2023-2024学年广东省江门市新会一中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知ξ的分布列为ξ1234Pm设η＝2ξ﹣5，则E（η）＝（）A． B． C． D．2．（5分）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（）A．±1 B．± C．± D．±23．（5分）已知等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a7+a9＝4，b2b6b10＝27，则＝（）A． B． C．2 D．44．（5分）若曲线在点（1，a）处的切线与直线l：x+y+5＝0平行，则实数a＝（）A． B．1 C． D．25．（5分）今天是星期天，则137天后是（）A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一6．（5分）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天．若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（）A．60种 B．66种 C．72种 D．78种7．（5分）袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数，下列关于f（x）的四个命题，其中是假命题是（）A．函数f（x）在[0，1]上是增函数 B．函数f（x）的最小值为0 C．如果x∈[0，t]时，，则t的最小值为2 D．函数f（x）有2个零点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）给出下列命题，其中正确的命题有（）A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数r越大 B．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 C．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 D．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种（多选）10．（6分）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线E的右支相交于P，Q两点，则（）A．若E的两条渐近线相互垂直，则a＝ B．若E的离心率为，则E的实轴长为1 C．若∠F1PF2＝90°，则|PF1|•|PF2|＝4 D．当a变化时，△F1PQ周长的最小值为8（多选）11．（6分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则（）A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值 B．存在点G，使平面EFG∥平面BDC1 C．当点G与B1重合时，二面角G﹣EF﹣A1的正切值为 D．当点G为B1C中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为．13．（5分）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制．如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为．14．（5分）已知a∈N*，函数f（x）＝e3x﹣xa＞0恒成立，则a的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x140130120110100物理成绩y110901008070数据表明y与x之间有较强的线性相关性．（1）利用表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；（2）在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀．若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？数学成绩物理成绩合计物理优秀物理不优秀数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：，，，，，其中n＝a+b+c+d．下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82816．（15分）已知{an}数列的前n项和为．（1）证明：数列{an+3}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）．17．（15分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）若PA＝AB＝6，BC＝3，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角B﹣AD﹣C的余弦值为，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．18．（17分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分．（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N（60，144），规定X⩾72为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列和数学期望．附：若X∼N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997．19．（17分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若x＝1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：＞e（e为自然对数的底数）．

