2025-2026学年重庆市九校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市九校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量=（4，2），=（x,1），且∥，则||=（）A. B. C. D.22.=（）A. B. C. D.3.已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（）A.若m⊥α，m⊥β，则α∥β B.若m⊥n,n⊥α，则m∥α

C.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n4.如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为2cm,O1O2=5cm,OO1=4cm,圆台下底面圆半径为5cm,则该组合体的表面积为（）A.42πcm2

B.84πcm2

C.36πcm2

D.64πcm2

5.已知向量，满足|-2|=|2-|=2，且，则=（）A. B. C. D.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，b=4，满足条件的△ABC有两解，则边长a的可能取值为（）A.3 B. C. D.47.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面周长为（）A. B. C. D.8.在三棱锥O-ABC中，△OAC，△OBC均是边长为的等边三角形，当平面OAB⊥平面ABC时，三棱锥O-ABC内切球的半径为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列命题正确的有（）A.三棱台的各侧棱所在直线必交于一点

B.棱台的侧面都是梯形

C.因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥

D.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列结论正确的是（）A.若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形

B.若cosAcosBcosC＞0，则△ABC为锐角三角形

C.若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形

D.若A＜B，则cosA＜cosB11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q，使得PQ∥平面D1MN

B.不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面

C.三棱锥P-MBN的体积为

D.三棱锥M-BCN外接球的表面积为9π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设i是虚数单位，z=5-12i,则|z|=

.13.已知向量，满足||=，=（1，0），向量在向量上的投影向量的坐标为（1，0），则=

.14.若向量，，满足|-2|=1，（+）•（-）=0，则|2-3|+|3-4|的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，在四棱锥S-ABCD中，E，F，G，H分别是棱SB，SD，AB，AD的中点，且SA=SC，SB=SD.（1）证明：GH∥EF.

（2）证明：平面SAC⊥平面ABCD.16.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求A；

（2）若a=2，求△ABC面积的最大值.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PC，AD的中点.

（1）证明：AD⊥PB.

（2）求三棱锥E-BCF的体积.18.(本小题15分)

重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为直角，OA，OB分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧AB上选取一个景观节点P，使得∠AOP=θ，其中，为提升广场实用性，规划方案如下：

1.过点P向OA，OB分别作垂直步道PM，PN，围出一个矩形OMPN，用于打造亲子游乐区，记该矩形区域的面积为S1；

2.连接PA，PB，AB，在△PAB区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为S2；

请你尝试帮助规划部门解决以下问题：

（1）分别用θ表示亲子游乐区面积S1与花境景观带面积S2；

（2）若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数f（θ）=S1+2S2，求f（θ）的最大值及对应此时景观点P的位置.19.(本小题17分)

由代数基本定理，给定n（n∈N*），方程xn-1=（x-1）（xn-1+xn-2+…+x+1）=0有n个复数根ωk（k=0，1，2，…，n-1），且，将ωk称为n次单位根.

（1）求三次单位根，并计算与的值.

（2）欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可简化运算过程.例如.

（i）证明：ω0+ω1+ω2+…+ωn-1=0（k≥1）；

（ii）证明：其中n≥2.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】AB

11.【答案】AD

12.【答案】13

13.【答案】（1，1）或（1，-1）

14.【答案】2

15.【答案】连接BD，与AC交于点O．

因为E，F分别为SB，SD的中点，

所以EF∥BD，

又因为G，H分别是棱AB，AD的中点，

所以GH∥BD，

故GH∥EF

因为底面ABCD是一个菱形，

所以AC⊥BD，且O为AC，BD的中点．

因为SA=SC，O为AC的中点，

所以SO⊥AC．

因为SB=SD，O为BD的中点，

所以SO⊥BD．

因为AC∩BD=O，AC，BDC平面ABCD，

所以SO⊥平面ABCD．

因为SO⊥平面ABCD，SO⊂平面SAC，

所以平面SAC⊥平面ABCD

16.【答案】解：（1）△ABC中，，即bsin（-）=asinB，

由正弦定理得，sinBcos=sinAsinB，

因为B∈（0，π），所以sinB≠0，

所以cos=sinA，即cos=2sincos，

又因为A∈（0，π），所以∈（0，），cos≠0，

所以sin=，所以=，A=．

（2）因为a=2，A=，

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，

即4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时等号成立，

所以△ABC的面积为S△ABC=bcsinA≤×4×=，

即△ABC面积的最大值为．

17.【答案】证明：由PA=PD，F为AD中点，得PF⊥AD，

底面ABCD是菱形，，AB=AD=2，故△ABD是等边三角形，

因为F为AD中点，因此BF⊥AD．

又PF∩BF=F，且PF，BF⊂平面PBF，所以AD⊥平面PBF，

因为PB⊂平面PBF，所以AD⊥PB

18.【答案】S1=2sin2θ，；

f（θ）的最大值为6-4，此时景观点P满足∠AOP=

19.【答案】三次单位根为；，

证明：（i）ωk是公比为的等比数列，首项ω0=1，项数为n．

由等比数列求和公式：

因，

故分子为0；又n≥2时ω1≠1，分母