2023-2024学年福建省宁德五中高一(上)学科素养数学试卷

2023-2024学年福建省宁德五中高一（上）学科素养数学试卷一、单选题（本题共8小题，共24分）1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是（）册数01234人数31316171A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，23．（3分）某直播平台带货销售一种产品，4月份获得利润15万元，由于产品畅销，利润逐月增加，二季度共获利66.2万元，已知5月份和6月份利润的月增长率相同．设5，6月份利润的月增长率为x，那么x满足的关系为（）A．15（1+x）2＝66.2 B．15+15（1+x）2＝66.2 C．15+15（1+x）+15（1+2x）＝66.2 D．15+15（1+x）+15（1+x）2＝66.24．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA'等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m+3，2）与点Q（4，n+1）关于直线x＝2轴对称，则m+n的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且，则k的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．﹣1或37．（3分）若，则关于x的不等式组整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（3分）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k+1|k∈A}，则A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1} C．{1} D．{﹣1，1}二、多选题（本题共4小题，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分）（多选）9．（5分）下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2 B．x2+4x﹣12＝（x+2）（x+6） C．x2﹣（a+b）xy+aby2＝（x﹣ay）（x﹣by） D．x3+9+3x2+3x＝（x+3）（x2+3）（多选）10．（5分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大（多选）11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝DM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等；则期中正确的结论为（）A．① B．② C．③ D．④（多选）12．（5分）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列说法正确的是（）A．不存在实数a使得A⊆B B．当a＝4时，B⊆A C．当B⊆（∁RA）时，a的取值范围是a≥2 D．当2＜a＜3时，B⊆A三、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有个．14．（5分）代数式取得最小值时对应x的值为．15．（5分）若关于x的分式方程无解，则m的值为．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，且不等式f（x）≤2x的解集为[1，3]，则f（x）的解析式是f（x）＝．四、解答题（本题共4小题，共36分）17．（8分）．18．（9分）化简求值：，其中x是不等式组的整数解．19．（9分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x＞a}．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若B⊆∁UA，求a的取值范围．20．（10分）在一次数学活动课上，老师要求同学们画15°、30°和60°角，小强同学身旁没有量角器，也没有圆规、三角尺，他灵机一动，想到了折纸的办法：他拿出一张矩形纸片ABCD，先对折使AD与BC重合，如图一，得到折痕EF，把纸片展开，再一次折叠纸片ABCD，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．（1）请直接写出∠ABM的度数，并说明理由；（2）在图一的线段AM上取一点K，将△ABK沿着直线BK折叠，如图二，使得A点恰好落在线段BM上，求tan∠ABK；（3）若M为AD边上的一点，如图三，将△ABM沿直线BM折叠，A的对应点为N，延长MN交BC边于点Q，延长BN交AD边于点P，连接CP．①若，当AB＝2cm时，若存在唯一的点P，使得四边形MQCP为平行四边形，求n的值；②在①的条件下，若G为线段CP上一动点，如图四，连接BG，取线段BG的中点H，连接DH，求DH的最小值．

2023-2024学年福建省宁德五中高一（上）学科素养数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，共24分）1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】几何中的变换（对称、平移、旋转）．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．（3分）每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是（）册数01234人数31316171A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2【考点】众数、中位数、平均数．【答案】B【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案．【解答】解：∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；故B符合题意，故选：B．3．（3分）某直播平台带货销售一种产品，4月份获得利润15万元，由于产品畅销，利润逐月增加，二季度共获利66.2万元，已知5月份和6月份利润的月增长率相同．设5，6月份利润的月增长率为x，那么x满足的关系为（）A．15（1+x）2＝66.2 B．15+15（1+x）2＝66.2 C．15+15（1+x）+15（1+2x）＝66.2 D．15+15（1+x）+15（1+x）2＝66.2【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】D【分析】由题意得4月份利润+5月份的利润×（1+增长率）+6月份的利润×（1+增长率）2＝66.2，把相关数值代入计算，即可得出答案．【解答】解：设5、6月份的月增长率是x，则15+15（1+x）+15（1+x）2＝66.2，故选：D．4．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA'等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【考点】解三角形．