2023-2024学年广东省东莞市三校高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年广东省东莞市三校高二（上）期中数学试卷一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（4m﹣3）x+my﹣1＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．3 B．1 C．1或3 D．0或2．（5分）在平面直角坐标系中有两个点A（4，2），B（1，﹣2）．若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标是（）A．（3，0） B．（0，0） C．（5，0） D．（0，0）或（5，0）3．（5分）直线的倾斜角的范围是（）A． B． C． D．4．（5分）方程x2+y2+ax﹣2ay+2a2+3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0）的圆，则该圆圆心位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与BC1所成角的大小为（）A．60° B．90° C．105° D．75°6．（5分）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x，y）是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．﹣17．（5分）如图所示，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为（）A． B． C． D．28．（5分）如图，椭圆，点A为椭圆在第一象限上的点，AF2⊥x轴，若线段BF1与x轴垂直，直线AB与椭圆只有一个交点，则|BF1|，|AF1|的大小关系是（）A．|BF1|＝|AF1| B．|BF1|＞|AF1| C．|BF1|＜|AF1| D．不能确定二、多选题：共4小题，每小题5分，满分20分，全对得5分，缺选正确2分．（多选）9．（5分）过点A（3，﹣1）且在两坐标上截距的绝对值相等的直线是（）A．x+3y＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x﹣y+2＝0 D．x﹣y﹣4＝0（多选）10．（5分）若方程表示椭圆C，则下面结论正确的是（）A．k∈（1，9） B．椭圆C的焦距为 C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（1，5） D．若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈（5，9）（多选）11．（5分）以下命题中，不正确的是（）A．是，共线的充要条件 B．已知向量，，若，则，为钝角 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足x+y+z＝0（多选）12．（5分）已知直线l：x﹣2y+8＝0和三点A（2，0），B（﹣2，﹣4），C（2，5），过点C的直线l1与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（）A．P在直线l上，则|PA|+|PB|的最小值为 B．直线l上一点P（12，10）使||PB|﹣|PA||最大 C．当最小时l1的方程是x+y﹣7＝0 D．当最小时l1的方程是5x+y﹣15＝0三、填空题：共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知点A（﹣4，2，3）关于坐标原点的对称点为A1，A1关于平面Oxz的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为．14．（5分）已知圆C：x2+y2+4x﹣12y+24＝0，直线l：y＝x+5，直线l被圆C截得的弦长为．15．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．16．（5分）如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面AB1D1内，，则C1P与面AB1D1所成角的正切值为m，则m的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17．（10分）如图，已知在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，设，，．（1）用，，表示，并求；（2）求．18．（12分）已知直线l1：x﹣2y+3＝0与直线l2：2x+3y﹣8＝0，Q为它们的交点，点P（0，4）为平面内一点．求（1）过点P且与l1平行的直线方程；（2）过Q点的直线，且P到它的距离为2的直线方程．19．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣4x+2y＝0与圆C2：x2+y2﹣2y﹣4＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y＝1上的圆的方程．20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，△BCF为等边三角形，AB＝2，EF∥CD，平面BCF⊥平面ABCD．（1）证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；（2）若ED∥平面AOF，求线段EF的长度．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．22．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x＝﹣相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线1交椭圆C于M，N两点．若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值．

