山东青岛市2026届高三5月适应性检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东青岛市2026届高三5月适应性检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知U为全集，集合A，B满足A⊆∁UB，则A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.A∪B=U2.为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量(单位：kg )分别为x1,x2A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差3.已知a=−1,0，b=1,1，a+λA.−1 B.1 C.2 D.44.某机构对A,B,C三个地区进行基于人工智能的每周跑步时长的调查，已知这三个地区分别有4%，6%，7%的人每周跑步时长在6小时以上，假设这三个地区的人口数的比为1:1:2，现从这三个地区中任意选取一人，则此人每周跑步时长在6小时以上的概率为(

)A.0.04 B.0.05 C.0.06 D.0.075.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过原点O的直线l交C于A.32 B.53 C.6.若函数fx=2sinωx−π6(ω>0)在0,πA.4 B.2 C.1 D.17.已知直线l:ax−y−2a+1=0，圆O:x2+y2=1，则“a=0”是“lA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知数列an的前n项和为Sn．an+2+−1naA.4 B.3 C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，点P，Q分别为线段AA.PQ//AC B.PQ⊥CC1

C.PQ//平面ABC D.PQ⊥10.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，直线l与C交于A,B两点，点M为线段AB的中点，则A.p=2

B.若AF=2FB，则(1,2)为l的一个方向向量

C.若OA⊥OB，则l过定点(4,0)

D.若|AB|=3，则M到y11.函数f(x),g(x)的定义域为R，f(x)为偶函数且恒大于0，f(0)≠12，f(2)+g(2)=33，f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)，A.f(0)=2

B.f(8)−g(8)=9

C.f(3x)=4f3(x)−3f(x)

D.对于任意x∈R，点(f(x),g(x))到直线y=x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设复数z满足zi+i=2，则z的虚部为

．13.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为2814.已知实数a1，a2，…，a10，满足a1+a2+⋯+a10=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记▵ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，acos(1)求A；(2)若a=23，且sinB+sin16.(本小题15分)某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数(精确到0.1)；(2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为X，求使PX=k取得最大值时k的值．17.(本小题15分)如图，在矩形ABCD中、AB=2，AD=22．E为线段AD中点，将▵BCD沿BD翻折至▵BPD，使得(1)证明：PE⊥平面ABD；(2)点F，G分别为线段AB，AD上的点，AG=12，当直线FG与平面FPD所成角最大时，求点E到平面FPD18.(本小题17分)已知双曲线E：x2a2−y(1)求E的方程；(2)记E的左、右焦点分别为F1，F2，点Pn和Qn如下构造：在第二象限任取E上一点P1.直线PnF1交E(ⅰ)记直线APn的斜率为k(ⅱ)设点A关于直线PnQn+1的对称点为An，探究：是否存在定圆C，使得点An始终在19.(本小题17分)定义函数fx的“佳点”Wx0,y0如下：对动点Ax,fx，当0<x<x0时，(1)若函数fx=x(2)若函数fx=x−alnx−1(ⅰ)求a；(ⅱ)求fx的横坐标最大的“佳点”．

参考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.B

6.B

7.A

8.C

9.BCD

10.AC

11.BCD

12.−2

13.1214.13

15.解：(1)由acosB+故sinAcosB+即sinC+2又因为C∈0,π，则sinC≠0，所以又因为A∈0,π，所以A=(2)由题知sin=1因为B∈0,π3，所以B+π3∈π由正弦定理知：asinA=bsin所以S▵ABC

16.解：(1)由题知：10×(0.004+2a+0.03+0.026+0.01)=1，

解得a=0.015，

设中位数为m，则10×0.004+10×0.015+10×0.03+(m−70)×0.026=0.5，

解得m≈70.38，

故中位数为70.4；

(2)因为样本中80分以上的频率为10×(0.015+0.01)=0.25，

故随机变量X∼B(30,14)

所以P(X=k)=C30k(14)k(34)30−k，(k=0,1,2,⋯,30)，

当P(X=k)最大时，P(X=k)≥P(X=k−1)P(X=k)≥P(X=k+1)，

得C30k(14)k(34)17.解：(1)由AP=2,AB=2,BP=22，得AP又AB⊥AD，AD∩AP=A,AD,AP⊂平面APD，则AB⊥平面APD，PE⊂平面APD，故AB⊥PE，由AP=PD=2，E为AD中点，得PE⊥AD，而AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABD，所以PE⊥平面ABD．(2)作Az//PE，由(1)得Az⊥平面ABD，则直线AD,AB,Az两两垂直，以A为原点，直线AD,AB,Az分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A−xyz，则D(2设F(0,t,0),0≤t≤2，FP=(设平面FPD的法向量为n=(x,y,z)，则取x=t，得n=(t,2记直线FG与平面FPD所成角为θ，则sin=(2−当t=0时，sinθ=0；当0<t≤2时，sin当且仅当t=1时取等号，此时θ最大，平面FPD的法向量为n=(1,22所以点E到平面FPD的距离d=|

18.解：(1)依题意，ca=2a=1a2=b2+c2(2)(i)证明：设直线l：x=my+t与E交于点Mx1,由，得3m2所以y1+y则k===当t=−2时，对应左焦点，得kA当t=2时，对应右焦点，kA所以kAPn+1kAPn所以i=1n(ii)设直线PnQn+1：x=rn因为kAPn+1所以kAPn所以直线PnQn+1设Anx,y，则，消rn可得化简整理得圆C的方程为x+14

19.解：(1)“佳点”为W1,0画出fx=x若x=1，则WA=1若x∈0,1，由图可知fx=x3若x∈1,+∞，则WA所以，W1,0是f(2)(ⅰ)由题知：f1≥0若a=1，先证lnx≤x−1，构造函数uu′x=1−1x=x−1x在区间1,+∞上u′x>0,ux所以lnx≤x−1(证毕)因为lnx≤x−1，变形得1所以fx=xln若1<a≤2，fx当0<x<e时，fx当x>e时，fx当x=e时，fx综上，a=1．(ⅱ)由(i)得fx先证明W1,1是f因为WA2令gx法1：先证ex≥x+1，构造函数所以当x<0时，v′x<0,vx单调递减，当x>0所以vx≥v0=0，所以令t=lnx，h′t所以ht在R上单调递增，又因为h所以当t∈−∞,0时，ht<0，即x∈当t∈0,+∞时，ht>0，即x∈法2：g′x