2025-2026学年第18章勾股定理及其逆定理单元检测卷沪科版八年级下册数学 含答案

/第18章勾股定理及其逆定理单元全优达标检测卷一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．12．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACBA．16 B．32 C．82 D．4．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（）A．22 B．223 C．25．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（）A．−5 B．-1−5 C．1−56．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，cC．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，c7．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE>DE）剪去了一角，量得A．5cm B．12cm C．16cm8．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米9．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：dA．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整10．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．在△ABC中，∠C=90°，c=25cm，a：b=3：4，则S△ABC=．12．如图，在ΔABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，点D在边AC上，将ΔABD绕点B顺时针旋转能与ΔCBE13．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则BEAB＝15．如图，已知OA=OB16．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−33x上，再将△AB1O1绕点三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC中，AB=AC，AB=17，BC=16，求：（1）BC边上的中线AD的长；（2）△ABC的面积.18．如图，一艘轮船从小岛A处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C处返回A处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）19．如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC=3米，求芦苇BD20．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=5km，（1）CH是不是从村庄C到河边的最近的路，请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）在第一象限内，点B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°．（1）求点A的坐标．（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．22．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=2，BC＝CD＝1，AD=（1）求AC的长；（2）四边形ABCD的面积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点Ma，b，将经过点a，0且垂直于x轴的直线记为直线x=a，将经过点0，b且垂直于y轴的直线记为直线y=b．对于点P给出如下定义，将点P先关于直线x=a对称得到点p已知△ABC顶点坐标为A2，0，（1）如图1，若点M1①由材料，将点A2，0关于直线x=1对称得到点0，0，再将点0，0关于直线y=1对称得到点0，2，则点A2，②若点P1−1，n和点p2−1，n+1关于M的“对应点”分别为点Q（2）若点B关于M的“对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC答案一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1【正确答案】D解：A、∵32+42=52，∴长度为3、4、5的三条线段能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、∵62+82=102，∴长度为6、8、10的三条线段能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、∵52+122=132，∴长度为5、12、13的三条线段能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、∵132+142=故D.【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.2．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【正确答案】B解：如图：连接CD，根据题意得：AD=BD，AC=BC，

∴AB⊥CD，则在Rt△ACD中，AC=12根据勾股定理，得：AD=所以AD+即橡皮筋被拉长了4cm故B.【分析】根据等腰三角形的三线合一得出CD⊥AB，根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离.3．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACBA．16 B．32 C．82 D．【正确答案】A解：∵∠DAC=∠ECB∴AD=AC∴S∴A∵∠ACB∴AB故A．【分析】先判断Rt△ADC，Rt△BCE是等腰直角三角形，再由三角形面积公式表示出4．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（）A．22 B．223 C．2【正确答案】C解：如图，取格点J，连接AJ，BJ

∵DJ=BC，DJ∥BC

∴四边形DC是平行四边形

∴CD∥BJ

∴∠AMD=∠ABJ

∵AB=12+∴∠A=90°

∴sin故C【分析】取格点J，连接AJ，BJ，根据平行四边形判定定理可得四边形DC是平行四边形，则CD∥BJ，根据直线平行性质可得∠AMD=∠ABJ，再根据勾股定理可得AB，AJ，BJ，再根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据正弦定义即可求出答案.5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（）A．−5 B．-1−5 C．1−5【正确答案】B解：∵BD=2∴BA=5∴a＝-1−5故B．

【分析】利用勾股定理求出BA=BD=5，再求出a＝-1−6．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，cC．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，c【正确答案】C解：A、因为22+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；B、因为12+12≠(3)C、因为62+82=102，所以该三角形是直角三角形，故符合题意；D、因为(5)2+32≠4故C．

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。7．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE>DE）剪去了一角，量得A．5cm B．12cm C．16cm【正确答案】D解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15-3）2+（20-4）2=122+162=400，所以BC=20．则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．故选：D．【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是通过补全图形构造直角三角形。由于直接求剪去的直角三角形斜边长难度较大，可采用补形法：延长AB和DC，使其相交于点F，此时ΔBFC即为剪去的直角三角形（因为长方形的角是直角，延长后形成的角仍为直角）。接下来计算直角边的长度：长方形的宽为15cm，AB=3cm，所以BF=15−3=12cm；长方形的长为20cm，CD8．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米【正确答案】B解：梯脚与墙角距离：2.52故梯脚应向前移动1.5-0.7=0.8（米）故B．【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．9．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：dA．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【正确答案】B解：过点C作CA'⊥BM于A∵∠B＝45°，BC＝2，C∴△B∴A∵A∴A若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC通过观察得知：点A在A'点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时d点A在A″M射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于A'C对称的点A在BA″线段（不包括A'点和A″点）上时，有两个△ABC（二者的故B【分析】由题意可知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可。10．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A．0 B．1 C．2 D．3【正确答案】C解：连接AB，如图所示：根据题意得：∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=1故选：C．【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．在△ABC中，∠C=90°，c=25cm，a：b=3：4，则S△ABC=．【正确答案】150cm2解：设a=3xcm，则b=4xcm，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，即（3x）2+（4x）2=252，解得：x=±5（负值舍去），∴x=5，∴a=3×5=15（cm），b=4×5=20（cm），∴S△ABC=12ab=12×15×20=150（cm故150cm2．【分析】设a=3xcm，则b=4xcm，由勾股定理得出方程，解方程求出a、b，S△ABC=1212．如图，在ΔABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，点D在边AC上，将ΔABD绕点B顺时针旋转能与ΔCBE【正确答案】2解：如图，作BF⊥AC，设BF=x，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AF=BF=x，故DF=x-1，在Rt△DBF，BD²=DF2+BF2，即5=（x-1）2+x2，解得x=2（-1舍去），即AF=BF=2，所以AB=AF2+BF2=22【分析】如图，作BF⊥AC，设BF=x，根据等腰直角三角形的性质得出AF=BF=x，进而根据线段的和差得出DF=x-1，在Rt△DBF，利用勾股定理建立方程，求解算出x的值，从而得出AF=BF=2，最后根据勾股定理即可算出AB的长。13．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是【正确答案】8解：在直角三角形AOB中，∵AO=24m∴AB∵AB=CD∴OC在Rt△OD=∴故8．【分析】利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=CD，又由题意可知利用勾股定理求出14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则BEAB＝【正确答案】3−解：由作法得CD=CB=2，AE=AD，

