2023-2024学年福建省福州市福清市高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年福建省福州市福清市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）一质点P的运动方程为S（t）＝2sint（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在t＝π时的瞬时速度是（）A．﹣2m/s B．﹣1m/s C．1m/s D．2m/s2．（5分）已知数列{an}的前5项依次为﹣1，34，−12，516，−A．an=−n+12C．an=−n+13．（5分）已知{an}为递增的等差数列，a4a5＝15，a3+a6＝8，则a4＝（）A．3 B．113 C．3或5 D．1134．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f′（x）的图象大致为（）A． B． C． D．5．（5分）已知等比数列{an}，a1a2a3＝2，a2a3a4＝8，则a9＝（）A．28 B．32 C．36 D．406．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x有两个零点，则（）A．a≤0 B．0＜a＜e C．a≥e D．a＞e7．（5分）数列{an}满足an=ncosnπ2A．﹣4 B．0 C．4 D．168．（5分）已知函数f(x)=13xA．（﹣∞﹣1] B．(−∞，14] C．[﹣1，+∞）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列函数在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣ex B．y＝e﹣x﹣ex C．y＝x﹣sinx D．y=（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＞0，S14＜0，则下列结论错误的是（）A．{an}是递增数列 B．a7＞0 C．当Sn取得最大值时，n＝7 D．|a7|＞|a8|（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ax3﹣6ax2+1（a≠0）有且仅有三个不同的零点分别为x1，x2，x3，则（）A．a的范围是(−∞，132) B．aC．x1x2x3＝﹣1 D．x1+x2+x3＝6三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝9，S6＝36，则S9的值为．13．（5分）若函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，f′（x）的图象关于原点对称，且f'（x）在（0，1）上恒为负数，则f（x）的解析式可以为f（x）＝（写出符合条件的一个即可）．14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝6n，则a3＝，{an}的通项公式为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）求f（x）在[﹣2，2]的最值．16．（15分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1．（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项和前n项和Sn．17．（15分）已知函数f（x）＝2xlnx+3．（1）求f（x）的极值；（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥﹣x2+ax成立，求实数a的取值范围．18．（17分）记数列{an}的前n项和Sn，Sn＝（n+1）an﹣n（n+1）．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{1anan+1}的前n19．（17分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln（x+m）．（1）若f（x）与g（x）互为反函数，求实数m的值；（2）若h（x）＝f（x）﹣g（x），且m≤2，证明：h（x）＞0；（3）若a＞0，b＞0，且f(1a)+g(1b−m)=1，证明：

2023-2024学年福建省福州市福清市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）一质点P的运动方程为S（t）＝2sint（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在t＝π时的瞬时速度是（）A．﹣2m/s B．﹣1m/s C．1m/s D．2m/s【考点】变化的快慢与变化率；基本初等函数的导数．【答案】A【分析】根据导数的实际意义求解．【解答】解：由题意可知，V（t）＝S′（t）＝2cost，所以该质点在t＝π时的瞬时速度是V（π）＝2cosπ＝﹣2（m/s）．故选：A．2．（5分）已知数列{an}的前5项依次为﹣1，34，−12，516，−A．an=−n+12C．an=−n+1【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【答案】B【分析】根据已知条件，对原数列变形，再观察其规律，即可求解．【解答】解：数列{an}的前5项依次为﹣1，34，−12，516，−316，即﹣1，34故{an}的一个通项公式是an故选：B．3．（5分）已知{an}为递增的等差数列，a4a5＝15，a3+a6＝8，则a4＝（）A．3 B．113 C．3或5 D．113【考点】等差数列的通项公式．【答案】A【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【解答】解：{an}为递增的等差数列，a3+a6＝8，则a4+a5＝8，a4a5＝15，且{an}为递增的等差数列，则a4故选：A．4．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f′（x）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】根据题意，由f（x）的图象分析f（x）的单调性，进而分析f′（x）的符号，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，由f（x）的图象，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，在区间（0，+∞）上递减，则在区间（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，在区间（0，+∞）上，f′（x）＜0，分析选项，D符合．故选：D．5．（5分）已知等比数列{an}，a1a2a3＝2，a2a3a4＝8，则a9＝（）A．28 B．32 C．36 D．40【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【答案】B【分析】根据等比数列的定义与通项公式，求出公比q，再求a9．