2027届新高三数学热点突破复习 立体几何

2027届新高三数学热点突破复习立体几何提能训练练案[46]1．(15分)(2025·新课标Ⅰ卷)如图所示的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(ⅰ)证明：O在平面ABCD上；(ⅱ)求直线AC与直线PO所成角的余弦值．[教材链接]本题源自人教A版必修第二册第164页习题8.6第21题，选择性必修第一册第39页例10、第49页复习参考题1第12题．[解析]

(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，

(1分)又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，

(3分)又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB. (4分)得分保障：得分点：第(1)问得到PA⊥AD可得1分，得到AD⊥平面PAB可得2分，注意需指出PA∩AB＝A，证得平面PAD⊥平面PAB可得1分．第(2)(ⅰ)问正确建立空间直角坐标系(右手系)可得1分，写出各点坐标并列出半径等量关系可得2分，得到点O的坐标可得2分，证得结论可得1分．[命题人思维破译]本题第(1)问以常见的四棱锥为载体，考查线面垂直、面面垂直，比较常规．2．(15分)(2025·新课标Ⅱ卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明：A′B∥平面CD′F；(2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值．[解析]

(1)证明：证法一：第1步：利用线线平行得两组线面平行∵EB∥FC，EB⊄平面CD′F，FC⊂平面CD′F，∴EB∥平面CD′F， (2分)∵A′E∥D′F，A′E⊄平面CD′F，D′F⊂平面CD′F，∴A′E∥平面CD′F. (4分)第2步：利用两组线面平行得面面平行∵EB⊂平面BA′E，A′E⊂平面BA′E，EB∩A′E＝E，∴平面BA′E∥平面CD′F.(题眼) (5分)第3步：利用面面平行得线面平行∵A′B⊂平面BA′E，∴A′B∥平面CD′F. (6分)证法二：第1步：利用面面平行的判定定理得面面平行∵EB∥FC，A′E∥D′F，

(1分)EB⊂平面BA′E，A′E⊂平面BA′E，FC⊂平面CD′F，D′F⊂平面CD′F， (3分)EB∩A′E＝E，FC∩D′F＝F，∴平面BA′E∥平面CD′F.(题眼) (5分)第2步：利用面面平行得线面平行∵A′B⊂平面BA′E，∴A′B∥平面CD′F. (6分)证法三：第1步：补形，将梯形ABCD补形为平行四边形ABGD如图，延长DC至点G，使得DG＝AB，连接GB，GD′， (1分)∵AB∥CD，∴AB∥DG，又AB＝DG，∴四边形ABGD是平行四边形，∴AD＝BG，AD∥BG. (3分)第2步：利用翻折过程中与折痕平行的直线平行关系不变得到线线平行，进而证明A′B∥D′G翻折后，A′D′＝BG，A′D′∥BG，∴四边形A′BGD′是平行四边形，∴A′B∥D′G.(题眼)

(5分)第3步：利用线线平行得线面平行∵A′B⊄平面CD′F，D′G⊂平面CD′F，∴A′B∥平面CD′F. (6分)(2)第1步：找到面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角∵∠DAB＝90°，EF∥AD，∴∠FEB＝90°，即AB⊥EF，翻折后，A′E⊥EF，EB⊥EF，∴面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠A′EB，(题眼)即∠A′EB＝60°，同理∠D′FC＝60°， (7分)第2步：找出3条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系设AD＝1，取CF的中点O，连接D′O，∵D′F⊥EF，CF⊥EF，D′F∩CF＝F，∴EF⊥平面CD′F，即OM⊥平面CD′F，∴OM、OC、OD′两两垂直，(题眼)得分保障：得分点：第(1)问涉及线面平行的证明，解法一中利用线线平行得两组线面平行各得2分，再得面面平行得1分，由面面平行得线面平行再得1分；第(2)问得到∠A′EB＝60°得1分，正确建立空间直角坐标系得2分，求出相关点及向量的坐标得1分，求得两个平面的法向量各得1分，求出平面与平面夹角的余弦值得1分，会利用同角三角函数的基本关系求出所求二面角的正弦值得2分．[解后反思]

