2023-2024学年福建省福州二中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2或x≥3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤﹣2或x≥3}2．（5分）已知A（1，2），B（2，4），C（m，6）三点共线，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．33．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A． B． C． D．4．（5分）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（）A． B． C．或 D．或5．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（）A．a的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80 C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人7．（5分）设，，c＝e﹣2+ln2，设a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝x3+2x，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣5x﹣2 B．y＝﹣5x﹣8 C．y＝5x+2 D．y＝5x+8二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分．（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A． B．log2a+log2b≤﹣2 C．a2+b2≥1 D．（多选）10．（6分）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A． B．f（x）在上单调递增 C．f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D．f（x）在[﹣π，π]上的零点有4个（多选）11．（6分）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（）A．当a＞1时，f（x）有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为．13．（5分）已知函数是增函数，则实数a的取值范围为．14．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：①四棱锥E﹣ACC1A1的体积为定值②三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为③A1D+DB的最小值为请写出所有正确结论的序号．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝ccosA．（1）试判断△ABC的形状；（2）若c＝1，求△ABC周长的最大值．16．（15分）在各项均不相等的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．17．（15分）已知函数f（x）＝lnx+x2+ax+2在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y＝0垂直．（1）求a；（2）求f（x）的单调区间和极值．18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，AD＝2，M为BC的中点．（1）求证：AM⊥平面PBD；（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（3）求D到平面APM的距离．19．（17分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，2）．（1）求抛物线E的方程；（2）设直线y＝kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补．（i）求k的值；（ii）若m＜3，求△PAB面积的最大值．

2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2或x≥3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤﹣2或x≥3}【考点】一元二次不等式及其应用；并集及其运算；其他不等式的解法．【答案】B【分析】先求出集合A，然后结合集合并集运算即可求解．【解答】解：因为集合＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}．故选：B．2．（5分）已知A（1，2），B（2，4），C（m，6）三点共线，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【考点】三点共线．【答案】D【分析】先求出直线AB的方程，然后把C的坐标代入即可求解．【解答】解：因为A（1，2），B（2，4），C（m，6）三点共线，又kAB＝＝2，即直线AB所在的方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，所以2m＝6，即m＝3．故选：D．3．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P＝＝＝．故选：D．4．（5分）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（）A． B． C．或 D．或【考点】求椭圆的焦点和焦距．【答案】D【分析】利用椭圆的离心率列出方程求解即可．【解答】解：椭圆的离心率为，可得，或，解得a＝或a＝，2c＝2＝2，或2c＝2＝．故选：D．5．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆相交的性质．【答案】B【分析】由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D（1，2）的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．【解答】解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．6．（5分）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（）A．a的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80 C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人【考点】频率分布直方图的应用．【答案】C【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D．【解答】解：易知（a+0.02+0.05+0.025）×10＝1，则a＝0.005，所以A错误：由频率分布直方图可知众数落在区间[80，90），用区间中点表示众数即85，所以B错误；由频率分布直方图可知0.05+0.2+（x﹣80）×0.05＝0.6，解得x＝87，所以这组数据的第60百分位数为87，所以C正确；成绩低于80分的频率为0.05+0.2＝0.25，所以估计总体有1000×0.25＝250，故D错误．故选：C．7．（5分）设，，c＝e﹣2+ln2，设a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】A【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较．【解答】解：构造函数，则，当x＞1时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上为减函数，而，，，又1＜ln3＜2，所以f（1）＞f（ln3）＞f（2），即a＞b＞c．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝x3+2x，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣5x﹣2 B．y＝﹣5x﹣8 C．y＝5x+2 D．y＝5x+8【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】A【分析】先求出x＜0时，函数f（x）的解析式，再利用导数的几何意义即可得解．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，又当x＞0时，f（x）＝x3+2x，则f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣x3﹣2x，又f（x）为偶函数，则f（x）＝﹣x3﹣2x（x＜0），故当x＜0时，f′（x）＝﹣3x2﹣2，则f′（﹣1）＝﹣3﹣2＝﹣5，又f（﹣1）＝3，则所求切线方程为y﹣3＝﹣5（x+1），即y＝﹣5x﹣2．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分．（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A． B．log2a+log2b≤﹣2 C．