∵∠ABC＝90°，AB=4，BC=2，

∴AC=22+42=2故3−5

【分析】根据作法得CD=CB=2，AE=AD，利用勾股定理求得AC=215．如图，已知OA=OB【正确答案】−解：由勾股定理得OB∵OA∴OA∴数轴上点A对应的数是−故−【分析】先利用勾股定理求出OB的长度，再根据OA=OB即可得到OA的长度，从而得到A对应的数.16．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−33x上，再将△AB1O1绕点【正确答案】−15−15解：观察图象可知，O10在直线y=−33x上，且OO10=5OO2=5OA+AB1+B1O2

由条件可知OB=1

当y=1时，1=−33x，解得：x=−3

∴AB=3，AO=AB2+OB2=2

取AO中点D，连接BD，

∴AD=OD=BD=1

∴OB=OD=BD

∴∠DOB=60°

三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC中，AB=AC，AB=17，BC=16，求：（1）BC边上的中线AD的长；（2）△ABC的面积.【正确答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高线，AB＝17，BC＝16，∴BD＝12BC＝1∴AD＝AB2−（2）由面积计算公式得S∴S【分析】（1）根据等腰三角形中底边上的高线，顶角的角平分线和底边上的中线重合，得到：BD=12BC求出BD的长度，最后在Rt△18．如图，一艘轮船从小岛A处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达B处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C处继续执行任务，然后以相同的速度直接从C处返回A处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）【正确答案】解：AB=20×1.5=30BC=20×2=40再Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得：AC=∴返回所用时间为：5020出去所用时间为：2+1.5=3.5小时，∴则返回时比出去时节省的时间为：3.5−2.5=1小时.答：返回时比出去时节省了1小时.【分析】利用已知条件，可求出AB，BC的长；再利用勾股定理求出AC的长；然后求出返回所用时间和出去所用时间，求差即可.19．如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC=3米，求芦苇BD【正确答案】解：设AB=x米，则∵AC=3米，∴A∴3∴x答：芦苇BD的长度为5米．【分析】设AB=x米，则20．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=5km，（1）CH是不是从村庄C到河边的最近的路，请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米．【正确答案】（1）解：是，理由如下：∵CB=5km，CH=4∴CH2+∴CH∴△CHB∴CH⊥∴CH是为从村庄C到河边的最近路；（2）解：设AC=xkm，则AB在Rt△AC2=解得：x=∴AC=∴CA−∴新路CH比原路CA少16【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得△CHB是直角三角形，再根据垂线段最短即可求出答案.

（2）设AC=xkm，则（1）解：是，理由如下：∵CB=5km，CH=4∴CH2+∴CH∴△CHB∴CH⊥∴CH是为从村庄C到河边的最近路；（2）设AC=xkm，则AB在Rt△AC2=解得：x=∴AC=∴CA−∴新路CH比原路CA少1621．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）在第一象限内，点B的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°．（1）求点A的坐标．（2）若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．【正确答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴于点D，

∴∠ADO=90°，

∵∠AOB=60°，OA=2，

∴∠OAD=90°-60°=30°，

∴OD=12OA=1，

∴AD=OA2−（2）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b

3k+b=0k+b=3

解之：k=−32b=3【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，利用三角形的内角和定理可得到∠OAD=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长，利用勾股定理求出AD的长，可得到点A的坐标.

（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，由此可得到函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出△AOC的面积.22．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=2，BC＝CD＝1，AD=（1）求AC的长；（2）四边形ABCD的面积．【正确答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=2，BC＝1，

AC＝（2）解：在△ACD中，AC2+CD2【分析】（1）∠B＝90°，根据勾股定理可计算出AC；

（2）AC、CD、AD都已经知道长度，用勾股定理逆定理可判断出∠ACD是直角，再根据直角三角形的面积公式计算出△ABC和△ACD的面积，再计算出它们的和即可.23．在平面直角坐标系xOy中，已知点Ma，b，将经过点a，0且垂直于x轴的直线记为直线x=a，将经过点0，b且垂直于y轴的直线记为直线y=b．对于点P给出如下定义，将点P先关于直线x=a对称得到点p已知△ABC顶点坐标为A2，0，（1）如图1，若点M1①由材料，将点A2，0关于直线x=1对称得到点0，0，再将点0，0关于直线y=1对称得到点0，2，则点A2，②若点P1−1，n和点p2−1，n+1关于M的“对应点”分别为点Q（2）若点B关于M的“对应点”为点Q3，且以A、B、Q3为顶点的三角形恰与△AOC【正确答案】（1）①−2，2，−1，5；

②解：由上述可得点P1−1，n关于M的“对应点”Q1为3，1−n，

点P2−1，n+1关于M的“对应点”Q2为3，1−