2023-2024学年广东省茂名市化州市林尘中学高三(上)第一次月考数学试卷

2023-2024学年广东省茂名市化州市林尘中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题1．（5分）已知A＝{1，4，5}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}2．（5分）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，1，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{1，2}4．（5分）若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图像经过（3，27），则f（﹣2）＝（）A． B． C．3 D．95．（5分）函数f（x）＝ex﹣x﹣2的一个零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5分）函数y＝x3+2x2﹣3在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝3x﹣4 B．y＝7x﹣7 C．y＝﹣6x+5 D．y＝7x+67．（5分）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）下列既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．y＝x3 B．y＝x2+1 C． D．二、多选题（多选）9．（5分）已知复数z1＝1﹣3i，z2＝3+i，则（）A．|z1+z2|＝6 B． C．z1z2＝6﹣8i D．z1z2在复平面内对应的点位于第四象限（多选）10．（5分）已知全集U＝{x∈N|log2x＜3}，A＝{1，2，3}，∁U（A∩B）＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B可能为（）A．{2，3，4} B．{3，4，5} C．{4，5，6} D．{3，5，6}（多选）11．（5分）已知a，b∈R，则下列叙述中正确的是（）A．若a＞b，则 B．若a﹣|b|＞0，则a+b＞0 C．“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件 D．命题“∀a≥1，a2﹣1≥0”的否定是“∃a＜1，a2﹣1＜0”（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）在R上不具有单调性 C．函数f（|x|）的图象关于y轴对称 D．当a＞1时，函数f（|x|）的最大值是0三、填空题13．（5分）已知i为虚数单位，则复数的虚部是．14．（5分）复数（i为虚数单位），则z的虚部为，|z|＝．15．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝．16．（5分）若x＞0，y＞0，且xy＝16，则的最小值为．四、解答题17．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？18．（12分）f（x）＝（2a﹣1）x﹣3+b若函数的图象恒经过定点（3，﹣2）．（1）求b的值；（2）f（x）当在R上是增函数，求a的范围．19．（12分）已知集合A＝{x|log2（x+3）≤3}，B＝{x|2m﹣1＜x≤m+3}．（1）若m＝3，则A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．（12分）若二次函数y＝f（x）的图象的对称轴为x＝1，最小值为﹣1，且f（0）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）＞m﹣2x在区间[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣bx+2（a＞0）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；（2）若b＝2a+1，①解关于x的不等式f（x）≤0；②若对任意a∈[1，2]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2﹣2x，g（x）＝（1）求g[f（1）]的值；（2）若方程g[f（x）]﹣a＝0有4个实数根．求实数a的取值范围．

2023-2024学年广东省茂名市化州市林尘中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）已知A＝{1，4，5}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】根据交集的定义计算．【解答】解：∵A＝{1，4，5}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{4，5}．故选：B．2．（5分）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】共轭复数；复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】D【分析】先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：＝，则，故z的共轭复数在复平面内所对应的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，1，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【答案】A【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤﹣2或x≥1}，∴A∩B＝{﹣2，1，2，3}．故选：A．4．（5分）若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图像经过（3，27），则f（﹣2）＝（）A． B． C．3 D．9【考点】函数的值；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的图象与性质．