【解答】解：等比数列{an}中，a1a2a3=a23=2，所以a2a3a4=a33=所以q=a所以a9＝a3q6＝2×2故选：B．6．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x有两个零点，则（）A．a≤0 B．0＜a＜e C．a≥e D．a＞e【考点】利用导数研究函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【答案】D【分析】先判断出a≠0，分离参数可得1a=lnxx有两个零点，构造函数g（x）=lnx【解答】解：当a＝0时，显然不符合题意，故a≠0，由f（x）＝alnx﹣x＝0可得1a令g（x）=lnxx，则当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x→0且x＜0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）＞0且g（x）→0，因为f（e）=1其大致图象如图所示，结合函数图象可知，0＜1所以a＞e．故选：D．7．（5分）数列{an}满足an=ncosnπ2A．﹣4 B．0 C．4 D．16【考点】数列的求和．【答案】C【分析】结合已知通项公式求出数列的前8项，即可求解．【解答】解：因为an则{an}的前8项和为cosπ2+2cosπ+3cos3π2+4cos2π+5cos5π2+＝0﹣2+0+4+0﹣6+0+8＝4．故选：C．8．（5分）已知函数f(x)=13xA．（﹣∞﹣1] B．(−∞，14] C．[﹣1，+∞）【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】D【分析】将f（x）在（1，+∞）上单调递增，化为f′（x）≥0对任意x∈（1，+∞）成立，再转化为m≥﹣x4+4x3﹣5x2+2x对任意x∈（1，+∞）成立求解．【解答】解：∵f（x）=13x3﹣x2∴f′（x）＝x2﹣2x+m(x−1)2即m≥﹣x4+4x3﹣5x2+2x对任意x∈（1，+∞）成立，令g（x）＝﹣x4+4x3﹣5x2+2x＝﹣x（x﹣1）2（x﹣2），则g′（x）＝﹣4x3+12x2﹣10x+2＝﹣2（2x3﹣6x2+5x﹣1）＝﹣2（x﹣1）（2x2﹣4x+1），∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0，令g'（x）＝0，即2x2﹣4x+1＝0，解得x＝1+22或x＝1∴g（x）在（1，1+22）单调递增，（1∴g（x）max＝g（1+22）＝﹣（1+22）（1+22−∴只需m≥1故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列函数在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣ex B．y＝e﹣x﹣ex C．y＝x﹣sinx D．y=【考点】利用导数研究函数的单调性；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】ABD【分析】直接对各选项函数求导，由导函数再区间（0，+∞）上小于0，即可判断函数在（0，+∞）上单调的单调性，进而即可判断得出答案．【解答】解：对于A，当x∈（0，+∞）时，y′＝1﹣ex＜0，即y＝x﹣ex在（0，+∞）上单调递减，故A正确；对于B，当x∈（0，+∞）时，y′＝﹣e﹣x﹣ex＜0，即y＝e﹣x﹣ex在（0，+∞）上单调递减，故B正确；对于C，当x∈（0，+∞）时，y′＝1﹣cosx≥0，即y＝x﹣sinx在（0，+∞）上单调递增，故C错误；对于D，当x∈（0，+∞）时，y′=−1x2＜0，即y故选：ABD．（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＞0，S14＜0，则下列结论错误的是（）A．{an}是递增数列 B．a7＞0 C．当Sn取得最大值时，n＝7 D．|a7|＞|a8|【考点】等差数列的前n项和．【答案】AD【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式，判断选项中命题是否正确即可．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S13＝13×a1+a132=13a7又S14＜0，所以S14﹣S13＝a14＜0，所以公差d=17（a14﹣a7）＜0，数列{an}是递减数列，选项又S15＝15a8＜S14＜0，所以a8＜0，所以当Sn取得最大值时，n＝7，选项C正确；由S14＝14×a1+a142=7（a1+a14）＝7（a7+a8）＜0，且a7＞0，a8＜0，所以|a7故选：AD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ax3﹣6ax2+1（a≠0）有且仅有三个不同的零点分别为x1，x2，x3，则（）A．a的范围是(−∞，132) B．aC．x1x2x3＝﹣1 D．x1+x2+x3＝6【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【答案】BD【分析】分a＜0和a＞0两种情况研究函数的单调性和极值，结合函数f（x）＝ax3﹣6ax2+1（a≠0）有且仅有三个不同的零点分别为x1，x2，x3，可得f（x）极小值＞0，f（x）极大值＜0，解出a的范围判断A，B选项，设f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）展开对比函数f（x）＝ax3﹣6ax2+1即可判断C，D．【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣6ax2+1（a≠0，x∈R），∴f′（x）＝3ax2﹣12ax＝3ax（x﹣4），令f′（x）＝0，则x1＝0，x2＝4，当a＜0时，当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）极小值＝f（0）＝1＞0，f（x）极大值＝f（4）＝1﹣32a＞0，此时函数只一个零点，不满足题意，当a＞0时，当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极大值＝f（0）＝1＞0，要使函数有三个零点，则需要f（x）极大值＝f（4）＝1﹣32a＜0，解得a＞1∴a的取值范围为（132，+∞），故A错误，B∵函数f（x）＝ax3﹣6ax2+1（a≠0）有且仅有三个不同的零点分别为x1，x2，x3，∴设f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝a[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]（x﹣x3）＝a[x3﹣x3x2﹣（x1+x2）x2+（x1+x2）x3x+x1x2x﹣x1x2x3]＝ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x3+x2x3+x1x2）x﹣ax1x2x3＝ax3﹣6ax2+1，即有x1+x2+x3＝6，x1x3+x2x3+x1x2＝0，ax1x2x3＝﹣1，故C错误，D正确．