2023-2024学年广东省东莞市三校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（4m﹣3）x+my﹣1＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．3 B．1 C．1或3 D．0或【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】A【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析可得关于m的方程，解可得m的值，验证两直线是否平行，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（4m﹣3）x+my﹣1＝0，若l1∥l2，则有m2＝4m﹣3，解可得m＝1或3，当m＝1时，直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，两直线重合，不符合题意，当m＝3时，直线l1：3x+y﹣1＝0，l2：9x+3y﹣1＝0，两直线平行，符合题意，综合可得：m＝3，故选：A．2．（5分）在平面直角坐标系中有两个点A（4，2），B（1，﹣2）．若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标是（）A．（3，0） B．（0，0） C．（5，0） D．（0，0）或（5，0）【考点】两直线的夹角与到角问题．【答案】D【分析】直接利用直线垂直的充要条件，建立方程，进一步求出点C的坐标．【解答】解：设点C的坐标为C（a，0），点A（4，2），B（1，﹣2）；故，，由于∠ACB＝，所以，解得a＝0或5；故C（0，0）或（5，0）．故选：D．3．（5分）直线的倾斜角的范围是（）A． B． C． D．【考点】直线的倾斜角．【答案】B【分析】由直线的方程可得直线的斜率表达式，进而可得直线的倾斜角的范围．【解答】解：由直线方程看到直线的斜率k＝＝cosα∈[﹣，]，当k∈[﹣，0）时，直线的倾斜角为[π，π），当k∈[0，]，直线的倾斜角为[0，]，综上所述，直线的倾斜角的范围为：[0，]∪[π，π）．故选：B．4．（5分）方程x2+y2+ax﹣2ay+2a2+3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0）的圆，则该圆圆心位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】圆的一般方程．【答案】D【分析】由题意利用圆的一般方程的特点，求出m的范围，可得结论．【解答】解：∵方程x2+y2+ax﹣2ay+2a2+3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0）的圆，∴a2+（﹣2a）2﹣4（2a2+3a）＞0，求得﹣4＜a＜0，故圆心（﹣，a）在第四象限，故选：D．5．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与BC1所成角的大小为（）A．60° B．90° C．105° D．75°【考点】异面直线及其所成的角．【答案】B【分析】可得出，，并设，然后即可求出，并知道，然后即可求出的值，从而得出答案．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量不共面，，，令，则，而，于是得＝，因此，，所以AB1与BC1所成角的大小为90°．故选：B．6．（5分）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P（x，y）是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．﹣1【考点】直线与圆的位置关系．【答案】C【分析】转化为点P（x，y）与（2，0）连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，【解答】解：记A（2，0），则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2+（y﹣1）2＝1（x＞0）相切时，得k最小，此时设AP：y＝k（x﹣2），故，解得或k＝0（舍去），即．故选：C．7．（5分）如图所示，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为（）A． B． C． D．2【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面ACE的距离．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），E（1，0，0），D（0，﹣1，2），C（0，1，2）．＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，令y＝1，∴＝（﹣1，×1，﹣1）．故点D到平面ACE的距离d＝＝．故选：B．8．（5分）如图，椭圆，点A为椭圆在第一象限上的点，AF2⊥x轴，若线段BF1与x轴垂直，直线AB与椭圆只有一个交点，则|BF1|，|AF1|的大小关系是（）A．|BF1|＝|AF1| B．|BF1|＞|AF1| C．|BF1|＜|AF1| D．不能确定【考点】椭圆的性质．【答案】A【分析】先求出A点坐标，再利用导数求出椭圆在A处的切线方程，即可分别求出|BF1|，|AF1|，从而比较大小，即可得解．【解答】解：∵椭圆方程为，∴a＝2，b＝，c＝1，将x＝1代入，可得，∴A（1，），又F1（﹣1，0），∴|AF1|＝＝，∵，∴4y2＝﹣3x2+12，等式两边关于x求导可得：8y•y′＝﹣6x，∴，∴椭圆在A（1，）处的切线斜率为＝，∴椭圆在A（1，）处的切线方程为：，令x＝﹣1，可得，∴|BF1|＝，又|AF1|＝，∴|BF1|＝|AF1|．故选：A．二、多选题：共4小题，每小题5分，满分20分，全对得5分，缺选正确2分．（多选）9．（5分）过点A（3，﹣1）且在两坐标上截距的绝对值相等的直线是（）A．x+3y＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x﹣y+2＝0 D．