2023-2024学年广东省湛江市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A．2﹣2i B．2+i C．﹣+ D．+i2．（5分）如图，下边长方体中由右边的平面图形围成的是（）A． B． C． D．3．（5分）下列各组数的方差从小到大排序是（）（1）6，6，6，6，6，6，6，6，6；（2）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（3）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（4）3，3，3，3，6，9，9，9，9．A．（1）（2）（3）（4） B．（4）（3）（2）（1） C．（3）（1）（2）（4） D．（2）（1）（3）（4）4．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．35．（5分）已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，＝＝，则点O、N、P依次为△ABC的（）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心6．（5分）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A． B． C． D．7．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等8．（5分）已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（）A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥α，a∥β D．a∥α，a⊥β二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC＝a2，则下列说法正确的是（）A．a＝2 B．若B+C＝2A，则△ABC面积的最大值为 C．△ABC不可能为锐角三角形 D．若O为△ABC的外心，则（多选）10．（6分）已知a，b∈R，方程x2+ax﹣b＝0有一个虚根为1+i，i为虚数单位，另一个虚根为z，则（）A．该方程存在实数根 B．a＝﹣2 C．z＝1﹣i D．z2024＝21012（多选）11．（6分）已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件A＝“取到红球和黑球”，事件B＝“第一次取到黑球”，事件C＝“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（）A．P（B）+P（C）＝1 B． C． D．P（AC）＝P（A）P（C）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z1＝a+bi，z2＝4+ai（a，b∈R），若|z1|＜|z2|，则b的取值范围是．13．（5分）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数k的值是．14．（5分）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．16．（15分）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）已知，求BC边上中线长．（2）请用a，b，c表示BC边的中线长，并写出推导过程．17．（15分）为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．18．（17分）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与p，乙连续2次答错的概率为．（1）求乙答对题的概率；（2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．19．（17分）如图1，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°．过顶点C作对角线BD的垂线，交对角线BD于点O，交边AD于点Q，现将△ABD沿BD翻折，形成四面体PBCD，如图2．（1）求四面体PBCD外接球的体积；（2）求证：平面PBD⊥平面OCQ；（3）若点G为棱BC的中点，请判断在将△ABD沿BD翻折过程中，直线PG能否平行于面OCQ．若能请求出此时的二面角P﹣BD﹣C的大小；若不能，请说明理由．

2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）A．2﹣2i B．2+i C．﹣+ D．+i【考点】复数的实部与虚部．【答案】A【分析】利用实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：的虚部为2，以＝﹣2+i的实部为﹣2，∴要求的新复数是2﹣2i，故选：A．2．（5分）如图，下边长方体中由右边的平面图形围成的是（）A． B． C． D．【考点】表面展开图；空间几何体的直观图．【答案】B【分析】根据长方体的平面展开图，结合题意，即可得出长方体的结构特征．【解答】解：根据长方体的平面展开图知，长方体中有4个面是阴影部分，两个空白部分是相对部分，剩余是4个阴影部分，所以围成的长方体如图所示：故选：B．3．（5分）下列各组数的方差从小到大排序是（）（1）6，6，6，6，6，6，6，6，6；（2）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（3）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（4）3，3，3，3，6，9，9，9，9．A．（1）（2）（3）（4） B．（4）（3）（2）（1） C．（3）（1）（2）（4） D．（2）（1）（3）（4）【考点】方差．【答案】A【分析】利用方差的定义求解．【解答】解：根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，故可先求出各组数据的平均数，（1）组数据的平均数为6，方差为0；（2）组数据的平均数为6，方差为；（3）组数据的平均数为6，方差为；（4）组数据的平均数为6，方差为8，所以，故方差从小到大排序是（1）（2）（3）（4）．故选：A．4．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．3【考点】圆台的侧面积和表面积．【答案】A【分析】设上底面半径为r，由圆台的侧面积公式列式求解即可．