故选：BD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝9，S6＝36，则S9的值为81．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【答案】见试题解答内容【分析】由等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，由已知数据代入计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+（S9﹣S6），代入数据可得2（36﹣9）＝9+（S9﹣36），解之可得S9＝81．故答案为：81．13．（5分）若函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，f′（x）的图象关于原点对称，且f'（x）在（0，1）上恒为负数，则f（x）的解析式可以为f（x）＝﹣x2（答案不唯一）（写出符合条件的一个即可）．【考点】基本初等函数的导数；函数解析式的求解及常用方法．【答案】﹣x2（答案不唯一）．【分析】由已知结合基本初等函数的求导公式即可求解．【解答】解：因为f′（x）的图象关于原点对称，且f'（x）在（0，1）上恒为负数，所以f（x）＝﹣x2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2（答案不唯一）．14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝6n，则a3＝7，{an}的通项公式为3n−32+1【考点】数列递推式．【答案】7；3n−32+【分析】根据an+1+an＝6n可得：an+1﹣3（n+1）+32=−（an﹣3n+32），进而得出数列{an﹣3n【解答】解：因为an+1+an＝6n，所以an+1﹣3（n+1）+32=−（an﹣3又因为a1＝1，所以a1﹣3+3所以数列{an﹣3n+32}是首项为所以an﹣3n+32=−12×（﹣1）所以an＝3n−32+所以a3＝9−3故答案为：7；3n−32+四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝ex﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）求f（x）在[﹣2，2]的最值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）y＝1；（2）最大值为e2﹣2，最小值为1．【分析】（1）对函数f（x）求导，求出切线斜率及切点坐标，即可求出切线方程；（2）求导判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最小值，并求出f（﹣2）及f（2），比较大小即可确定最大值．【解答】解：（1）因为f（x）＝ex﹣x，所以f'（x）＝ex﹣1，所以f'（0）＝e0﹣1＝0，即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为0，由f（0）＝1，得切点（0，1），故所求的切线方程为y＝1．（2）由（1）得，f'（x）＝ex﹣1．令f'（x）＝0得x＝0，当x＜0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．故当x＝0时，f（x）取得最小值为f（0）＝1，又f（﹣2）＝e﹣2+2，f（2）＝e2﹣2，比较可得e2﹣2＞e﹣2+2，故函数在[﹣2，2]上的最大值为e2﹣2，最小值为1．16．（15分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1．（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项和前n项和Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由an+1＝2an+1变形为an+1+1＝2（an+1），即可证明数列{an+1}是等比数列；（2）由（1）可得：an=2n−1．再利用等比数列和等差数列的前【解答】解：（1）由an+1＝2an+1变形为an+1+1＝2（an+1），又a1+1＝2，∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为2．（2）由（1）可得：an∴an∴Sn=2(2n−1)2−1−n17．（15分）已知函数f（x）＝2xlnx+3．（1）求f（x）的极值；（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥﹣x2+ax成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值．【答案】（1）f（x）极小值−2（2）（﹣∞，4]．【分析】（1）求导得f′（x）＝2（lnx+1），令f′（x）＝0，得x=1（2）由题意得a≤2xlnx+x2+3x=2lnx+x+3x恒成立，令g(x)=2lnx+x+3【解答】解：（1）由f（x）＝2xlnx+3（x＞0），得f′（x）＝2（lnx+1），令f′（x）＝0，得x=1当0＜x＜1e时，f′（x）＜0，当x＞1e时，故f（x）在x=1e处有极小值（2）由f（x）≥﹣x2+ax，f（x）＝2xlnx+3，整理得a≤2xlnx+令g(x)=2lnx+x+3x(x＞0)当x＞1时，g′（x）＞0，0＜x＜1时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝4，所以a≤4，即实数a的取值范围为（﹣∞，4]．18．（17分）记数列{an}的前n项和Sn，Sn＝（n+1）an﹣n（n+1）．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{1anan+1}的前n【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2n，（2）详见解答过程．【分析】（1）由已知结合数列和与项的递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式即可求解；（2）利用裂项求和求出Tn，然后结合函数的单调性即可求Tn的范围，即可证明．【解答】解：（1）因为Sn＝（n+1）an﹣n（n+1），当n≥2时，Sn﹣1＝nan﹣1﹣n（n﹣1），则an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n+1）an﹣n（n+1）﹣nan﹣1+n（n﹣1）＝（n+1）an﹣nan﹣1﹣2n，故nan＝nan﹣1+2n，即an﹣an﹣1＝2，当n＝1时，有a1＝S1＝（1+1）a1﹣（1+1），即a1＝2，故{an}是公差，首项均为2的等差数列，故an＝2+2（n﹣1）＝2n．证明：（2）由（1）得an＝2n，故1a则Tn因为Tn故Tn又y=1故Tn=