα−cosα=−32+12sinα•cosα﹣tanα=sinα⋅co则sinα•cosα＜tanα，故C正确，D错误．故选：C．9．（4分）如图所示，某风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）．则h与t满足的函数关系为（）A．h=sin(π6t+3πC．h=−2cosπ6t+2.5【考点】三角函数应用．【答案】C【分析】设h与t满足的函数关系为h＝Asin（ωt+φ）+b（ω＞0），由题意求出h的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出A，b，ω，再将点(0，12)代入函数解析式求出φ=3π2【解答】解：设h与t满足的函数关系为h＝Asin（ωt+φ）+b（ω＞0），由题意最大值为4.5m，最小值为0.5m，所以A=4.5−0.52=2，由题意知，某风车每12s旋转一周，所以T＝12，所以ω=2π又风车从最低点开始运动，所以函数过点(0，1则π6不妨设φ=3π所以h与t满足的函数关系为h=2sin(π故选：C．10．（4分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C，D重合），DE与AF交于G，则AG→A．(0，23) B．(0，4【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】根据题意作出图形，观察可得：在点F从D到C的运动过程中，AG→⋅DG→变大．然后在F与C重合的情况下，计算出【解答】解：作出示意图形，如下图所示，根据题意，可得AB→在点F从D到C的运动过程中，|AG→|与|若F与C重合，则AG→=2可得AG→由于点F在C、D之间，且不与C，D重合，所以∠AGD为锐角，当F与D无限接近时，AG→⋅DG→趋近于0；当F与C无限接近时，因此可得0＜AG→⋅DG→故选：B．二．填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填在答题卡相应的题号处）11．（5分）cos4π3=【考点】终边相同的角；运用诱导公式化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】利用诱导公式，把要求的式子用一个锐角的三角函数值来表示．【解答】解：cos4π3=cos（π+π故答案为−112．（5分）已知a→，b→均为单位向量，且a→⋅b→=−12【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】3【分析】利用向量的模的运算法则，化简求解即可．【解答】解：向量a→，b那么|a故答案为：3．13．（5分）已知f（x）＝2cos2x﹣sinx，则f(π6)=1，f（x【考点】三角函数的最值．【答案】1；﹣1．【分析】利用特殊角的三角函数值可求得f(π6)的值，再利用三角函数的性质可求得f【解答】解：f（x）＝2cos2x﹣sinx，则f(π6)=又﹣1≤sinx≤1，∴f（x）＝﹣2sin2x﹣sinx+2＝﹣2（sinx+14）2当sinx＝1时，f（x）取得最小值，为﹣1．故答案为：1；﹣1．14．（5分）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用．纯音的数学模型是三角函数．如音叉发出的纯音振动可表示为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数f(x)=i=1n1nsinnx，且声音的质感与（1）当n＝1时，函数f（x）的对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z；（2）当n＝50时，合音f（x）的音调比纯音φ(x)=149sin49x【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）（kπ，0），k∈Z；（2）低．【分析】（1）根据n＝1时f（x）＝sinx，写出函数图象的对称中心坐标即可；（2）计算n＝50时f（x）的最小正周期和频率，与φ（x）比较即可．【解答】解：（1）n＝1时，函数f（x）＝sinx，对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z；（2）当n＝50时，f（x）=i=1n1nsinnx＝sinx+12sin2x+因为sinx的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期为π，sin3x的最小正周期为2π3，…，sin50x的最小正周期为π所以f（x）的最小正周期为2π，频率为12π，φ(x)=149sin49x的周期为2π49，频率为492π，所以f（故答案为：（1）（kπ，0），k∈Z；（2）低．15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2），f(−π8)=0，f(x)≤|f(3π8①f（x）是偶函数；②f(0)=f(3π③ω是奇数；④ω的最大值为3．其中正确的命题有②③④．【考点】正弦函数的单调性；命题的真假判断与应用．【答案】②③④．【分析】首先根据函数的性质的应用求出函数的ω和φ，进一步利用正弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2），f(−π∴可得sin（−ωπ8+φ）＝0，−ωπ8+φ＝k1π解得φ=π8ω+k1π（k1∈由题意，可得f（3π8）＝±1，即sin（3ωπ8+φ）＝±1，∴可得φ=−3ωπ8+k2π+由（1）、（2）可得，ω＝1+2（k2﹣k1），即ω＝2n+1，n∈Z，∴ω＝1，3，5，7．若ω＝1时，φ=π8，f（x）＝sin（x若ω＝3时，φ=3π8，f（x）＝sin（3x若ω＝5时，φ=−3π8，f（x）＝sin（5x−5π8），在区间（当ω＝7时，φ=−π8，且f（x）＝sin（7x−π8）区间（综上，f（x）＝sin（x+π8）或f（x）＝sin（3x故选项①错误．由于x=3π8为函数的对称轴，所以应有f（0）＝f（3π4根据ω＝2n+1，n∈Z，可得选项③正确．由解答过程可得，ω＝1或ω＝3，故选项④正确．故答案为：②③④．三．解答题（共6个小题，共85分。请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）16．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3（Ⅰ）求sin（α+π）与cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足cosβ=−513，且角β为第三象限角，求cos（α+【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．