2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第七节 第2课时 直线与抛物线的位置关系

第九章平面解析几何第七节

抛物线第2课时

直线与抛物线的位置关系课标解读考向预测1．会判断直线与抛物线的位置关系．2．会求直线与抛物线相交所得的弦长．3．能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2026年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系相交相切相离(2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线_____，有_____交点；当Δ＝0时，直线与抛物线_____，有_____交点；当Δ<0时，直线与抛物线_____，____交点．②若k＝0，直线与抛物线_________交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的___________条件．相交两个相切一个相离无只有一个必要不充分3．抛物线的焦点弦问题若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝___________(x1，x2分别为M，N的横坐标)．x1＋x2＋p设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．标准方程弦长公式y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)题组一走出误区——判一判(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点．(

)(2)已知过抛物线C：y2＝x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，则|AB|＝1.(

)(3)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＝2.(

)×√×(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点的直线有_____条．32x－y＋3＝0考点探究—提素养抛物线的切线(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为(

)A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．x－2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0求抛物线切线方程的方法方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程方法三过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)1.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线l的方程为y＝－1，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是(

)A．C的方程为x2＝2yB．∠AMB＝90°C．M恒在l上D．|MF|2＝|AF|·|BF|焦点弦、中点弦问题

解决焦点弦、中点弦问题的策略直线与抛物线的综合问题如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，点A(2，y0)在C上，△OAF的面积为4.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(m，0)(m>0)作斜率为－1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2∥l1，求△MNQ的面积．解决直线与抛物线综合问题的策略(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点直线与抛物线的位置关系弦长问题中点弦问题弦长问题抛物线的切线焦点弦问题中点弦问题焦点弦问题直线与抛物线的综合问题弦长及中点弦问题题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点直线与抛物线的综合问题弦长问题中点弦问题弦长问题焦点弦问题直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题抛物线的切线一、单项选择题1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(

)A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切解析：直线l与抛物线的对称轴平行或直线l与抛物线相切时只有一个公共点，所以直线l与抛物线相交或相切．故选D.4．(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm，则该抛物线的通径长为(

)A．16B．18C．20D．226．(2025·安徽池州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l：x＋2y＝1交C于A，B两点．过A，B作直线l1：x＝－3的垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＋|BB1|＝(

)A．16B．18C．20 D．2411．(2025·安徽部分高中高三质检)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到点(2，t)时，|PF|＝4，直线l与E相交于A，B两点，点Q(6，－4)，则(

)A．E的准线方程为x＝－2B．|PQ|＋|PF|的最小值为8C．若|AB|＝8，则直线l过点FD．当直线l过点F时，以AF为直径的圆与y轴相切三、填空题12．过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为____．613．已知抛物线x2＝2y上两点A，B关于点M(2，t)对称，则直线AB的斜率为___．2y2＝8x四、解答题15．已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T交于A，B两点．(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；(2)点C(－3，－2)