2023-2024学年广东省深圳市南科大附中高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年广东省深圳市南科大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）1．过两点A（3，y），B（2，0）的直线的倾斜角为120°，则y＝（）A． B． C． D．2．平面内点P到F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（）A． B． C． D．3．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝（）A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣14．在△ABC中，已知，，，则∠ABC＝（）A． B． C． D．5．在四面体O﹣ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（）A．﹣+ B．﹣+ C．++ D．++6．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为1，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是（）A． B． C．3 D．7．若过点P（﹣1，0）的直线与以A（1，2），为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（）A． B． C． D．8．已知动点P在直线3x+4y﹣10＝0上，过点P作圆x2+y2＝1的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（）A．1 B． C． D．2二、选择题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。每小题5分，共20分；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内 C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内（多选）10．下列命题正确的是（）A．任何直线方程都能表示为一般式 B．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等 C．直线x+2y﹣4＝0与直线2x﹣y+2＝0的交点坐标是（0，2） D．直线方程ax+（a+1）y＝a（a+1）可化为截距式为（多选）11．已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与圆C有一个交点 D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝3．（多选）12．如图1，《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品．图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2．若，则（）A． B．水晶多面体外接球的表面积为 C．直线HG与平面HPQ所成角的正弦值为 D．点G到平面HPQ的距离为三、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。）13．平行线x+2y﹣5＝0与2x+4y﹣5＝0间的距离为．14．三条直线ax+2y﹣8＝0，4x+3y＝10与2x﹣y＝10相交于一点，则a的值为．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线EB1与AD1所成角的正弦值为．16．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（﹣1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是．四、解答题（本大题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知＝（x，4，1），，＝（3，﹣2，z），，，求：（1），，．（2）与所成角的余弦值．18．在平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心C在直线l：2x﹣7y+8＝0上，求：（1）求圆C的标准方程．（2）求过点A的圆C的切线方程（整理成一般方程）．19．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为2．（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）已知A（0，1），B（0，﹣1），求|MA|2+|MB|2的最大值．21．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点．（1）求证：EM⊥AD；（2）求点B到平面EAC的距离；22．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+