①如果已知空间几何体中两两垂直且第三条直线不太明显，就要利用题目中已有的线段长度、角度等去寻找垂直．②近年高考中的立体几何大题，一般遵循第(1)问利用传统法求解，第(2)问利用建系法求解，能用建系法突破角度、距离等问题，尽量用建系法，只要正确建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，细心运算，一般都可以拿全分．③立体几何“翻折”问题在高考中屡见不鲜，考生在考场上完全可以借助草稿纸尝试翻折，这样更有助于考生直观感受几何体中的“隐蔽”信息．提能训练练案[46]所以PA2＋AC2＝PC2，所以PA⊥AC，在△PAB中，PA2＋AB2＝PB2，所以PA⊥AB，又因为AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABCD，所以∠PDA即为直线PD与平面ABCD所成的角，所以PC2＝PB2＋BC2，所以BC⊥PB，又因为PA⊥BC，PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB，因为AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB，因为AD∥平面PBC，AD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC＝BC，由(1)可知，PA⊥平面ABCD，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，又DO⊥AC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，则DO⊥平面PAC，所以DO⊥PC，且DO＝1，如图，过点O作OE⊥PC于点E，连接DE，因为DO⊥PC，OE⊥PC，且OE∩DO＝O，所以PC⊥平面OED，又DE⊂平面OED，所以DE⊥PC，所以∠OED即为二面角A－PC－D的平面角，2．(2025·安徽六校教育研究会素质测试)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，上、下底面是边长分别为4和6的等边三角形，AA1⊥平面ABC，设平面AB1C1∩平面ABC＝l，点E，F分别在直线l和直线BB1上，且满足EF⊥l，EF⊥BB1.[解析]

(1)证明：由三棱台ABC－A1B1C1知，B1C1∥平面ABC，因为B1C1⊂平面AB1C1，且平面AB1C1∩平面ABC＝l，所以B1C1∥l，因为EF⊥l，所以EF⊥BC，又EF⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以EF⊥平面BCC1B1.(2)取BC中点M，连接AM，以A为原点，AM为y轴，AA1为z轴，过点A作x轴垂直于yOz平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h，(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求平面BCD与平面CDC1夹角的余弦值；(3)求点G到平面BCD的距离．[解析]

(1)证明：在△ABC中，因为AB＝BC，且E为AC的中点，所以AC⊥BE，在矩形ACC1A1中，因为E和F分别为AC和A1C1的中点，可得EF∥CC1，因为CC1⊥平面ABC，且AC⊂平面ABC，可得AC⊥CC1，所以AC⊥EF，又因为BE∩EF＝E，且BE，EF⊂平面BEF，所以AC⊥平面BEF.(2)以E为原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0，－1,1)，取y＝2，可得x＝1，z＝4，所以n＝(1,2,4)；因为CC1⊥平面ABC，且BE⊂平面ABC，可得BE⊥CC1，又因为AC⊥BE，且AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A，4．(2026·八省八校T8联考)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠A1AB＝∠A1AC，O是BC的中点．(1)求证：平面BCC1B1⊥平面A1AO；(2)若A1O⊥底面ABC，且直线AA1与底面ABC所成角为60°，D是棱BB1的中点，求平面AC1D与平面ABC夹角的余弦值．[解析]

(1)证明：如图，连接A1B，A1C．∵AB＝AC，∠A1AB＝∠A1AC，A1A＝A1A，∴△A1AB≌△A1AC，∴A1B＝A1C．∵O为BC中点，∴BC⊥A1O.又AC＝AB.∴BC⊥AO.又AO∩A1O＝O，AO⊂平面A1AO，A1O⊂平面A1AO，∴BC⊥平面A1AO.∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AO⊥平面BCC1B1.(2)∵A1O⊥平面ABC，∴∠A1AO为A1A与平面ABC所成的角，即∠A1AO＝60°.5．(2026·黑龙江摸底)如图，在△ABC中，AC⊥BC，AB＝2BC＝6，E为AB的中点，过点E作DE⊥AB交AC于点D，将△ADE沿DE翻折至△PDE，得到四棱锥P－BCDE，F为棱PB上一动点(不包含端点)．[解析]

(1)证明：因为AC⊥BC，AB＝2BC＝6，所以∠ABC＝60°，连接CE，因为E为AB的中点，所以△BCE是等边三角形．取BE