【答案】B【分析】由已知先求出a，进而可求函数解析式，再把x＝﹣2代入可求．【解答】解：由题意得a3＝27，所以a＝3，f（x）＝3x所以f（﹣2）＝．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝ex﹣x﹣2的一个零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用．【答案】B【分析】将x＝﹣1，x＝0，x＝1代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案．【解答】解：∵f（x）在R上为连续函数，f（﹣1）＝1﹣2＝1＜0，f（0）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1﹣2＜0，f（2）＝e2﹣4＞0，∴函数f（x）的零点在（1，2）内．故选：B．6．（5分）函数y＝x3+2x2﹣3在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝3x﹣4 B．y＝7x﹣7 C．y＝﹣6x+5 D．y＝7x+6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】B【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，运用点斜式方程，即可求出切线方程．【解答】解：函数的导数为y′＝f′（x）＝3x2+4x，在（1，0）处的切线斜率k＝f′（1）＝3+4＝7，即函数y＝x3+2x2﹣3在（1，0）处的切线方程为y﹣0＝﹣7（x﹣1），即y＝7x﹣7，故选：B．7．（5分）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．（﹣∞，﹣1）【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】A【分析】首先分析知，x＞1，函数单调递减，则x≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可．【解答】解：显然当x＞1时，为单调减函数，f（x）＜f（1）＝1，当x≤1时，f（x）＝﹣x2+2ax+4，则对称轴为，f（1）＝2a+3，若f（x）是上减函数，则，解得．故选：A．8．（5分）下列既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．y＝x3 B．y＝x2+1 C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断．【答案】C【分析】由偶函数排除A、D，再根据在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数排除B．【解答】解：函数y＝x3，y＝﹣是奇函数，故A，D错误；函数y＝x2+1是偶函数，但它在区间（﹣∞，0）上单调递减，故B错误；函数y＝的定义域是R，且f（﹣x）＝（）|﹣x|＝＝f（x），所以y＝是偶函数，当x＜0时，函数y＝＝（）﹣x＝3x，在（﹣∞，0）上是增函数．故选：C．二、多选题（多选）9．（5分）已知复数z1＝1﹣3i，z2＝3+i，则（）A．|z1+z2|＝6 B． C．z1z2＝6﹣8i D．z1z2在复平面内对应的点位于第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；复数的模．【答案】BCD【分析】对于A，结合复数模公式，即可求解；对于B，结合共轭复数的定义，即可求解；对于C，结合复数的运算法则，即可求解；对于D，结合复数几何意义，即可求解．【解答】解：对于A，z1＝1﹣3i，z2＝3+i，|z1+z2|＝|1﹣3i+3+i|＝|4﹣2i|＝，故A错误，，则，故B正确，z1z2＝（1﹣3i）（3+i）＝3+i﹣9i+3＝6﹣8i，z1z2在复平面内对应的点（6，﹣8）位于第四象限，故CD正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）已知全集U＝{x∈N|log2x＜3}，A＝{1，2，3}，∁U（A∩B）＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B可能为（）A．{2，3，4} B．{3，4，5} C．{4，5，6} D．{3，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】BD【分析】求出全集U，根据题意可得3∈B，1∉B，2∉B，元素4，5，6，7可能在集合B中，结合选项即可求得结论．【解答】解：全集U＝{x∈N|log2x＜3}＝{1，2，3，4，5，6，7}，因为A＝{1，2，3}，∁U（A∩B）＝{1，2，4，5，6，7}，所以3∈B，1∉B，2∉B，元素4，5，6，7可能在集合B中，结合选项可知B可能为{3，4，5}，{3，5，6}．故选：BD．（多选）11．（5分）已知a，b∈R，则下列叙述中正确的是（）A．若a＞b，则 B．若a﹣|b|＞0，则a+b＞0 C．“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件 D．命题“∀a≥1，a2﹣1≥0”的否定是“∃a＜1，a2﹣1＜0”【考点】命题的真假判断与应用．【答案】BC【分析】利用不等式的性质即可判断出正误．【解答】解：A．a＞b，取a＝2，b＝﹣1，则＞，因此不正确；B．由a﹣|b|＞0，当b＞0时，a＞0，a+b＞0显然成立，当b≤0时，则a+b＝a﹣（﹣b）＝a﹣|b|＞0，因此正确；C．由a2＞a，解得a＞1，或a＜0，因此“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，因此C正确；D．命题“∀a≥1，a2﹣1≥0”的否定是“∃a≥1，a2﹣1＜0”，因此D不正确．故选：BC．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）在R上不具有单调性 C．函数f（|x|）的图象关于y轴对称 D．当a＞1时，函数f（|x|）的最大值是0【考点】函数的最值及其几何意义．【答案】AC【分析】判断函数f（x）的奇偶性可判断A；判断函数f（x）的单调性可判断B；判断函数f（|x|）的奇偶性可判断C；判断函数f（|x|）的单调性可判断D．