2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知ξ的分布列为ξ1234Pm设η＝2ξ﹣5，则E（η）＝（）A． B． C． D．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】C【分析】利用分布列的性质，求解m，然后求解期望，推出结果即可．【解答】解：由题意可得：，解得m＝，所以E（ξ）＝1×+2×+3×+4×＝．η＝2ξ﹣5，则E（η）＝2×﹣5＝．故选：C．2．（5分）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（）A．±1 B．± C．± D．±2【考点】直线与圆的位置关系．【答案】C【分析】将直线被圆C所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线l的距离的最大值，结合点到直线的距离公式，得到等式关系，求解即可得到答案．【解答】解：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，则圆心C到直线l的距离d＝，当弦长取得最小值2时，则d有最大值，又，因为k2≥0，则，故d的最大值为，解得m＝．故选：C．3．（5分）已知等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a7+a9＝4，b2b6b10＝27，则＝（）A． B． C．2 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】B【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果．【解答】解：数列{an}是等差数列，a7+a9＝4，可得2a8＝4，即a8＝2，数列{bn}是等比数列，b2b6b10＝27，可得，可得b6＝3，则．故选：B．4．（5分）若曲线在点（1，a）处的切线与直线l：x+y+5＝0平行，则实数a＝（）A． B．1 C． D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】求出原函数的导函数，可得函数在x＝1处的导数值，再由两条直线平行与斜率的关系列式求解．【解答】解：由，得，y′|x＝1＝1﹣a，∵曲线在点（1，a）处的切线与直线l：x+y+5＝0平行，∴1﹣a＝﹣1，即a＝2．故选：D．5．（5分）今天是星期天，则137天后是（）A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一【考点】二项式定理．【答案】B【分析】根据137＝（14﹣1）7＝147++…+﹣1求解即可．【解答】解：因为137＝（14﹣1）7＝147++…+﹣1，所以137除以7的余数为6，所以137天后是星期六．故选：B．6．（5分）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天．若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（）A．60种 B．66种 C．72种 D．78种【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．【解答】解：由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，所以不同的值班安排共有种．故选：C．7．（5分）袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（）A． B． C． D．【考点】概率的应用；条件概率．【答案】B【分析】根据题意，设第一次取到白球为事件A，第二次取到黑球为事件B，求出P（A）、P（）、P（B|A）、P（B|），由全概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设第一次取到白球为事件A，第二次取到黑球为事件B，则P（A）＝0.7，P（）＝1﹣P（A）＝0.3，P（B|A）＝，P（B|）＝，则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝×+×＝．故选：B．8．（5分）已知函数，下列关于f（x）的四个命题，其中是假命题是（）A．函数f（x）在[0，1]上是增函数 B．函数f（x）的最小值为0 C．如果x∈[0，t]时，，则t的最小值为2 D．函数f（x）有2个零点【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】D【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题．【解答】解：对于A，因为，求导得，当x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，故A正确；对于B，当x＝0时，f（x）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，结合A选项得函数f（x）的最小值为0，故B正确；对于C，当x＝2时，，则f（x）的图像如下所示：如果x∈[0，t]时，，由图可知t的最小值为2，故C正确；对于D，由图可知f（x）只有一个零点x＝0，故D不正确．故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）给出下列命题，其中正确的命题有（）A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数r越大 B．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 C．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 D．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种【考点】排列组合的综合应用；二项式定理；样本相关系数．【答案】BC【分析】利用相关系数的定义可以判断A；根据赋值法和二项式系数的性质即可判断B；利用两个计数原理以及分组分配即可判断CD．【解答】解：对于A，|r|的绝对值越大，相关性越强，所以r越接近于﹣1，相关性也较强，故A错误；对于B，令x＝1，可得各项系数和（3﹣1）10＝1024，二项式系数和为210＝1024，即各项系数和与所有项二项式系数和相等，故B正确；对于C，若一个学校分3人，另一学校分1人，则有＝8种，若每个学校分2人则有＝6种，所以共有14种，故C选项正确；对于D，每位乘客下车的可能方式为5种，10位乘客下车的可能方式有510种，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线E的右支相交于P，Q两点，则（）A．