2023-2024学年广东省广州六十五中高一(上)期中数学试卷

2023-2024学年广东省广州六十五中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A⋂（∁UB）＝（）A．（0，2] B．[1，2） C．（0，1] D．[﹣1，2）2．（5分）命题“∃x＜1，x2﹣1＞0”的否定形式是（）A．∀x≥1，x2﹣1≤0 B．∀x＜1，x2﹣1≤0 C．∃x≤1，x2﹣1≤0 D．∃x＞1，x2﹣1≤03．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x﹣1， B．f（x）＝|x﹣3|， C．f（x）＝x， D．，4．（5分）函数f（x）＝﹣x2+（1﹣m）x+1在区间[3，+∞）上单调递减．则m的取值范围是（）A．[﹣5，+∞） B．（﹣∞，﹣5] C．[7，+∞） D．（﹣∞，7]5．（5分）下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝ B．y＝﹣x3 C．y＝x|x| D．y＝6．（5分）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b7．（5分）“n＝1”是“幂函数在（0，+∞）上是减函数”的一个（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．（5分）已知函数的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，3] C．[1，2] D．[2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞b2 B． C． D．（多选）10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值 B．有最大值1 C．a2+b2有最小值 D．的最小值为（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．函数y＝x2﹣2x+4在[﹣2，2]上的值域为[4，12] B．函数的值域为（﹣∞，﹣2]⋃[2，+∞） C．函数的值域为（﹣∞，﹣1）⋃（﹣1，+∞） D．函数的值域是（﹣∞，2]（多选）12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有；③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（）A．f（3）＜f（﹣4） B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3） C．若，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞） D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）若“﹣2＜x＜m”是“x2﹣x﹣6＜0”的一个必要不充分条件，则实数m的范围用区间表示为．15．（5分）已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是．16．（5分）若函数，满足对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简求值：（1）（2）若x+x﹣1＝3，求下列各式的值：①x2+x﹣2；②．18．（12分）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求出x＜0时f（x）的解析式，并作出f（x）的图象；（2）根据图象，写出f（x）的单调区间（不用证明），并求出不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集．19．（12分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3（1）若不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜3}，试求a，b的值；（2）若a＞0，b＝﹣2a，求不等式y≤﹣1的解集．20．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．21．（12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）＝151x+﹣1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？22．（12分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）用定义法证明函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；（3）若f（x）≤m2﹣5mt﹣5对于任意的x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

2023-2024学年广东省广州六十五中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A⋂（∁UB）＝（）A．（0，2] B．[1，2） C．（0，1] D．[﹣1，2）【考点】补集及其运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．【解答】解：B＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，则∁UB＝{x|x≤1}，A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，故A⋂（∁UB）＝（0，1]．故选：C．2．（5分）命题“∃x＜1，x2﹣1＞0”的否定形式是（）A．∀x≥1，x2﹣1≤0 B．∀x＜1，x2﹣1≤0 C．∃x≤1，x2﹣1≤0 D．∃x＞1，x2﹣1≤0【考点】特称命题的否定．【答案】B【分析】利用全称命题与特称命题的否定关系即可求解．【解答】解：因为命题“∃x＜1，x2﹣1＞0”为特称命题，则其否定为全称命题，即为：∀x＜1，x2﹣1≤0，故选：B．3．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x﹣1， B．f（x）＝|x﹣3|， C．f（x）＝x， D．，【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论．【解答】解：对于A中，函数f（x）＝x﹣1的定义域为R，而函数的定义域为[1，+∞），所以两个函数不是同一个函数；对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C中，函数f（x）＝x的定义域为R，而函数的定义域为{x|x≠0}，所以两个函数不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为（﹣∞，1]∪[3，+∞），而函数的定义域为[3，+∞），所以不是同一个函数，故选：B．4．（5分）函数f（x）＝﹣x2+（1﹣m）x+1在区间[3，+∞）上单调递减．则m的取值范围是（）A．[﹣5，+∞） B．（﹣∞，﹣5] C．[7，+∞） D．（﹣∞，7]【考点】二次函数的性质与图象．【答案】A【分析】求出函数的对称轴，开口方向，由此得出函数f（x）的单调递减区间，再由已知建立不等式，由此即可求解．【解答】解：函数f（x）的对称轴为x＝，且开口向下，则函数f（x）的单调递减区间为[），又函数f（x）在区间[3，+∞）上单调递减，所以，解得m≥﹣5，即实数m的范围为[﹣5，+∞）．故选：A．5．（5分）下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝ B．y＝﹣x3 C．y＝x|x| D．y＝【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【答案】B【分析】根据函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）均单调递减，但不满足在定义域内单调递减，可判断出选项A；根据y＝﹣x3是奇函数，且在R上单调递减，可判断出选项B；根据y＝x|x|＝，在R上单调递增，可判断选择C；根据y＝在R上单调递增，可判断选项D．【解答】解：对于y＝，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），是奇函数，在（﹣∞，0）和（0，+∞）均单调递减，但不满足在定义域内单调递减，选项A错误；对于y＝﹣x3，定义域为R，是奇函数，且在R上单调递减，选项B正确；对于y＝x|x|＝，是奇函数，在R上单调递增，选项C错误；对于y＝，易知在R上单调递增，选项D错误．故选：B．6．（5分）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较．【答案】D【分析】结合幂函数的单调性，即可求解．【解答】解：，b＝，则b＜a＜1＝c．故选：D．7．（5分）“n＝1”是“幂函数在（0，+∞）上是减函数”的一个（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】A【分析】由已知结合幂函数的定义及性质即可求解n，然后检验充分及必要性即可判断．【解答】解：若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则，解得n＝1或n＝2，故“n＝1”是“幂函数在（0，+∞）上是减函数”的一个充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知函数的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，3] C．[1，2] D．[2，3]【考点】分段函数的应用．【答案】B【分析】先求出当﹣1≤x＜0时，f（x）的取值范围，从而得到当0≤x≤a时，f（x）＝|x﹣1|必须取到[0，1]，分析求解即可．【解答】解：当﹣1≤x＜0时，函数f（x）＝1﹣x单调递减，则1＜f（x）≤2；因为f（x）的值域是[0，2]，则当0≤x≤a时，f（x）＝|x﹣1|必须取到[0，1]，当x＝1时，f（x）＝0，因为a≥1，又当x＝3时，f（x）＝2，所以a≤3．综上所述，实数a的取值范围为[1，3]．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）设a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞b2 B． C． D．【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】AB【分析】利用作差比较逐一判断即可．【解答】解：A：因为a＜b＜0，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0⇒ab＞b2，正确；B：因为a＜b＜0，所以，正确；C：因为a＜b＜0，所以，不正确；D：因为a＜b＜0，所以，不正确，故选：AB．（多选）10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（）A．ab有最大值 B．有最大值1 C．a2+b2有最小值 D．的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【答案】ACD【分析】根据基本不等式，对每一项进行逐项分析即可．【解答】解：A：由均值不等式可得：，当且仅当a＝b时取得最大值，因此正确；B：由，当且仅当时取得，此时取得最大值，因此错误；C：配方利用基本不等式可得，当且仅当时取得最小值，因此正确；D：利用“乘1法”可得：，当且仅当，即时取得最小值，因此正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．函数y＝x2﹣2x+4在[﹣2，2]上的值域为[4，12] B．函数的值域为（﹣∞，﹣2]⋃[2，+∞） C．函数的值域为（﹣∞，﹣1）⋃（﹣1，+∞） D．函数的值域是（﹣∞，2]【考点】函数的值域．【答案】BCD【分析】结合二次函数的性质检验选项A；结合基本不等式检验选项B；先分离变形，然后结合反比例函数的性质检验选项C；先进行换元，然后结合二次函数的性质检验选项D．【解答】解：根据二次函数的性质可知，当﹣2≤x≤2时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3∈[3，12]，A错误；当x＞0时，y＝x+≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x＜0时，y＝x+＝﹣[（﹣x）+（﹣）]≤﹣2，当且仅当x＝﹣1时取等号，故函数的值域为（﹣∞，﹣2]⋃[2，+∞），B正确；函数＝﹣1﹣≠﹣1，C正确；令t＝，则x＝1﹣t2，t≥0，故y＝x+2＝﹣t2+2t+1，t≥0，根据二次函数的性质可知，当t＝1时，函数取得最大值2，没有最小值，即值域为（﹣∞，2]，D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有；③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（）A．f（3）＜f（﹣4） B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3） C．若，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞） D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M【考点】抽象函数及其应用．【答案】ACD【分析】由条件可得f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增，然后逐一判断每个选项即可．【解答】解：由条件①得f（x）是偶函数，条件②得f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（3）＜f（4）＝f（﹣4），故A对，若f（m﹣1）＜f（2），则|m﹣1|＜2，得﹣1＜m＜3，故B错，若，则或，因为f（﹣1）＝f（1）＝0，所以x＞1或﹣1＜x＜0，故C正确，因为定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（0），所以对∀x∈R，只需M≤f（0）即可，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域为（﹣4，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】（﹣4，﹣1）∪（﹣1，1）．【分析】根据已知条件，列出不等式组，即可求解．【解答】解：，则，解得﹣4＜x＜﹣1或﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣4，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣4，﹣1）∪（﹣1，1）．14．（5分）若“﹣2＜x＜m”是“x2﹣x﹣6＜0”的一个必要不充分条件，则实数m的范围用区间表示为（3，+∞）．【考点】充分条件与必要条件．【答案】（3，+∞）．【分析】根据题意，解一元二次不等式，利用必要不充分条件列不等式，解之即可得到答案．【解答】解：不等式x2﹣x﹣6＜0整理得（x﹣3）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜3，所以“﹣2＜x＜m”是“﹣2＜x＜3”一个必要不充分条件，可得（﹣2，3）⫋（﹣2，m），所以m＞3，即m的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．15．（5分）已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是[0，4）．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】见试题解答内容【分析】函数是分式函数，且分母含有根式，则需要根式内的代数式大于0对任意实数恒成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论．【解答】解：函数的定义域是R，说明对任意x∈R，不等式mx2+mx+1＞0恒成立，若m＝0，不等式变为1＞0，此式显然成立；若m≠0，则需解得：0＜m＜4，所以，使不等式mx2+mx+1＞0恒成立的m的范围为[0，4）．故答案为[0，4）．16．（5分）若函数，满足对任意x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是[1，]．【考点】分段函数的应用．【答案】[1，]．【分析】根据题中条件，可以先判断出函数f（x）在R上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a的取值范围．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有成立，∴x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）异号，根据函数单调性的定义，可知f（x）在R上是单调递减函数，∴当x≥1时，f（x）＝（a﹣3）x+4a为减函数，则a﹣3＜0，即a＜3，①且当x＝1时，有最大值[（a﹣3）x+4a]max＝5a﹣3；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+4a为二次函数，图象开口向上，对称轴为x＝a，若f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，则对称轴在区间右侧，即a≥1，②且（x2﹣2ax+4a）min＞f（1）＝1+2a；又由题意，函数在定义域R上单调递减，则（x2﹣2ax+4a）min≥[（a﹣3）x+4a]max，即1+2a≥5a﹣3，解得a≤；③综合①②③可得a的取值范围[1，]．故答案为：[1，]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简求值：（1）（2）若x+x﹣1＝3，求下列各式的值：①x2+x﹣2；②．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】（1）19；（2）±1．【分析】（1）（2）结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：（1）＝1+﹣＝1+＝19；（2）①x+x﹣1＝3，则（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝9，解得x2+x﹣2＝7；②＝x+x﹣1﹣2＝3﹣2＝1，故＝±1．18．（12分）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求出x＜0时f（x）的解析式，并作出f（x）的图象；（2）根据图象，写出f（x）的单调区间（不用证明），并求出不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】（1）f（x）＝x2+2x；（2）{x|x＞2或0＜x＜1或﹣2＜x＜0}．【分析】（1）由已知x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，结合奇函数定义即可求解x＜0时的函数解析式；（2）结合（1）中函数解析式，结合二次函数的图象即可作出函数图象，结合函数图象可求不等式．【解答】解：x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝x2+2x＝f（x）；（2）由（1）得f（x）＝，由图象可知，函数的单调递增区间是[﹣1，0]和[1，+∞），函数的单调递减区间是（﹣∞，﹣1]和[0，1]，不等式（x﹣1）f（x）＞0，等价于或，解得x＞2或0＜x＜1或﹣2＜x＜0．故不等式的解集为{x|x＞2或0＜x＜1或﹣2＜x＜0}．19．（12分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3（1）若不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜3}，试求a，b的值；（2）若a＞0，b＝﹣2a，求不等式y≤﹣1的解集．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）a＝1，b＝﹣2．（2）0＜a＜1时，解集为；a＝1时，解集为{x|x＝2}；a＞1时，解集为．【分析】（1）根据不等式的解集确定1和3是方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两个根，利用根与系数的关系即可求得答案；（2）求出方程ax2﹣（2a+2）x+4＝0的两根为和2，分类讨论两根的大小，即可求得不等式的解集．【解答】解：（1）由题意知1和3是方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两个根，且a＞0，即，解得a＝1，b＝﹣2．（2）b＝﹣2a，则不等式y≤﹣1，即ax2+（﹣2a﹣2）x+3≤﹣1，即ax2﹣（2a+2）x+4≤0，因为a＞0，方程ax2﹣（2a+2）x+4＝0的两根为和2，所以：①当，即0＜a＜1时，不等式的解集为；②当，即a＝1时，不等式的解集为{x|x＝2}；③当a＞0且，即a＞1时，不等式的解集为．20．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法．【答案】（1）f（x）＝x2﹣x+1；（2）g（a）＝．【分析】（1）设出函数f（x0的解析式，然后根据已知建立方程组，由此即可求解；（2）由（1）求出函数的对称轴，然后根据对称轴与区间的三种位置关系分类讨论，由此即可求解．【解答】解：（1）由题意设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝2ax+a+b＝2x，且f（0）＝1，所以，解得a＝1，b＝﹣1，c＝1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x+1；（2）由（1）f（x）＝（x﹣），对称轴为x＝，当a+1，即a时，函数f（x）在[a，a+1]上单调递减，则g（a）＝f（a+1）＝（a+1）2﹣（a+1）+1＝a2+a+1，当a，即﹣时，g（a）＝f（）＝，当a时，函数f（x）在[a，a+1]上单调递增，则g（a）＝f（a）＝a2﹣a+1，综上，g（a）＝．21．（12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）＝0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）＝151x+﹣1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，