2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（）A．30° B．45° C．90° D．135°2．（4分）已知两个向量，且，则m+n＝（）A．2 B．3 C．4 D．63．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶4．（4分）点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（）A． B．1 C． D．25．（4分）圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（）A．（x+2）2+y2＝2 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1 C．（x+2）2+（y+2）2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝26．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（）A．x2+y2﹣2x+2y＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0 C．x2+y2+4x﹣4y＝0 D．x2+y2+2x﹣2y＝08．（4分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x＝（）A．﹣1 B．0 C． D．19．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（）A．存在点E，使EF∥BD B．三棱锥B1﹣ACE的体积随动点E变化而变化 C．直线EF与AD1所成的角不可能等于60° D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D10．（4分）如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（）A． B．6 C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）直线2x+y﹣1＝0的一个方向向量为．12．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知，，，则的坐标为．13．（5分）已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（5，3），则底边的另一个端点C的轨迹方程为．14．（5分）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是；第3次由甲射击的概率是．15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点间的直角距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如图是圆A：（x﹣1）2+y2＝1当时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d（C，D）＝．若点P为曲线上任一点，则d（O，P）的最大值为．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点．（1）求边AC上的高所在直线的方程；（2）求∠BAC角平分线所在直线的方程．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出在平面ADD1A1上的投影向量的坐标；（2）求点B1到平面AED1的距离；（3）求直线DB1与平面AED1所成角的正弦值．19．（15分）已知圆C经过点A（0，2）和点B（1，3），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若线段DE的端点D的坐标是（4，3），端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．20．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点．（1）求证：C1D⊥A1B；（2）求证：C1D∥平面A1BE；（3）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知直线l1，l2的方程分别是l1：x＝0，l2：3x﹣4y＝0，点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．（1）若k＝﹣1，且A为线段MN中点，求实数a的值及△AON的面积；（2）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．

2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（）A．30° B．45° C．90° D．135°【考点】直线的倾斜角．【答案】D【分析】利用斜率的计算公式即可计算出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα＝﹣1，∵0°≤α＜180°，∴α＝135°．故选：D．2．（4分）已知两个向量，且，则m+n＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】向量相等与共线；共线向量与共面向量．【答案】A【分析】运用向量的共线定理求解．【解答】解：因为，所以，λ∈R，故（2，m，n）＝λ（1，﹣1，2），即，解得，m+n＝2．故选：A．3．（4分）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶【考点】互斥事件与对立事件．【答案】D【分析】先写出连续射击两次中靶的情况，再利用互斥事件和对立事件的概念进行判断，A∩B＝∅，互斥事件；A∩B＝∅，且A∪B＝基本事件总体，互斥且对立事件．【解答】解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶；设事件P：至少一次中靶，则P＝{①，②}，A选项：事件A：至多一次中靶，则A＝{②，③}，P∩A＝{②}，不互斥，不对立，B选项：事件B：两次都中靶，则B＝{①}，P∩B＝{①}，不互斥，不对立，C选项：事件C：只有一次中靶，则C＝{②}，P∩C＝{②}，不互斥，不对立，D选项：事件D：两次都没中靶；则D{③}，P∩D＝∅，且P∪D＝{①，②，③}，互斥且对立，故选：D．4．（4分）点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（）A． B．1 C． D．2【考点】点到直线的距离公式．【答案】C【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：点P（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于．故选：C．5．（4分）圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（）A．（x+2）2+y2＝2 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1 C．（x+2）2+（y+2）2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【答案】B【分析】两圆关于（1，0）中心对称，根据圆心关于（1，0）对称与半径相等求解即可．【解答】解：圆x2+（y+2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1，设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C（x，y），则，解得，则C（2，2），故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．故选：B．6．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】根据两直线互相垂直求出a的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论．【解答】解：当直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直时，有1×a+（﹣a）（a+2）＝0，即a2+a＝0，解得a＝﹣1或a＝0，所以“a＝﹣1”是“直线l1：x﹣ay+1＝0和直线l2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的充分而不必要条件．故选：A．7．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（）A．x2+y2﹣2x+2y＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0 C．x2+y2+4x﹣4y＝0 D．x2+y2+2x﹣2y＝0【考点】圆的一般方程；圆的标准方程．【答案】D【分析】求出圆心和半径，从而得出圆的方程．【解答】解：因为M（﹣2，0），N（0，2）的中点为M（﹣1，1），，即，所以以线段MN为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2，化简得x2+y2+2x﹣2y＝0．故选：D．8．（4分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x＝（）A．﹣1 B．0 C． D．1【考点】空间中的点的坐标．【答案】A【分析】利用向量共面定理求解．【解答】解：已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（x，1，1），则，若点P在平面ABC内，则有，m，n∈R，即（x﹣1，1，1）＝（m﹣n，m，n），则，解得x＝﹣1．故选：A．9．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（）A．存在点E，使EF∥BD B．三棱锥B1﹣ACE的体积随动点E变化而变化 C．直线EF与AD1所成的角不可能等于60° D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．【答案】D【分析】根据立体几何的相关知识对选项进行逐一判断即可．