若E的两条渐近线相互垂直，则a＝ B．若E的离心率为，则E的实轴长为1 C．若∠F1PF2＝90°，则|PF1|•|PF2|＝4 D．当a变化时，△F1PQ周长的最小值为8【考点】双曲线的几何特征．【答案】ACD【分析】对ABC，直接由双曲线的性质即可判断正误；对于D，通过双曲线性质将周长转化为4a+2|PQ|，进一步由性质结合基本不等式求解即可判断对错．【解答】解：对于A，由题E的两条渐近线，又E的两条渐近线相互垂直，∴，解得a＝，故A正确；对于B，由题，又b＝，c2＝a2+b2，解得a＝1，∴E的实轴长为2a＝2，故B错误；对于C，若∠F1PF2＝90°，则|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2+2），又|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴2|PF1|•|PF2|＝|PF1|2+|PF2|2﹣（|PF1|﹣|PF2|）2＝8，∴|PF1|•|PF2|＝4，故C正确；对于D，由题可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，|QF1|﹣|QF2|＝2a，∴|PF1|＝|PF2|+2a，|QF1|＝|QF2|+2a，设△F1PQ的周长为C，∴C＝|F1P|+|F1Q|+|PQ|＝|F1P|+|F1Q|+|F2P|+|F2Q|＝2|PF2|+2a+2|QF2|+2a＝4a+2|PQ|＝4a+2|PQ|，由双曲线的性质知|PQ|≥（通径），∴C＝4a+2|PQ|≥4a+≥＝8，当且仅当4a＝即a＝时取等号，即△F1PQ周长Cmin＝8，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则（）A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值 B．存在点G，使平面EFG∥平面BDC1 C．当点G与B1重合时，二面角G﹣EF﹣A1的正切值为 D．当点G为B1C中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平面与平面平行．【答案】AC【分析】根据锥体的体积公式判断A，通过反证法，利用平面A1DCB1与平面EFG和平面BDC1的交线PG、DH是否能平行来判定B，取EF的中点P，连接A1P，PG，即可得到∠A1PG为二面角G﹣EF﹣A1的平面角，再由锐角三角函数判断C，作出截面，求出截面面积，即可判断D．【解答】解：对于A，随着G的移动，但是点G到平面A1EF的距离始终不变即为线段A1B1的长度，故是定值，故A正确；对于B，如图所示，连接A1D∩EF＝P，H为侧面CC1B1B的中心，平面A1DCB1与平面EFG和平面BDC1分别交于线PG、DH，若存在G点使平面EFG∥平面BDC1，则PG∥DH，又A1D∥CB1，则四边形PGHD为平行四边形，即PD＝GH，而，此时G应在CB1延长线上，故不存在线段B1C上一个动点G，使平面EFG∥平面BDC1，故B错误；对于C，取EF的中点P，连接A1P，PG，又，，所以A1P⊥EF，GP⊥EF，所以∠A1PG为二面角G﹣EF﹣A1的平面角，又A1B1⊥平面AA1D1D，A1P⊂平面AA1D1D，所以A1B1⊥A1P，，所以，即二面角G﹣EF﹣A1的正切值为，故C正确；对于D，连接AD1，BC1，EC1，BF，依题意可知B1C∩BC1＝G，EF∥AD1，AD1∥BC1，所以EF∥BC1，所以四边形EFBC1为平面EFG截正方体所得截面，又，，，如下平面图形，过点E作EN⊥BC1，过点F作EM⊥BC1，则，所以，所以，当点G为B1C中点时，平面EFG截正方体所得截面的面积为，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为．【考点】椭圆的几何特征．【答案】．【分析】利用椭圆的定义与标准方程及性质即可得出c，再利用三角形面积计算公式即可得出结论．【解答】解：由椭圆可知，∴，∵|PF1|＝2|PF2|，∴，而，∴△PF1F2为等腰三角形，其面积为．故答案为：2．13．（5分）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制．如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率．【答案】．【分析】根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行3局为事件B，求出P（A）、P（AB）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行3局为事件B，P（A）＝×+×××＝，P（AB）＝×××＝，故P（B|A）＝＝＝＝．故答案为：．14．（5分）已知a∈N*，函数f（x）＝e3x﹣xa＞0恒成立，则a的最大值为7．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值．【答案】7．【分析】显然a为奇数（a∈N*），然后只需研究x＞0时，e3x﹣xa＞0恒成立，整理得a＜，再研究函数g（x）＝在（0，+∞）上最小值即可．【解答】解：当a为正偶数时，当x→﹣∞时，e3x→0且xa→+∞，此时e3x﹣xa＞0不恒成立，所以a为正奇数，则当x＜0时，xa＜0＜e3x恒成立，所以只需研究x＞0时，e3x﹣xa＞0恒成立即可，即a＜，（x＞0）恒成立，令函数g（x）＝，x＞0，令＝0，则x＝e，g′（x）＞0⇒x＞e，g（x）递增，g′（x）＜0⇒0＜x＜e，g（x）递减，所以g（x）min＝g（e）＝3e≈8.2，所以a≤7．故答案为：7．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x140130120110100物理成绩y110901008070数据表明y与x之间有较强的线性相关性．（1）利用表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；（2）在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀．若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？数学成绩物理成绩合计物理优秀物理不优秀数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：，，，，，其中n＝a+b+c+d．下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】经验回归方程与经验回归直线；独立性检验．【答案】（1）；63分；（2）2×2列联表如下：数学成绩物理成绩合计物理优秀物理不优秀数学优秀24630数学不优秀121830合计362460依据小概率值α＝0.005的独立性检验，数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过0.005．【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和经验回归方程的公式，即可求经验性回归方程，将x＝90代入经验回归方程中，即可求解预测值；（2）根据已知条件，计算χ2，与临界值比较得结论．【解答】解：（1）由表中数据可得，，，，所以，，故经验回归方程为，当x＝90时，y＝0.9×90﹣18＝63分，该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩63分；（2）2×2列联表如下：数学成绩物理成绩合计物理优秀物理不优秀数学优秀24630数学不优秀121830合计362460零假设H0：数学成绩与物理成绩无关联，则，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过0.005．16．（15分）已知{an}数列的前n项和为．（1）证明：数列{an+3}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）．【考点】数列递推式；数列的求和．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）不存在．【分析】（1）由Sn＝2an﹣3n，可得a1＝3，当n≥2时，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣3（n﹣1），相减得an＝2an﹣1+3，由等比数列的定义即可证明；（2）由题意得，根据错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和；（3）根据（1）的结论，结合等差中项的概念进行判定即可．【解答】（1）证明：由Sn＝2an﹣3n，可得a1＝S1＝2a1﹣3，解得a1＝3，当n≥2时，由Sn＝2an﹣3n，可得Sn﹣1＝2an﹣1﹣3（n﹣1），两式相减可得an＝2an﹣3n﹣2an﹣1+3（n﹣1），整理得an＝2an﹣1+3，又a1+3＝6，则，所以数列{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列，可得，所以；（2）解：由（1）得，所以，所以，①则，②①﹣②得：＝＝2n+1﹣2﹣n•2n+1＝（1﹣n）2n+1﹣2，解得；（3）解：数列中不存在三项可以构成等差数列，理由如下：假设数列{an}中存在三项，它们可以构成等差数列，设ak，al，am成等差数列，且k＜l＜m，k，l，m∈N*，即有2al＝ak+am，又，所以2（6×2l﹣1﹣3）＝6×2k﹣1﹣3+6×2m﹣1﹣3，整理得2×2l﹣k＝1+2m﹣k，上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，故数列{an}中不存在能构成等差数列的三项．17．（15分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）若PA＝AB＝6，BC＝3，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角B﹣AD﹣C的余弦值为，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）证明过程见解答；（2）存在点D，使得二面角B﹣AD﹣C的余弦值为，且D是PC上靠近C的三等分点，理由见解答．【分析】（1）过点A作AE⊥PB于点E，由面面垂直的性质可知AE⊥平面PBC，进而可得AE⊥BC，再由线面垂直的性质可知PA⊥BC，由此可证得BC⊥平面PAB；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD与平面ACD的法向量，再利用向量的夹角公式结合已知条件即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AE⊥PB于点E，因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，又因为AE∩PA＝A，AE，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB；（2）假设在线段PC上（不含端点），存在点D，使得二面角B﹣AD﹣C的余弦值为，以B为原点，分别以、为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，6，0），B（0，0，0），C（3，0，0），P（0，6，6），＝（3，﹣6，0），＝（0，0，6），＝（3，﹣6，﹣6），＝（0，6，0），设面ACD的一个法向量为＝（x，y，z），则，则可取＝（2，1，0），因为D在线段PC上（不含端点），所以可设＝λ＝（3λ，﹣6λ，﹣6λ），0＜λ＜1，所以＝+＝（3λ，﹣6λ，6﹣6λ），设面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，则可取＝（2λ﹣2，0，λ），所以cos＜，＞＝＝﹣，解得λ＝或λ＝2，又0＜λ＜1，所以λ＝，所以存在点D，使得二面角B﹣AD﹣C的余弦值为，此时D是PC上靠近C的三等分点．18．（17分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分．（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N（60，144），规定X⩾72为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为