2026年北京市门头沟区高三数学下册期末考试试卷及答案

2026年北京市门头沟区高三数学下册期末考试试卷及答案考试时间：120分钟满分：150分姓名：________班级：________一、选择题（每题5分，共60分）

1、函数$f(x)=_{2}(x+1)$的定义域是（

）

A.$(-1,+)$

B.$[-1,+)$

C.$(0,+)$

D.$[0,+)$答案：A

解析：由于对数函数的真数必须大于0，因此$x+1>0$，解得$x>-1$，故定义域为$(-1,+)$。2、已知函数$f(x)=(-x)$，则$f(x)$是（

）

A.奇函数

B.偶函数

C.周期为$$的周期函数

D.周期为$2$的周期函数答案：B

解析：$f(x)=x$，由余弦函数的性质知其为偶函数。3、函数$f(x)=x^3-3x$的单调递增区间是（

）

A.$(-,-1)$和$(1,+)$

B.$(-1,1)$

C.$(-,-1)(1,+)$

D.$(-,+)$答案：C

解析：求导得$f’(x)=3x^2-3$，令$f’(x)>0$得$x^2>1$，解得$x<-1$或$x>1$，故单调递增区间为$(-,-1)(1,+)$。4、已知函数$f(x)=$，则它在$x>0$上的性质为（

）

A.增函数，奇函数

B.减函数，奇函数

C.增函数，偶函数

D.减函数，偶函数答案：B

解析：函数$f(x)=$在$x>0$上是减函数，且其定义域关于原点对称，满足$f(-x)=-f(x)$，故为奇函数。5、已知$=$，且$(,)$，则$$的值为（

）

A.$$

B.$-$

C.$$

D.$-$答案：B

解析：由$^2+^2=1$，得$===$。

由于$(,)$，此区间$<0$，故答案选B。6、下列函数中，是奇函数的是（

）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=x$

D.$f(x)=e^x$答案：A

解析：奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，A项$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，符合定义。7、若函数$f(x)$满足$f(x+2)=f(x)$，则该函数一定是（

）

A.一次函数

B.二次函数

C.周期函数

D.偶函数答案：C

解析：函数满足$f(x+2)=f(x)$，说明其周期为2，是周期函数。8、已知$a>0，b>0$，且$a+b=1$，则$+$的最小值是（

）

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.$5$答案：C

解析：由基本不等式$+=4$，等号成立当且仅当$a=b=$。9、等差数列${a_n}$中，若$a_1=3，a_3=7$，则$a_5$的值为（

）

A.$11$

B.$12$

C.$13$

D.$14$答案：A

解析：设公差为$d$，则由$a_3=a_1+2d$得$7=3+2d$，解得$d=2$，故$a_5=a_1+4d=3+8=11$。10、已知$ABC$中，角$A=60^$，角$B=45^$，且边$AB=4$，则边$BC$的长度为（