【解答】解：对于A，因为BD∥B1D1，E在线段A1C1上运动，当E为A1C1的中点时，EF与B1D1相交，其余情况下，EF与B1D1为异面直线，不可能平行，故A错误；对于B，，而点E所在的线段A1C1与平面AB1C平行，故点E到平面AB1C的距离保持不变，故三棱锥B1﹣ACE的体积为定值，故B错误；对于C，当点E为A1C1中点时，△C1EF为等边三角形，此时∠EFC1＝60°，而AD1∥BC1，故此时EF与AD1所成的角为60°，故C错误；对于D，当点E为A1C1中点时，EF∥A1B，而A1B⊥AB1，故EF⊥AB1，由三垂线定理可得，EF⊥AD，故EF⊥平面AB1C1D，故D正确；故选：D．10．（4分）如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（）A． B．6 C． D．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【答案】A【分析】由题意由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0）设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB＝∠PAB＝45°，即P2A⊥OA；PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P2＝2；故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）直线2x+y﹣1＝0的一个方向向量为（1，﹣2）（答案不唯一）．【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；直线的斜率．【答案】（1，﹣2）（答案不唯一）．【分析】首先得到其法向量为（2，1），则可直接写出其一个方向向量．【解答】解：直线2x+y﹣1＝0的法向量为（2，1），则其一个方向向量为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．12．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知，，，则的坐标为．【考点】空间向量运算的坐标表示；空间向量及其线性运算．【答案】．【分析】利用空间向量线性坐标运算求解即可．【解答】解：因为，所以，所以，又，，所以．故答案为：．13．（5分）已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（5，3），则底边的另一个端点C的轨迹方程为x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．【考点】轨迹方程．【答案】x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．【分析】根据题意，设另一个端点C的坐标为（x，y），由|AB|＝|AC|，列出方程，化简即可得到结果．【解答】解：设底边的另一个端点C的坐标为（x，y），则，化简可得x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0，因为A，B，C三点构成三角形，所以三点不共线且B，C不重合，当A，B，C三点共线时，，由直线的点斜式可得y﹣2＝1×（x﹣4），化简可得x﹣y﹣2＝0，所以点C的轨迹方程为x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．故答案为：x2+y2﹣8x﹣4y+18＝0（x﹣y﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．14．（5分）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是；第3次由甲射击的概率是．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【答案】，．【分析】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况，从而得出结果；第二空：第3次由甲射击有两种情况，分类讨论得出结果．【解答】解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是；第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中，故概率是．故答案为：；．15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点间的直角距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如图是圆A：（x﹣1）2+y2＝1当时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d（C，D）＝．若点P为曲线上任一点，则d（O，P）的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】，．【分析】由已知求得D、C的坐标，直接由两点间的直角距离公式求d（C，D）；据对称性，只需讨论点P在第一象限的两类情况，求得d（O，P），取最大值即可．【解答】解：由图可得，点D（2，0），，∴；根据对称性，只需讨论点P在第一象限的情况：当点P在CD上时，设∠PAD＝θ，，则P（1+cosθ，sinθ），∴（当且仅当时取等号）；当点P不在CD上时，所在圆的圆心坐标，设∠PEC＝α，，可得，，sinα∈[0，1]，∴＝，（当且仅当时取等号）．综上所述，d（O，P）的最大值为．故答案为：，．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点．（1）求边AC上的高所在直线的方程；（2）求∠BAC角平分线所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两直线的夹角与到角问题．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边AC上的高所在直线的斜率，进而得出答案；（2）由得∠BAC＝60°，可得∠BAC角平分线AE的倾斜角为30°，求出AE的斜率，进而可得出答案．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），点，∴边AC所在直线斜率，∴边AC上的高所在直线BD的斜率，且过点B（2，0）．∴边AC上的高所在直线的方程为．（2）由得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率．又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），∴∠BAC角平分线所在直线的方程为．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；随机事件．【答案】（1）答案见解析；（2），，；（3）事件A和事件B相互独立，理由见解析．【分析】（1）逐一列举出样本空间；（2）根据古典概型的公式求解结果；（3）根据独立性公式判断．【解答】解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，所以．因为AB＝{（1，3）}，所以；（3）因为，所以事件A和事件B相互独立．18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出在平面ADD1A1上的投影向量的坐标；（2）求点B1到平面AED1的距离；（3）求直线DB1与平面AED1所成角的正弦值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【答案】（1）（1，0，1）；（2）；（3）．【分析】（1）依题意A1B1⊥平面ADD1A1，所以在平面ADD1A1上的投影向量为；（2）求出平面AED1的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；（3）利用直线与平面所成角的向量公式求解．【解答】解：（1）依题意：D（0，0，0），B1（1，2，1），A1（1，0，1），所以，因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，所以在平面ADD1A1上的投影向量为，坐标为（1，0，1）．（2）由题意知，D1（0，0，1），A（1，0，0），E（0，1，0），所以，．设平面AED1的法向量为，则，令x＝1，则y＝1，z＝1，所以是平面AED1的一个法向量，因为，所以B1到平面AED1的距离为＝＝．（3）设直线DB1与平面AED1所成角为θ，则＝＝＝．即直线DB1与平面AED1所成角的正弦值是．19．（15分）已知圆C经过点A（0，2）和点B（1，3），且圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若线段DE的端点D的坐标是（4，3），端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；圆的标准方程．【答案】（1）x2+y2﹣4x﹣2y＝0．（2）．【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解；（2）设出M点坐标，根据题意求解出E点坐标，代入圆C后解得点M的轨迹方程．【解答】（1）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），故圆心为，由题意得，解得，所以圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）设点M的坐标是（x，y），点E的坐标是（x0，y0）．因为点D的坐标是（4，3），且M是线段DE的中点，所以．故x0＝2x﹣4，y0＝2y﹣3．①因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，即．②把①代入②，得（2x﹣4）2+（2y﹣3）2﹣4（2x﹣4）﹣2（2y﹣3）＝0，整理，得．20．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是A1B1，CC1的中点．（1）求证：C1D⊥A1B；（2）求证：C1D∥平面A1BE；（3）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE的夹角为60°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，，【分析】（1）建立空间直角坐标系，证即可；（2）求出平面A1BE的法向量，证即可；（3）设点P满足，，求出平面PAB的法向量，平面A1BE的法向量，利用向量夹角公式求解．【解答】解：（1）证明：因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥平面ABC．又∠ACB＝90°