a2+b2≥1 D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】ABD【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；由A知，log2a+log2b＝log2ab≤log2＝﹣2，B正确；a2+b2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，C错误；2a+2b＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A． B．f（x）在上单调递增 C．f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D．f（x）在[﹣π，π]上的零点有4个【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】AD【分析】由图知可得A的值及ω与φ的关系，可得ω，φ的值，进而求出函数的解析式；再由三角函数的性质分别判断所给命题的真假．【解答】解：由图知A＝2，且，解得ω＝2，φ＝，即f（x）＝2sin（2x+），所以A正确；B中，x∈[﹣，]，可得2x+∈[﹣，]⊈[﹣，]，所以函数不单调，所以B不正确；C中，设g（x）＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），显然不是奇函数，所以C不正确；D中，因为x∈[﹣π，π]，所以2x+∈[﹣，]，可得函数的零点满足2x+＝﹣π，0，π，2π，即零点为﹣，﹣，，，即函数有4个零点，所以D正确．故选：AD．（多选）11．（6分）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（）A．当a＞1时，f（x）有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】AD【分析】先对f（x）求导，根据a的范围可判断f（x）的单调性，进而确定极值或极值点，可判断A、B；三次函数不存在对称轴，可判断C；a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣3，关于点（1，﹣3）中心对称，可判断D．【解答】解：由f（x）＝2x3﹣3ax2+1，得f'（x）＝6x（x﹣a），对于A，当a＞1时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（﹣∞，0）和（a，+∞）上单调递增；f（x）的极大值f（0）＝1＞0，f（x）的极小值f（a）＝1﹣a3＜0，所以f（x）有三个零点，故A正确；对于B，当a＜0时，f（x）在（a，0）上单调递减，在（﹣∞，a）和（0，+∞）上单调递增，x＝0是极小值点，故B错误；对于C，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；对于D，当a＝2时，f（x）＝2x3﹣6x2+1＝2（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣3，关于点（1，﹣3）中心对称，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为﹣2．【考点】复数的实部与虚部．【答案】﹣2．【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可．【解答】解：因为iz＝2+i，所以，所以z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）已知函数是增函数，则实数a的取值范围为（，]．【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】（，]．【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，因为为增函数，所以，解得，即实数a的取值范围为（，]．故答案为：（，]．14．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：①四棱锥E﹣ACC1A1的体积为定值②三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为③A1D+DB的最小值为请写出所有正确结论的序号①②．【考点】棱锥的体积．【答案】①②．【分析】对于①：根据BB1∥平面ACC1A1可知四棱锥E﹣ACC1A1的高为定值，进而可得结果；对于②：分析可知△ABD的面积最大值为1，三棱锥E﹣ABD的最大值为2，即可得体积最大值；对于③：将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面，结合平面几何性质分析最值．【解答】解：对于①：因为BB1∥平面ACC1A1，且E∈BB1，可知点E到平面ACC1A1的距离相等，即四棱锥E﹣ACC1A1的高为定值，且底面ACC1A1为面积为定值，所以四棱锥E﹣ACC1A1的体积为定值，故①正确；对于②：因为点D在棱AC上，且AC⊥BC，可知当且仅当点D与点C重合时，△ABD的面积取到最大值，又因为点E在棱BB1上，且BB1⊥平面ABC，可知当且仅当点E与点B1重合时，三棱锥E﹣ABD的高取到最大值2，所以三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为，故②正确；对于③：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面，连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，因为A1C1＝CC1＝2，BC＝1，则BC1＝3，可得，所以A1D+DB的最小值为，故③错误；故答案为：①②．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝ccosA．（1）试判断△ABC的形状；（2）若c＝1，求△ABC周长的最大值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）．【分析】（1）由题意利用余弦定理得a2+b2＝c2，可求，即可判断△ABC的形状；（2）由（1）及题意可得a＝sinA，b＝cosA，进而利用三角函数恒等变换以及正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由b＝ccosA，利用余弦定理得，即a2+b2＝c2，所以，所以△ABC是直角三角形；（2）由（1）知△ABC是直角三角形，且c＝1，可得a＝sinA，b＝cosA，所以△ABC周长为，所以当时，即△ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为．16．（15分）在各项均不相等的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【答案】（1）an＝2n﹣1，；（2）．【分析】（1）设数列{an}的公差为d，由已知可得，解得d＝0（舍去）或d＝2a1＝2，可求数列的通项公式；（2）利用，可求数列的前n项和．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，则a2＝a1+d，a5＝a1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴，即，整理得d2＝2a1d，解得d＝0（舍去）或d＝2a1＝2，∴an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，当n≥2时，，当n＝1时，b1＝2满足上式，∴数列{bn}的通项公式为．（2），则数列的前n项和＝．17．（15分）已知函数f（x）＝lnx+x2+ax+2在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y＝0垂直．（1）求a；（2）求f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）a＝﹣3；（2）单调递增区间为、（1，+∞），单调递减区间为，极大值，极小值0．【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值．【解答】解：（1），则，由题意可得，解得a＝﹣3；（2）由a＝﹣3，故f（x）＝lnx+x2﹣3x+2，则，x＞0，故当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的单调递增区间为、（1，+∞），f（x）的单调递减区间为，故f（x）有极大值，有极小值f（1）＝ln1+12﹣3×1+2＝0．18．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，AD＝2，M为BC的中点．（1）求证：AM⊥平面PBD；（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（3）求D到平面APM的距离．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直．【答案】（1）证明过程见解析；（2）；（3）．【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）证明：∵PD＝DC＝2，AD＝2，M为BC的中点，∴，又四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，∴，∴Rt△DAB∽Rt△ABM，∴∠DBA＝∠AMB，又，∴，∵PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD