2023-2024学年广东省潮州市潮安区松昌中学高三(上)月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年广东省潮州市潮安区松昌中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题1．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a2．已知正数a、b满足a＝b2，，则函数的定义域为（）A．（﹣3，1） B．（﹣∞，3] C．（1，3] D．（1，+∞）3．定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足条件：对∀x，y∈（0，+∞），总有f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1，则不等式f（log2x﹣1）＞1的解集是（）A．（0，4） B．（4，+∞） C．（1，4） D．（2，4）4．已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则方程f（x）＝log5|x﹣2|解的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．55．已知函数，在x∈[2，4]上的值域为（）A． B．[4，6] C． D．6．函数F（x）的定义域为M，若存在正实数m，对任意的x∈M，都有|F（x）﹣F（﹣x）|≤2m，则称函数F（x）具有性质P（2m）．已知函数具有性质P（2k），则k的最小值为（）A．2 B．1 C． D．7．已知函数，函数g（x）＝3f2（x）﹣（m+3）f（x）+m有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪{2，4} B．（3，24） C．[2，16） D．[3，24）8．已知一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则的最大值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4（多选）9．某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝lg（x≠0，x∈R）的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（）A．函数f（x）的图象关于y轴对称 B．当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数 C．函数f（x）的最小值是lg2 D．函数f（x）与x＝2有四个交点（多选）10．给出以下四个结论，其中正确结论是（）A．若函数f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（1，3） B．函数的图象上关于原点对称的点共有1对 C．若x，y，z都是正数，且2x＝3y＝5z，则3y＜2x＜5z D．设f（x）＝logax，其中a＞1，则∀x1，x2∈（0，+∞），二、填空题11．已知函数，g（x）＝mx，若函数y＝f（x﹣1）﹣g（x）恰有3个零点，则实数m的取值范围为．12．函数在区间[1，3]上严格递增，则实数a的取值范围是．13．实数x，y满足x2+2xy﹣3y2＝1，则x2+y2的最小值是．14．已知奇函数f（x）在（0，+∞）是增函数，且f（﹣2）＝0，则不等式的解集为．

2023-2024学年广东省潮州市潮安区松昌中学高三（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题1．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】D【分析】根据对数的运算性质和题设条件，化简得到a＝f（log32），b＝f（log23），结合对数函数的单调性，得出，再由f（x）在[0，+∞）上单调递增，即可求解．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得，，由对数的运算性质，可得log32＜log33＝1，1＝log22＜log23＜log24＝2，又，所以，又因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以，即c＞b＞a．故选：D．2．已知正数a、b满足a＝b2，，则函数的定义域为（）A．（﹣3，1） B．（﹣∞，3] C．（1，3] D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【答案】C【分析】根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解出这两个未知数的值，然后根据函数f（x）的解析式有意义可得出关于x的不等式组，即可解得原函数的定义域．【解答】解：因为a＝b2，则，可得a＝2b，则，解得，所以，可得，可得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，因此函数f（x）的定义域为（1，3]．故选：C．3．定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足条件：对∀x，y∈（0，+∞），总有f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1，则不等式f（log2x﹣1）＞1的解集是（）A．（0，4） B．（4，+∞） C．（1，4） D．（2，4）【考点】抽象函数及其应用．【答案】D【分析】利用函数f（x）的单调性，结合对数函数的单调性进行求解即可．【解答】解：在f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1中，令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）+f（1）﹣1⇒f（1）＝1，所以有f（log2x﹣1）＞1＝f（1），因为函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，所以有．故选：D．4．已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则方程f（x）＝log5|x﹣2|解的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】首先根据条件分析函数的对称性，以及判断函数的周期性，并画出函数y＝f（x）和y＝log5|x﹣2|的图象，利用数形结合分析方程解的个数．【解答】解：由已知得函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），又满足f（x）＝f（2﹣x），所以f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），那么f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期T＝4，并且函数满足f（x）＝f（2﹣x），还说明函数f（x）关于x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，结合函数的周期性和对称性画出函数f（x）的图象，以及y＝log5|x﹣2|的图象，设g（x）＝log5|x﹣2|，而g（﹣3）＝g（7）＝1，由函数图像可分析f（x）与g（x）的交点个数为5．故选：D．5．已知函数，在x∈[2，4]上的值域为（）A． B．[4，6] C． D．【考点】函数的值域．【答案】A【分析】通过换元令t＝log2x，t∈[1，2]，把问题转换为求二次函数的值域问题．【解答】解：因为函数，x∈[2，4]，设t＝log2x，则t∈[1，2]．所以原函数化为，由二次函数的对称轴为，所以当时，函数取得最小值，当t＝1或t＝2时，函数取得最大值为4，所以所求函数的值域为．