【答案】（Ⅰ）−45，（Ⅱ）3365【分析】（Ⅰ）由已知结合三角函数的定义及诱导公式，二倍角公式即可求解；（Ⅱ）结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．【解答】解：由题意得sinα=45，cosα（I）所以sin（α+π）＝﹣sinα=−4cos2α＝2cos2α﹣1＝2×925−（Ⅱ）若角β满足cosβ=−513，且角则sinβ=−12所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=317．（12分）已知函数f（x）=3sinxcosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的图象．【答案】见试题解答内容【分析】运用二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期公式，以及正弦函数的增区间，解不等式，即可得到所求区间．【解答】解：函数f（x）=3sinxcosx+=32sin2x+12cos2x（1）函数f（x）的最小正周期T=2π2（2）令2kπ−π2≤2x+π解得，kπ−π3≤x≤kπ+π6则函数f（x）的单调递增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，18．（15分）某同学用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πxπ127π12ωx+φ0π2π3π22πAsin（ωx+φ）00﹣2（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，π（Ⅲ）若x∈（0，π），且f（x）＞﹣1，求x的取值范围．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值；五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．【答案】（1）f（x）＝2sin（2x+π（2）f（x）的最大值为2，最小值为−3（3）x∈（0，5π12）∪（3π4，【分析】（1）根据最低点的坐标求出A的值，利用最值点的横向距离求出周期，进而求出ω的值，再由f（π12）＝2求出φ的值，可得f（x（2）利用换元思想求f（x）的最值即可；（3）解不等式2sin（2x+π3）＞﹣1，结合【解答】解：（1）由表格可知A＝2，T＝2×(7π12−π12所以f（x）＝2sin（2x+φ），因为f（π12）＝2sin（π6+φ）＝2，所以π6+φ=π2+由|φ|＜π2，得φ所以f（x）＝2sin（2x+π（2）当x∈[0，π2]上时，t＝2x+π3∈因为y＝sint在[π3，π2]上单调递减，在[π2所以f（x）的最大值为2×sinπ2又2sinπ3=3所以f（x）的最小值为2sin4π3（3）由x∈（0，π），得2x+π3∈（π3由f（x）＝2sin（2x+π3）＞﹣1，得sin（2x+π所以2x+π3∈（π3，7π6）∪（解得：x∈（0，5π12）∪（3π4，19．（15分）已知函数f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m(ω＞0，m∈R)，再从条件①、条件②、条件③（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．条件①：函数f（x）的最小正周期为π；条件②：函数f（x）的图象经过点(0，1条件③：函数f（x）的最大值为32注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求得条件分别解答，按第一组解答计分．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【答案】选①②：（I）f(x)=sin(2x+π6)选①③：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+π6)+12【分析】（I）先利用二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合所选项条件可求出函数解析式；（Ⅱ）令f（x）＝0可求出满足题意的x，然后结合函数零点所在的范围即可求解t的范围．【解答】解：（I）由题可知，f（x）=3选择①②：（1）因为T=2π所以ω＝1，又因为f(0)=1+m=1所以m=−12，若选①③：因为T=2π所以ω＝1，因为f（x）的最大值为m+32=所以f（x）＝sin（2x+π6）若选②③：因为f(0)=1+m=1所以m=−1因为f（x）的最大值为m+32=此时m不存在；（2）若选①②，令sin(2x+π6)=0所以x=kπ2−π12当k＝1，k＝2时，函数f（x）的零点为5π12因为函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，所以5π12所以t的取值范围是[5π选择①③：f(x)=sin(2x+π令sin(2x+π6)+12=0，则2x+π6=2kπ+76所以x=kπ+π2，k∈Z，或x=kπ+56π当k＝0时，函数f（x）的零点分别为π2因为函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，所以{t|π220．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，点B，D，F为f（x）与x轴的交点，点C，E分别为f（x）的最高点和最低点，而函数f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在x=−1（1）求参数ω和φ的值；（2）若A＝1，求向量2BC→−（3）若点P为函数f（x）图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，BP→•PF→≥【考点】平面向量数量积的性质及其运算；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】（1）ω=π2，（2）−2（3）(0，2【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出ω，利用在x=−12处取得最小值求出（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；（3）设P（x，y），利用向量数量积的坐标表示出BP→⋅PF→，观察取最小值时点【解答】解：（1）因为f（x）的相邻两条对称轴之间的距