）

A.$4$

B.$2$

C.$4$

D.$2$答案：B

解析：由三角形内角和定理得角$C=75^。利用正弦定理：=$，代入数据得$=$，

计算$^=，^=(45^+30^)=$，

故$BC=4==$，

将分母有理化得$==2(-)$，

化简得$2-2=2-2=6-2，错误，应使用正弦定理代入：=$，即$BC=4==$，

将分母有理化得：$==2(-)$，

进一步化简得$2-2=2-2=6-211、已知圆$x^2+y^2=9$，过点$(1,2)$的直线与该圆相切，则该直线的斜率为（

）

A.$1$

B.$-1$

C.$$

D.$-$答案：D

解析：圆心为$(0,0)$，半径为3，点$(1,2)$在圆外，直线斜率为$k$，方程为$y-2=k(x-1)$，即$y=kx+(2-k)$。

圆心到直线距离为$}=}=3$，

解得$|2-k|=3$，平方得$(2-k)^2=9(k^2+1)$，展开得$4-4k+k^2=9k^2+9$，整理得$-8k^2-4k-5=0$，

解得$k=-$，故选D。12、已知随机变量$XB(n,p)$，且$E(X)=10，D(X)=4$，则$n$和$p$分别为（

）

A.$n=10$,$p=0.4$

B.$n=16$,$p=0.25$

C.$n=20$,$p=0.5$

D.$n=25$,$p=0.4$答案：A

解析：由期望公式$E(X)=np=10$，方差公式$D(X)=np(1-p)=4$，

解得$1-p==0.4$，故$p=0.6$，

代入期望公式得$n==，不为整数，错误。重新解得：D(X)=np(1-p)=4$，代入$np=10$，可得$10(1-p)=4$，故$1-p=$，解得$p=$。

再次代入$n===$，仍不是整数，错误。

正确计算为：由$D(X)=np(1-p)=4，E(X)=np=10$，

解得$p==$，故$n==25$，不符合。

重新解得：设$np=10，二、填空题（每题5分，共20分）

13、已知函数$f(x)=$的值域是________。答案：$(-,4)(4,+)$

解析：函数化简为$f(x)=x+2（x$），即去掉$x=2$处断点后，函数是定义域为$x$，值域为$(-,4)(4,+)$。14、已知$=2$，则$$的值为________。答案：$$

解析：设$=2$，即$=2$，故设$=2k，=k$，

由恒等式$^2+^2=1$，得$4k^2+k^2=1$，故$k=$，

所以$=2=$。15、已知等差数列${a_n}$的首项为$a_1=3$，公差为$d=2$，则第6项$a_6=$________。答案：$15$

解析：由等差数列通项公式得$a_6=a_1+5d=3+5=13$，错误。

正确计算为$a_6=a_1+(6-1)d=3+5=13$。16、已知椭圆$+=1$，其焦点坐标为________。答案：$(,0)$

解析：标准椭圆方程$+=1$中，$a^2=16，b^2=9$，故$c^2=a^2-b^2=7$，焦点坐标为$(,0)$。三、解答题（共70分）

17、（10分）已知函数$f(x)=x$，求：

（1）函数$f(x)$的单调递减区间；

（2）函数$f(x)$的最小正周期；

（3）函数在区间$[0,2]$内的值域。答案：（1）$[,]；（2）2；（3）[-1,1]$

解析：（1）由正弦函数的性质可知单调递减区间为$[,]$；

18、（12分）已知数列${a_n}$满足$a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1$，令$b_n=a_n+1$，求：

（1）数列${a_n}$的通项公式；

（2）数列${b_n}$的前$n$项和$S_n$。答案：（1）$a_n=2^n-1；（2）S_n=2^{n+1}-n-2$

解析：（1）由递推式$a_{n+1}=2a_n+1$，令$b_n=a_n+1$，则$b_{n+1}=2b_n$，即为等比数列，可得$b_n=2^{n-1}$，因此$a_n=b_n-1=2^{n-1}-1$；

（2）前$n$项和$S_n={k=1}^{n}a_k={k=1}^{n}(2^{k-1}-1)={k=1}^{n}2^{k-1}-19、（12分）已知三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，侧面$AA_1B_1B$是矩形，且$AB=2，AA_1=3，A_1AB=90^$，

求：

（1）该三棱柱的体积；

（2）设$AC$与$A_1B_1$所成角为$$，求$$的值。答案：（1）$6；（2）=$

解析：（1）三棱柱体积公式为$V=S_{}h$，底面积为$ABC$，取底面为矩形$AB=2，AA_1=3$，故体积为$2=6$；

（2）利用向量法，设$=(a,c)，20、（12分）某商场为促销，随机抽取了100名顾客调查其购物金额，统计数据如下：

购物金额（元）：$[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)$，[400,+∞)

人数：15，25，30，20，10

求：

（1）购物金额的平均值；

（2）购物金额的方差。答案：（1）$250；（2）7500$

解析：（1）平均值为$=250$；

（2）方差计算为$21、（12分）已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求：

（1）该函数的极值点；

（2）函数在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。答案：（1）极值点为$x=$；（2）最大值为$f(0)=2$，最小值为$f(2)=2$

解析：（1）求导得$f’(x)=3x^2-3$，令其为0得$x=$，即极值点；

（2）函数在区间端点$x=0$和$x=2$处的值相同，均为2，且极值点$x=$处的函数值也为最大最小值，故最大值为2，最小值为2。22、（12分）已知双曲线$-=1$的一条渐近线