【答案】B【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H是等腰直角三角形，可设AA′＝xcm，则A′D＝（2﹣x）cm，根据平行四边形的面积公式，列方程求解即可．【解答】解：由题意知，两个三角形重叠部分是一个平行四边形，设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，设AA′＝xcm，则A′H＝xcm，A′D＝（2﹣x）cm，∵两个三角形重叠部分的面积为1cm2，∴A′H•A′D＝1，即x⋅（2﹣x）＝1，解得x＝1，∴AA′＝1cm．故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m+3，2）与点Q（4，n+1）关于直线x＝2轴对称，则m+n的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【答案】C【分析】直接利用关于直线对称点的性质：纵坐标不变，横坐标到对称轴的距离相等，即可得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵P（m+3，2）与点Q（4，n+1）关于直线x＝2轴对称，∴（m+3）+4＝4，2＝n+1，∴m＝﹣3，n＝1，则m+n＝﹣2．故选：C．6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且，则k的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．﹣1或3【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】D【分析】由题意，利用根与系数的关系得x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，进而得出关于k的一元二次方程，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3．∵，∴，∴k2﹣2（k﹣3）＝9，整理得出：k2﹣2k﹣3＝0，解得：k1＝﹣1，k2＝3．故选：D．7．（3分）若，则关于x的不等式组整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】其他不等式的解法；函数的零点与方程根的关系．【答案】C【分析】先化简不等式组，借助实数m的范围解不等式，即可求解．【解答】解：因为，由不等式组可得3m＜x≤6，而0≤3m＜1，从而不等式包含的整数有1，2，3，4，5，6，共6个．故选：C．8．（3分）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k+1|k∈A}，则A∩B＝（）A．{0} B．{﹣1} C．{1} D．{﹣1，1}【考点】交集及其运算．【答案】D【分析】由题意得到B＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，利用集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k+1|k∈A}，所以B＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，则A⋂B＝{﹣1，1}．故选：D．二、多选题（本题共4小题，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分）（多选）9．（5分）下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2 B．x2+4x﹣12＝（x+2）（x+6） C．x2﹣（a+b）xy+aby2＝（x﹣ay）（x﹣by） D．x3+9+3x2+3x＝（x+3）（x2+3）【考点】有理数指数幂及根式；因式分解定理．【答案】CD【分析】原式各项利用完全平方公式及平方差公式计算得到结果，即可求解．【解答】解：对于A，（x+y）2＝x2+2xy+y2，故A错误；对于B，x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6），故B错误；对于C，由十字相乘法分解因式，x2﹣（a+b）xy+aby2＝（x﹣ay）（x﹣by），故C正确；对于D，x3+9+3x2+3x＝（x3+3x2+3x+1）+8＝（x+1）3+8＝（x+1）3+23＝[（x+1）+2][（x+1）2﹣（x+1）×2+22]＝（x+3）（x2+3），故D正确．故选：CD．（多选）10．（5分）由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大【考点】二次函数的性质与图象．【答案】AC【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．【解答】解：A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项正确；B．∵其图象的对称轴为直线x＝3，故此选项错误；C．其最小值为1，故此选项正确；D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：AC．（多选）11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝DM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等；则期中正确的结论为（）A．① B．② C．③ D．④【考点】相似三角形的性质；命题的真假判断与应用．【答案】ACD【分析】根据平行四边形的性质，证明△MDE≌△NBE，从而判断①正确；若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，通过证明△BAM≌△CDM可以判断②；过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，通过三角形面积公式可以判断③；若AB＝MN则四边形MNCD是等腰梯形，通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△MDE和△NBE中，∴△MDE≌△NBE（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正确；②若MD＝AM，∠A＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②不正确；③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，由①易得四边形MBND是平行四边形，E为BD中点，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴，故③正确；④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，又∵AD∥BC，∴四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形，如果四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，∴△MFN≌△DFC（AAS），如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到△MFN≌△DFC，故④正确．