【解答】解：∵x∈R，f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，f（x）的图象关于原点对称，故A正确；当a＞1时，f（x）在R上为增函数，当0＜a＜1时，f（x）在R上为减函数，故B错误；f（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称，故C正确；当a＞1时，，故f（|x|）在（﹣∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，∴当x＝0时，f（|x|）取得最小值0，故D错误．故选：AC．三、填空题13．（5分）已知i为虚数单位，则复数的虚部是﹣1．【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】见试题解答内容【分析】复数a+bi（a、b∈R）的实部为a，虚部为b．由此再将已知复数化简，则不难得到它的虚部．【解答】解：∵＝＝＝＝﹣i∴复数的虚部是﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）复数（i为虚数单位），则z的虚部为﹣1，|z|＝．【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝．故答案为：﹣1，．15．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝1．【考点】函数的值．【答案】1．【分析】由已知函数解析式先求出f（﹣2）＝0，进而可求．【解答】解：因为f（x）＝，所以f（﹣2）＝0，则f（f（﹣2））＝f（0）＝1．故答案为：1．16．（5分）若x＞0，y＞0，且xy＝16，则的最小值为．【考点】基本不等式及其应用．【答案】．【分析】根据题意，直接利用基本不等式加以计算，即可得到的最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴，当x＝y＝4时，等号成立，故的最小值是．故答案为：．四、解答题17．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（5分）（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x＝40时取等号，所以x＝40时，总造价最低为297600元．答：x＝40时，总造价最低为297600元．（12分）18．（12分）f（x）＝（2a﹣1）x﹣3+b若函数的图象恒经过定点（3，﹣2）．（1）求b的值；（2）f（x）当在R上是增函数，求a的范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质与判断．【答案】（1）b＝﹣3；（2）（1，+∞）．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，令x﹣3＝0即可求得b的值；（2）根据指数函数的单调性，令2a﹣1＞1求出a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝（2a﹣1）x﹣3+b的图象恒过定点（3，﹣2），所以x﹣3＝0，得1+b＝﹣2，解得b＝﹣3；（2）因为f（x）在R上是增函数，所以2a﹣1＞1，解得a＞1，所以a的取值范围是（1，+∞）．19．（12分）已知集合A＝{x|log2（x+3）≤3}，B＝{x|2m﹣1＜x≤m+3}．（1）若m＝3，则A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣3＜x≤6}．（2）实数m的取值范围为：[﹣1，2]∪[4，+∞）．【分析】（1）将m＝3代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可求解；（2）由A∩B＝B可知B为A的子集，分类讨论，当B＝∅，符合题意；当B不为空集时，由不等式关系即可求解m的取值范围．【解答】解：（1）若m＝3，则B＝{x|5＜x≤6}，依题意，A＝{x|log2（x+3）≤3}＝{x|log2（x+3）≤log28}＝{x|﹣3＜x≤5}，故A∪B＝{x|﹣3＜x≤6}．（2）因为A∩B＝B，故B⊆A，若2m﹣1≥m+3，即m≥4时，B＝∅，符合题意；若2m﹣1＜m+3，即m＜4时，，解得﹣1≤m≤2，综上所述，实数m的取值范围为：[﹣1，2]∪[4，+∞）．20．（12分）若二次函数y＝f（x）的图象的对称轴为x＝1，最小值为﹣1，且f（0）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）＞m﹣2x在区间[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质与图象；函数恒成立问题．【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x；（2）（﹣∞，0）．【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得a，b，c，也即求得f（x）．（2）由f（x）＞m﹣2x分离常数m，进而求得m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）为二次函数，可设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），∵f（x）图象的对称轴为x＝1，最小值为﹣1，且f（0）＝0，∴，∴，∴f（x）＝x2﹣2x．（2）∵f（x）＞m﹣2x，即x2＞m在[0，3]上恒成立，又∵当x∈[0，3]时，x2有最小值0，∴m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣∞，0）．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣bx+2（a＞0）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；（2）若b＝2a+1，①解关于x的不等式f（x）≤0；②若对任意a∈[1，2]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范