【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以π（r+3r）l＝84π，解得r＝7，所以圆台较小底面的半径为7．故选：A．5．（5分）已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，＝＝，则点O、N、P依次为△ABC的（）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心【考点】三角形五心；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】C【分析】根据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．【解答】证明：∵，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，∵＝＝，∴，∴，∴，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P是三角形的垂心，故选：C．6．（5分）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A． B． C． D．【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义．【答案】B【分析】可画出图形，据题意即可得出∠B＝30°，AD⊥BC，然后即可得出在上的投影向量为，然后化简即可．【解答】解：如图，根据题意，∠B＝30°，AD⊥BC，∴在上的投影向量为：＝．故选：B．7．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（）A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等【考点】互斥事件与对立事件．【答案】C【分析】根据互斥，对立，独立事件的定义判断即可．【解答】解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①（奇数，奇数），②（奇数，偶数），③（偶数，奇数），④（偶数，偶数），事件A＝“第一枚出现奇数点”＝{①，②}，事件B＝“第二枚出现偶数点”＝{②，④}，两个事件不相等，排除D，A∩B≠∅，所以不是互斥事件，排除A，B，C选项，事件A＝“第一枚出现奇数点”，P（A）＝＝，事件B＝“第二枚出现偶数点”，P（B）＝＝，事件AB＝“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（AB）＝＝，满足P（AB）＝P（A）•P（B），所以事件A和事件B是相互独立事件，故选：C．8．（5分）已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（）A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥α，a∥β D．a∥α，a⊥β【考点】充分条件与必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直．【答案】D【分析】由垂直于同一平面的两平面的位置关系判断A，由两平面相交判断B，由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C，由直线与平面垂直的性质判断D．【解答】解：A：由α⊥γ，β⊥γ，得α与β可能平行，∴A错误，B：当α与β相交但不垂直时，也会有b⊥a，b⊂β，∴B错误，C：当a∥α，a∥β时，α与β可能平行，∴C错误，D：当a∥α，a⊥β时，过直线a做平面与平面α交于直线b，∴a∥b，又∵a⊥β，∴b⊥β，又∵b⊂α，∴α⊥β，∴D正确，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC＝a2，则下列说法正确的是（）A．a＝2 B．若B+C＝2A，则△ABC面积的最大值为 C．△ABC不可能为锐角三角形 D．若O为△ABC的外心，则【考点】正弦定理与三角形解的存在性和个数；三角形五心．【答案】BD【分析】根据题意，利用正弦定理求得a＝1，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，可判定B正确；若A＝B＝C，且a＝1，可判定C不正确；作OD⊥BC得到D点为BC的中点，设∠OBD＝α，结合向量的数量积的运算公式即可判断D．【解答】解：对于A．∵ccosB+bcosC＝a2，由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC＝sinA＝asinA，∵0＜A＜π，可得sinA＞0，∴a＝1，故A错误；对于B．若B+C＝2A，且B+C+A＝π，∴A＝，由余弦定理得cosA＝cos＝＝＝，由b＞0，c＞0，可得b2+c2＝bc+1≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立，∴bc≤1，∴△ABC面积bcsinA≤＝，可得△ABC面积的最大值为，故B正确；对于C．若A＝B＝C，且a＝1，则ccosB+bcosC＝1×+1×＝a2，则△ABC可能为锐角三角形，故C错误；对于D，如图所示，作OD⊥BC交BC于点D点，则D点为BC的中点，且BC＝1，设∠OBD＝α，∴cosα＝，∴＝||•||cosα＝||•||•＝||•||＝||2＝，故D正确．故选：BD．（多选）10．（6分）已知a，b∈R，方程x2+ax﹣b＝0有一个虚根为1+i，i为虚数单位，另一个虚根为z，则（）A．该方程存在实数根 B．a＝﹣2 C．z＝1﹣i D．z2024＝21012【考点】复数的混合运算．【答案】BCD【分析】求出z，然后判断选项的正误．【解答】解：a，b∈R，方程x2+ax﹣b＝0有一个虚根为1+i，i为虚数单位，另一个虚根为z＝1﹣i，所以C正确；所以A不正确；a＝﹣[（1+i）+（1﹣i）]＝﹣2，所以B正确；z2024＝（1﹣i）2024＝[（cos+isin）]2024＝21012（cos1518π+isin1518π）＝21012．所以D正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件A＝“取到红球和黑球”，事件B＝“第一次取到黑球”，事件C＝“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（）A．P（B）+P（C）＝1 B． C． D．P（AC）＝P（A）P（C）【考点】条件概率．【答案】ACD【分析】先求出P（A），P（B），P（C），再结合事件的互斥性质，即可求解．