故选：A．6．函数F（x）的定义域为M，若存在正实数m，对任意的x∈M，都有|F（x）﹣F（﹣x）|≤2m，则称函数F（x）具有性质P（2m）．已知函数具有性质P（2k），则k的最小值为（）A．2 B．1 C． D．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【答案】C【分析】化简|φ（x）﹣φ（﹣x）|并求出其范围，根据|φ（x）﹣φ（﹣x）|≤2k恒成立求出k的最小值．【解答】解：因为，x∈R，而，所以|φ（x）﹣φ（﹣x）|＜1，故2k≥1，即，所以k的最小值为．故选：C．7．已知函数，函数g（x）＝3f2（x）﹣（m+3）f（x）+m有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪{2，4} B．（3，24） C．[2，16） D．[3，24）【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】B【分析】作出函数f（x）的图像，原问题转化为函数y＝f（x）与共有6个交点，等价于y＝f（x）与有三个交点，结合图像得出其范围．【解答】解：作出函数f（x）的图像如下：数g（x）＝3f2（x）﹣（m+3）f（x）+m，且函数F（x）有6个零点等价于（3f（x）﹣m）（f（x）﹣1）＝0有6个解，等价于f（x）＝1或共有6个解，等价于函数y＝f（x）与共有6个交点，由图可得y＝f（x）与y＝1有三个交点，所以y＝f（x）与有三个交点，则直线应位于y＝1，y＝8之间，所以．故选：B．8．已知一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则的最大值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】A【分析】根据一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集判断a＜0，以及a与b、c的关系，代入中利用基本不等式求解即可．【解答】解：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以a＜0，且﹣1和2是方程ax2+bx+c＝0的解，所以，解得b＝﹣a，c＝﹣2a，所以＝﹣a+2a+＝﹣（﹣a+）≤﹣2＝﹣4，当且仅当﹣a＝，即a＝﹣2时取“＝”，所以的最大值为﹣4．故选：A．（多选）9．某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝lg（x≠0，x∈R）的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（）A．函数f（x）的图象关于y轴对称 B．当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数 C．函数f（x）的最小值是lg2 D．函数f（x）与x＝2有四个交点【考点】对数函数的图象与性质；命题的真假判断与应用．【答案】AC【分析】A．利用函数的奇偶性判断；B．由x＞0时，f（x）＝lg＝lg（x+），令t（x）＝x+，由复合函数的单调性判断；C．由x＞0时，x+≥2，再结合函数f（x）是偶函数求解判断；D．结合函数的定义即可判断．【解答】解：∵f（x）＝lg（x≠0，x∈R）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，又满足f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；当x＞0时，f（x）＝lg＝lg（x+），令t（x）＝x+，则f（t）＝lgt，由双勾函数的性质可知t（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，又f（t）＝lgt在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，故B错误；x＞0时，x+≥2（当且仅当x＝1时取等号），又f（x）是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，故C正确；由函数定义可知，f（x）不可能与x＝2有四个交点，D错误．故选：AC．（多选）10．给出以下四个结论，其中正确结论是（）A．若函数f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（1，3） B．函数的图象上关于原点对称的点共有1对 C．若x，y，z都是正数，且2x＝3y＝5z，则3y＜2x＜5z D．设f（x）＝logax，其中a＞1，则∀x1，x2∈（0，+∞），【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断；复合函数的单调性．【答案】AC【分析】对于A，利用复合函数的单调性与对数函数的定义域即可判断；对于B，利用奇函数的性质结合图象即可得解；对于C，利用指对数互换与作差法即可判断；对于D，利用对数函数的图像判断即可．【解答】解：对于A，因为f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上单调递减，y＝6﹣ax在R上调递减，所以f（x）＝loga（6﹣ax）在其定义域内单调递增，不满足题意；当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上单调递增，y＝6﹣ax在R上调递减，所以f（x）＝loga（6﹣ax）在其定义域内单调递减，满足题意；又y＝6﹣ax在[0，2]上恒有6﹣ax＞0，显然当x＝0时，不等式6＞0恒成立；当x≠0时，6﹣ax＞0可化为，又，所以a＜3，综上：1＜a＜3，故A正确；对于B，因为，当x＞0时，令g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2⋅3﹣x，从而的图象上关于原点对称的点的对数转化为f（x）和g（x）的图象在（0，+∞）上的交点个数，作出f（x）和g（x）在（0，+∞）上的函数图象，如图所示：由图象可知两函数图象有两个交点，所以的图象上关于原点O对称的点共有2对，故B错误；对于C，令2x＝3y＝5z＝t，则t＞1，所以，，，所以，则3y＜2x，，则2x＜5z，所以3y＜2x＜5z，故C正确；对于D，如图，由于f（x）＝logax（a＞1）是上凸函数，故应为B点对应纵坐标，应为A点对应纵坐标，故，当x1＝x2时，等号成立，故D错误．故选：AC．二、填空题11．已知函数，g（x）＝mx，若函数y＝f（x﹣1）﹣g（x）恰有3个零点，则实数m的取值范围为．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】．【分析】将问题转化为y＝f（x﹣1）与y＝mx图象有三个交点，观察图象得m的取值范围．【解答】解：由，得，由题意得，函数y＝g（x）与函数y＝f（x﹣1）的图象恰有3个公共点，作出函数y＝f（x﹣1）的图象，如图：再作出直线y＝mx，它始终过原点，当m≤0时，y＝f（x﹣1）与y＝mx至多有两个交点，不满足；当m＞0时，设直线y＝mx与y＝lnx相切，切点为（x0，lnx0），由y＝lnx，知，切线斜率为，切线方程为，把（0，0）代入得﹣lnx0＝﹣1，x0＝e，所以切线斜率为，由图可得y＝f（x﹣1）与y＝mx图象有3个交点时，实数m的取值范围是．故答案为：．12．函数在区间[1，3]上严格递增，则实数a的取值范围是．【考点】复合函数的单调性．【答案】．【分析】运用复合函数的单调性分别研究当a＞1与0＜a＜1时g（x）＝ax2﹣4x+9在[1，3]上的单调性，且g（x）＞0在[1，3]恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果．【解答】解：由题意知，a＞0且a≠1，令g（x）＝ax2﹣4x+9，则其对称轴为，①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[1，3