x﹣y﹣4＝0【考点】直线的截距式方程．【答案】ABD【分析】由已知对截距是否为0分类讨论，先设出直线方程，代入已知点的坐标可求．【解答】解：当直线直线方程为在坐标轴上的截距为0时，由直线过点（3，﹣1）可得直线方程为y＝﹣x，当当直线直线方程为在坐标轴上的截距不为0时，可设直线方程为＝1，|a|＝|b|，则＝1，解得a＝b＝2或a＝4，b＝﹣4，故直线方程为x+y＝2或x﹣y＝4，故选：ABD．（多选）10．（5分）若方程表示椭圆C，则下面结论正确的是（）A．k∈（1，9） B．椭圆C的焦距为 C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（1，5） D．若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈（5，9）【考点】椭圆的性质．【答案】CD【分析】根据椭圆标准方程的特点，可得k的取值范围，根据c＝可确定焦距，注意分类讨论焦点所在的位置．【解答】解：由题意知，，解得1＜k＜9且k≠5，即选项A错误；若焦点在x轴上，则9﹣k＞k﹣1＞0，即1＜k＜5，所以焦距为2c＝2＝2；若焦点在y轴上，则k﹣1＞9﹣k＞0，即5＜k＜9，所以焦距为2c＝2＝2，即选项B错误，选项C和D均正确．故选：CD．（多选）11．（5分）以下命题中，不正确的是（）A．是，共线的充要条件 B．已知向量，，若，则，为钝角 C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D．已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足x+y+z＝0【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；向量相等与共线．【答案】ABD【分析】由共线向量的定义可判断A，由空间向量的数量积运算可判断BD，利用空间向量的基本定理可判断C．【解答】解：对于A，||﹣||＝||是，反向的充要条件，故A错误；对于B，当x＝﹣3时，＝（1，1，﹣3），＝（﹣3，﹣3，9），两个向量反向共线，夹角为π，故B错误；对于C，设＝λ（）+μ（）＝（2λ+μ）﹣+，则，此方程组无解，所以，，不共面，即可以构成空间的另一个基底，故C正确；对于D，因为平面α过点A且与直线OA垂直，所以，又因为＝（1，1，1），＝（x﹣1，y﹣1．z﹣1），所以x﹣1+y﹣1+z﹣1＝0，即x+y+z＝3，故D错误．故选：ABD．（多选）12．（5分）已知直线l：x﹣2y+8＝0和三点A（2，0），B（﹣2，﹣4），C（2，5），过点C的直线l1与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（）A．P在直线l上，则|PA|+|PB|的最小值为 B．直线l上一点P（12，10）使||PB|﹣|PA||最大 C．当最小时l1的方程是x+y﹣7＝0 D．当最小时l1的方程是5x+y﹣15＝0【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】BC【分析】求出点A关于直线l的对称点，根据几何意义即可求出最小值，从而判定A；根据几何意义，当A，B，P三点共线时，||PA|﹣|PB∥取得最大值，从而判定B；设M（a，0），N（0，b），a＞0，b＞0，将数量积表示出来，利用基本不等式即可求得最值，从而判定C；借助基本不等式求得最值判定D．【解答】解：对A，设点A（2，0）关于直线l的对称点为A'（m，n），则有，解得，即A'（﹣2，8），当且仅当A′，P，B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值|A′B|＝12，故A错误；对B，由于∥PA|﹣|PB||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PA|﹣|PB∥取得最大值，又直线AB方程为y＝x﹣2，联立，得，故P（12，10），故B正确；对C，设M（a，0），N（0，b），a＞0，b＞0，直线l1：，|，当且仅当a＝b＝7时取等号，此时l1的方程为：x+y﹣7＝0，故C正确；对D，由C得，当且仅当a＝4且b＝10取等号，故l1：5x+2y﹣20＝0，故D错误．故选：BC．三、填空题：共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知点A（﹣4，2，3）关于坐标原点的对称点为A1，A1关于平面Oxz的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为（﹣4，0，0）．【考点】空间中的点的坐标．【答案】（﹣4，0，0）【分析】直接利用点关于线和面的对称以及中点坐标公式求出结果【解答】解：点A（﹣4，2，3）关于坐标原点的对称点为A1（4，﹣2，﹣3），A1（4，﹣2，﹣3）关于平面Oxz的对称点为A2（4，2，﹣3），A2（4，2，﹣3）关于z轴的对称点为A3（﹣4，﹣2，﹣3），线段AA3的中点M的坐标为（﹣4，0，0）．故答案为：（﹣4，0，0）．14．（5分）已知圆C：x2+y2+4x﹣12y+24＝0，直线l：y＝x+5，直线l被圆C截得的弦长为4．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【答案】4．【分析】根据点到直线的距离公式及圆的弦长公式即可求解．【解答】解：∵圆C的方程可化为：（x+2）2+（y﹣6）2＝16，∴圆心C为（﹣2，6），半径r＝4，∴圆心C为（﹣2，6）到直线l：y＝x+5的距离d＝＝2，∴所求弦长为＝2＝4．故答案为：4．15．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（y≠0）．【考点】轨迹方程．【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB＝8，BC+AC＝10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）16．（5分）如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面AB1D1内，，则C1P与面AB1D1所成角的正切值为m，则m的取值范围是．