【解答】解：由题意可知，P（B）＝P（C）＝，则P（B）+P（C）＝1，故A正确；P（A）＝，P（AB）＝，P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝，故B错误；P（BC）＝，故C正确；P（AC）＝，故P（AC）＝P（A）P（C），故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z1＝a+bi，z2＝4+ai（a，b∈R），若|z1|＜|z2|，则b的取值范围是（﹣4，4）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．【答案】（﹣4，4）．【分析】由题意可得a2+b2＜16+a2，化简可得b2＜16，求解不等式得答案．【解答】解：∵z1＝a+bi，z2＝﹣4+ai（a，b∈R），且|z1|＜|z2|，∴a2+b2＜16+a2，化简可得b2＜16，解得﹣4＜b＜4．∴b的取值范围是（﹣4，4）．故答案为：（﹣4，4）．13．（5分）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数k的值是﹣4．【考点】平面向量的相等与共线．【答案】﹣4．【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求解即可．【解答】解：以和为基底，利用坐标表示＝（1，﹣2），＝（2，k），由与是共线向量，得k﹣（﹣2）×2＝0，解得k＝﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是①②④⑤．【考点】棱柱的结构特征．【答案】见试题解答内容【分析】由题意抓住棱柱形的特征进行判断，观察即可得到答案．【解答】解：∵棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形∴通过棱柱特征，①②正确．∵水面EFGH所在四边形的面积，从图2，图3我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化，∴EFGH所在四边形的面积是变化的．③不对∵棱A1D1始终与BC平行，BC与水面始终平行，∴④正确．∵水的体积是不变的，高始终是BC也不变．底面也不会，即BE•BF是定值．∴⑤正确．所以正确的是：①②④⑤．故答案为：①②④⑤．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【考点】直线与平面垂直．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得BC⊥平面PAB，所以AE⊥BC，又因为AE⊥PB，从而证得AE⊥平面PBC；（2）先证PC⊥平面AEF，所以可得PC⊥AG，再证CD⊥平面PAD，所以CD⊥AG，进而证得AG⊥平面PCD，从而得出AG⊥PD．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴BC⊥PA，又∵PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC；（2）∵PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，又AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，∴PC⊥平面AEF，∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，∵PC⊥平面AEF，∴PC⊥AG，∴AG⊥平面PCD，∴AG⊥PD．16．（15分）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）已知，求BC边上中线长．（2）请用a，b，c表示BC边的中线长，并写出推导过程．【考点】余弦定理．【答案】（1）；（2）见解答过程．【分析】（1）根据所给信息可求出cosB的值与BC半边长的值，再利用余弦定理便可求得BC中线长；（2）根据（1），将所给条件代入到余弦公式中去，即可求解．【解答】解：（1）如图所示，取BC中点为D，连接AD交BC于点D，∵，b＝4，c＝5，∴，又AD为BC边的中线，∴，在△ABD中，由余弦定理可得，可得，即BC边上的中线长；（2）设BC的中线长为d，则，可得，所以，所以BC的中线长为．17．（15分）为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．【考点】频率分布直方图的应用；平均数；方差；百分位数．【答案】（1）平均数：69.5，第66百分位数：73；（2）．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质并结合题意即可列方程求得a，b，然后利用平均数和百分位数的公式结合频率分布直方图即可求解；（2）利用分层抽样中平均数及方差的公式结合题意即可求解．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：，则每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05＝69.5，因为0.05+0.25＝0.30＜0.66，0.05+0.25+0.45＝0.75＞0.66，设第66百分位数为x，则x∈[65，75），则0.30+（x﹣65）×0.045＝0.66，解得：x＝73，故第66百分位数为73；（2）设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为，s1，s2，且两组频率之比为，所以第二组和第四组所有同学成绩的平均数，则第二组和第四组所有同学成绩的方差为：＝＝，故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是．18．（17分）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与p，乙连续2次答错的概率为．（1）求乙答对题的概率；（2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）先计算“甲答对每题的概率”，“乙答对每题的概率”，再根据题意求乙答对题的概率即可．（2）先计算甲答对一次、乙2次全部答对的概率，乙只答对一次、甲2次全部答对的概率，再进行计算即可．【解答】解：（1）设“甲答对每题的概率”为事件A，“乙答对每题的概率”为事件B，由已知，P（B）＝p，则乙连续2次答错的概率P＝（1﹣p）2，由题意得，解得或（舍去），∴乙答对题的概率为．（2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，