∴正确的是ACD．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列说法正确的是（）A．不存在实数a使得A⊆B B．当a＝4时，B⊆A C．当B⊆（∁RA）时，a的取值范围是a≥2 D．当2＜a＜3时，B⊆A【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】BCD【分析】当a＝﹣10时可判断选项A错误；当a＝4时，化简B＝∅，故选项B正确；由B⊆（∁RA）知A∩B＝∅，从而分三类讨论解不等式即可；由2＜a＜3知B＝∅，故选项D正确．【解答】解：当a＝﹣10时，B＝{x|﹣15＜x＜21}，故A⊆B，故选项A错误；当a＝4时，B＝{x|﹣1＜x＜﹣7}＝∅，故B⊆A，故选项B正确；∵B⊆（∁RA），∴A∩B＝∅，∴a﹣5≥1﹣2a或﹣3≤a﹣5＜1﹣2a或a﹣5＜1﹣2a≤﹣7，解得，a≥2，故选项C正确；∵2＜a＜3，∴a﹣5＞1﹣2a，∴B＝∅，B⊆A，故选项D正确；故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有8个．【考点】概率及其性质．【答案】8．【分析】根据口袋中有2个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【解答】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：，解得：x＝8，经检验：x＝8是分式方程的解，所以袋中红球有8个．故答案为：8．14．（5分）代数式取得最小值时对应x的值为．【考点】基本不等式及其应用．【答案】．【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求得答案．【解答】解：由可知x2≠0，∴x2＞0，故，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．15．（5分）若关于x的分式方程无解，则m的值为0，2，4．【考点】其他不等式的解法．【答案】0，2，4．【分析】把分式方程转化为整式方程求解，注意等价变形，即可求解．【解答】解：原方程化为，即于是显然，当m＝2时，方程无解，当x＝1时，m＝4，方程无解，当x＝﹣1时，m＝0时，方程无解．故答案为：0，2，4．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，且不等式f（x）≤2x的解集为[1，3]，则f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣2x+3．【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法．【答案】x2﹣2x+3．【分析】根据二次函数的对称轴方程和不等式f（x）≤2x的解集，列出关于a、b、c的方程组，求解即可．【解答】解：因为二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，所以﹣＝1，即b＝﹣2a；又因为不等式f（x）≤2x的解集为[1，3]，即ax2+（b﹣2）x+c≤0的解集为[1，3]，所以1和3是方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根，且a＞0，所以，解得a＝1，b＝﹣2，c＝3；所以f（x）＝x2﹣2x+3．故答案为：x2﹣2x+3．四、解答题（本题共4小题，共36分）17．（8分）．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】3．【分析】先算出﹣3的绝对值是3，﹣1的奇数次方仍然是﹣1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题．【解答】解：|﹣3|＝3，（﹣1）2023＝﹣1，（π﹣3）0＝1，，，原式＝3+（﹣1）×1﹣3+4＝3．18．（9分）化简求值：，其中x是不等式组的整数解．【考点】其他不等式的解法．【答案】﹣1．【分析】先将不等式组，化简并求其整数解，然后通分化简求解即可．【解答】解：不等式组，化简整理得﹣1≤x＜2，所以整数x的取值是0或1或﹣1；＝﹣x﹣1，由上式知x≠±1，所以x只能取0，故﹣x﹣1＝﹣1．19．（9分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x＞a}．（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若B⊆∁UA，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【答案】（1）{x|x≥﹣1}；（2）[2，+∞）．【分析】（1）求出集合A，根据集合的并集运算即可求得答案．（2）求出集合A的补集，根据B⊆∁UA，即可得答案．【解答】解：（1）由题意可得集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，故A∪B＝{x|x≥﹣1}．（2）∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x＜﹣1或x＞2}，若B⊆∁UA，则a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）．20．（10分）在一次数学活动课上，老师要求同学们画15°、30°和60°角，小强同学身旁没有量角器，也没有圆规、三角尺，他灵机一动，想到了折纸的办法：他拿出一张矩形纸片ABCD，先对折使AD与BC重合，如图一，得到折痕EF，把纸片展开，再一次折叠纸片ABCD，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．（1）请直接写出∠ABM的度数，并说明理由；（2）在图一的线段AM上取一点K，将△ABK沿着直线BK折叠，如图二，使得A点恰好落在线段BM上，求tan∠ABK；（3）若M为AD边上的一点，如图三，将△ABM沿直线BM折叠，A的对应点为N，延长MN交BC边于点Q，延长BN交AD边于点P，连接CP．①若，当AB＝2cm时，若存在唯一的点P，使得四边形MQCP为平行四边形，求n的值；②在①的条件下，若G为线段CP上一动点，如图四，连接BG，取线段BG的中点H，连接DH，求DH的最小值．【考点】解三角形．【答案】（1）∠ABM＝30°；（2）；（3）①n＝2；②．【分析】（1）根据题意可知E为AB的中点，∠BNE＝30°，根据EF∥BC，可得∠BNE＝∠NBC＝30°，进而可知∠ABM＝30°；（2）设AK＝A′K＝x，则KM＝1﹣x，利用勾股定理建立关于x的方程，求得x的值，进而得到tan∠ABK；（3）①（法一）设AP＝m，则，利用锐角三角函数找等量关系，再利用二次方程有唯一解的条件得到答案；（法二）设AP＝m，则，利用相似找等量关系，再利用二次方程有唯一解的条件得到答案；（法三）设AP＝m，则，利用利用勾股定理找等量关系，再利用二次方程有唯一解的条件得到答案；②由①的结论可知点P为AD的中点，则△ABP、△BCP均为等腰直角三角形，然后分G与C重合以及