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【答案】．【分析】先求出点A1到平面AB1D1的距离，求得P的轨迹方程，再作一个正方体，作出线面角，再求出两条直角边，最后求出线面角的正切值即可．【解答】解：如图所示，作A1O1⊥平面AB1D1于O1，△AB1D1是边长为6的等边三角形，其面积为＝18，由VA1﹣AB1D1＝VA﹣A1B1D1可得，解得，要使得，则，即点P在以O1为圆心为半径的圆上，该圆恰好与△AB1D1相切，如图，作同样一个正方体A1B1C1D1﹣A2B2C2D2，则B1C2∥AD1，AB1∥D1C2，所以四边形AB1C2D1为平行四边形，所以A，B1，C2，D1四点共面，过C1作C1O2⊥平面AB1C2D1，连接C1P，O2P，则∠C1PO2为C1P与面AB1D1所成角的平面角，易得，所以，即，而，所以，即．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17．（10分）如图，已知在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，设，，．（1）用，，表示，并求；（2）求．【考点】空间向量及其线性运算．【答案】（1）＝++，＝；（2）0．【分析】（1）利用向量的数量积运算，向量的求模公式求解即可．（2）利用向量数量积运算求解即可．【解答】解：（1）∵，，，∴＝++＝++，∵底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∴＝＝＝＝；（2）＝•（﹣）＝•﹣•＝2×﹣2×1×＝0．18．（12分）已知直线l1：x﹣2y+3＝0与直线l2：2x+3y﹣8＝0，Q为它们的交点，点P（0，4）为平面内一点．求（1）过点P且与l1平行的直线方程；（2）过Q点的直线，且P到它的距离为2的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行求出直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程；（2）由两直线的方程联立求得点Q，讨论过Q点的直线斜率不存在和斜率存在时，求得点P到直线的距离为2时的直线方程．【解答】解：（1）直线l1：x﹣2y+3＝0的斜率为，过点P（0，4）且与l1平行的直线方程为，化为一般式为x﹣2y+8＝0；（2）由，解得，∴Q（1，2），当斜率不存在时，方程为x＝1，不合题意；当斜率存在时，设方程为y﹣2＝k（x﹣1），化为一般式为kx﹣y+2﹣k＝0，则点P到直线的距离为＝2，∴k2+4+4＝4k2+4，即3k2＝4k，解得k＝0或；∴所求的直线方程为y＝2或．19．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣4x+2y＝0与圆C2：x2+y2﹣2y﹣4＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y＝1上的圆的方程．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【答案】（1）x﹣y﹣1＝0；（2）．【分析】（1）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；（2）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．【解答】解：（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即（x2+y2﹣4x+2y）﹣（x2+y2﹣2y﹣4）＝0即x﹣y﹣1＝0；（2）由（1）得y＝x﹣1代入圆C1：x2+y2﹣4x+2y＝0，化简可得2x2﹣4x﹣1＝0，∴，当时，；当时，，设所求圆的圆心坐标为（a，b），则，∴，∴，∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y＝1上的圆的方程为．20．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，△BCF为等边三角形，AB＝2，EF∥CD，平面BCF⊥平面ABCD．（1）证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；（2）若ED∥平面AOF，求线段EF的长度．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直．【答案】（1）证明过程见详解；（2）4．【分析】（1）取线段BC的中点O，由线面的垂直可证得面面的垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出＝2，进而可得线段EF的长度．【解答】证明：（1）如图所示：取线段BC的中点O，连接OA，OF，∵△BCF、△ABC均为等边三角形，∴BC⊥OA，BC⊥OF，OA∩OF＝O，∴BC⊥平面AOF，又∵BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AOF，∴在线段BC存在线段BC的中点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；解：（2）∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FO⊥BC，∴FO⊥平面ABCD，即OA，OB，OF两两垂直，以OA、OB、OF为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，0，0），B（0，1，0），，D（，﹣2，0），可得＝（，﹣1，0），∵EF∥CD∥AB，设＝t＝（t，﹣t，0），∴E（t，﹣t，），则＝（t﹣，2﹣t，），又∵ED∥平面AOF，且平面AOF的一个法向量为＝（0，1，0），∴•＝（t﹣，2﹣t，）•（0，1，0）＝2﹣t＝0，∴t＝2，∴．即线段EF的长度为4．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面